1、第三章 导数及其应用3.3 导数在研究函数中的应用3.3.2 函数的极值与导数A级基础巩固一、选择题1已知可导函数f(x)，xR，且仅在x1处，f(x)存在极小值，则()A当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0B当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0C当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0D当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0解析：因为f(x)仅在x1处存在极小值，所以x1时，f(x)0，x1时，f(x)0.答案：C2(2017浙江卷)函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是()解析：根据题意
2、，已知导函数的图象有三个零点，且每个零点的两边导函数值的符号相反，因此函数f(x)在这些零点处取得极值，排除A、B；记导函数f(x)的零点从左到右分别为x1，x2，x3，又在(，x1)上f(x)0，所以函数f(x)在(，x1)上单调递减，排除C，故选D.答案：D3函数f(x)x2ln x的极值点为()A0，1，1B.C D.，解析：由已知，得f(x)的定义域为(0，)，f(x)3x，令f(x)0，得x.当x时，f(x)0；当0x时，f(x)0)，f(x)，当x2时，f(x)0，此时f(x)为增函数；当0x2时，f(x)0，此时f(x)为减函数，因此x2为f(x)的极小值点答案：D5若函数f(x
3、)x2x1在区间内有极值点，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.解析：因为函数f(x)x2x1，所以f(x)x2ax1.若函数f(x)x2x1在区间内有极值点，则f(x)x2ax1在区间内有零点由x2ax10，得ax.因为x，yx在上递减，在(1，3)上递增，所以2a0，当x(1，1)时，f(x)0，所以f(x)极小值f(1)2，f(x)极大值f(1)2.函数yx33x的大致图象如图所示，所以2a0，此时函数f(x)单调递增；当x(0，2)时，f(x)0，此时函数f(x)单调递增所以当x0时，f(x)有极大值f(0)0；当x2时，f(x)有极小值f(2)4.故正确答案：三、解答题9设x
4、1与x2是函数f(x)aln xbx2x的两个极值点(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x1，x2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由解：(1)因为f(x)aln xbx2x，所以f(x)2bx1.由极值点的必要条件可知：f(1)f(2)0，所以a2b10且4b10，解得，a，b.(2)由(1)可知f(x)ln xx2x，且其定义域是(0，)，f(x)x1x1.当x(0，1)时，f(x)0；当x(2，)时，f(x)0；所以，x1是函数f(x)的极小值点，x2是函数f(x)的极大值点10已知函数f(x)aexln x1.(1)设x2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；
5、(2)证明：当a时，f(x)0.(1)解：f(x)的定义域为(0，)，f(x)aex.由题设知，f(2)0，所以a.从而f(x)exln x1，f(x)ex.当0x2时，f(x)2时，f(x)0.所以f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，)上单调递增(2)证明：当a时，f(x)ln x1.设g(x)ln x1，则g(x).当0x1时，g(x)1时，g(x)0.所以x1是g(x)的最小值点故当x0时，g(x)g(1)0.因此，当a时，f(x)0.B级能力提升1等差数列an中的a1，a4 031是函数f(x)x34x26x1的极值点，则log2a2 016的值为()A2B3C4D5解析：因为f(
6、x)x28x6，且a1，a4 031是函数f(x)x34x26x1的极值点，所以a1，a4 031是方程x28x60的两个实数根，则a1a4 0318.而an为等差数列，所以a1a4 0312a2 016，即a2 0164，从而log2a2 016log242.故选A.答案：A2设x1，x2是函数f(x)x32ax2a2x的两个极值点，若x12x2，则实数a的取值范围是_解析：由题意得f(x)3x24axa2的两个零点x1，x2满足x12x2，所以f(2)128aa20，解得2a6.答案：(2，6)3设a为实数，函数f(x)x3x2xa.(1)求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时，曲
7、线yf(x)与x轴仅有一个交点？解：(1)f(x)3x22x1.令f(x)0，则x或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)的极大值是fa，极小值是f(1)a1.(2)函数f(x)x3x2xa(x1)2(x1)a1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)0，x取足够小的负数时，有f(x)0，所以曲线yf(x)与x轴至少有一个定点由(1)知f(x)最大值fa，f(x)极小值f(1)a1.因为曲线yf(x)与x轴仅有一个交点，所以f(x)极大值0或f(x)极小值0，即a0或a10，所以a或a1，所以当a(1，)时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点