1、第十节函数模型及其应用时间：45分钟分值：100分 一、选择题1下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是()x45678910y15171921232527A.一次函数模型 B幂函数模型C指数函数模型 D对数函数模型解析根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型答案A2(2015湖州模拟)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐
2、步提高的是()解析由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故选B.答案B3牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度的关系为指数型函数ykax，若牛奶在0 的冰箱中，保鲜时间约为100 h，在5 的冰箱中，保鲜时间约为80 h，那么在10 时保鲜时间约为()A49 h B56 hC64 h D72 h解析由题意知，解得则当x10时，y100a10100264 (h)答案C4(2014湖南卷)某市生产总值连续两年持续增加第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A. B.C. D.解析设第一年年初生产总值为1
3、，则这两年的生产总值为(p1)(q1)设这两年生产总值的年平均增长率为x，则(1x)2(p1)(q1)，解得x1，故选D.答案D5某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L15.06x0.15x2和L22x，其中x为销售量(单位：辆)若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()A45.606万元 B45.6万元C45.56万元 D45.51万元解析依题意可设在甲地销售x辆，则在乙地销售(15x)辆，总利润SL1L2，则总利润S5.06x0.15x22(15x)0.15x23.06x300.15(x10.2)20.1510.2230(x0)故当x10时，Smax45
4、.6(万元)答案B6已知某食品厂生产100克饼干的总费用为1.80元，现该食品厂对饼干采用两种包装，其包装费及售价如表所示：型号小包装大包装质量100克300克包装费0.5元0.8元售价3.00元8.40元下列说法中：买小包装实惠；买大包装实惠；卖3包小包装比卖1包大包装盈利多；卖1包大包装比卖3包小包装盈利多所有正确的说法是()A BC D解析1包小包装每元买饼干克，1包大包装每元可买饼干克，因此，买大包装实惠卖3包小包装可盈利2.1元，卖1包大包装可盈利2.2元，因此，卖3包小包装比卖1包大包装盈利少答案D二、填空题7计算机的价格大约每3年下降，那么今年花8 100元买的一台计算机，9年后
5、的价格大约是_元解析方法1：设计算机价格平均每年下降p%，由题意，可得(1p%)3，p%1.9年后的价格为8 10098 1003300(元)方法2：9年后的价格为8 10038 1003300(元)答案3008某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元每提高一个档次，每件利润增加2元用同样工时，可以生产最低档产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品则获得利润最大时生产产品的档次是_解析由题意，第k档次时，每天可获利润为：y82(k1)603(k1)6k2108k378(1k10)，配方可得y6(k9)2864，k9时，获得利润最大答案99生活经验告诉我们，当水注进容器(设单位
6、时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，(A)对应_；(B)对应_；(C)对应_；(D)对应_解析A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快慢快，应与(1)对应；C、D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线形，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应答案(4)(1)(3)(2)三、解答题10某工厂在政府的帮扶下，准备转型生产一种特殊机器，生产需要投入固定成本500万元，生产与销售均以百台计数，且每生产100台，还需增加可变成本1 000万元若市场对该产品的年需
7、求量为500台，每生产m百台的实际销售收入(单位：万元)近似满足函数R(m)5 000m500m2(0m5，mN)(1)试写出第一年的销售利润y(万元)关于年产量x(单位：百台，x5，xN*)的函数关系式；(说明：销售利润实际销售收入成本)(2)因技术等原因，第一年的年生产量不能超过300台，若第一年人员的年支出费用u(x)(万元)与年产量x(百台)的关系满足u(x)500x500(x3，xN*)，问年产量x为多少百台时，工厂所得纯利润最大？解(1)由题意得y5 000x500x25001 000x，即y500x24 000x500(x5，xN*)(2)记工厂所得纯利润为h(x)，则h(x)5
8、00x24 000x500u(x)500x23 500x1 000，500(x27x)1 00050025 125(x3，xN*)，当x3(百台)时，h(x)max5 000(万元)故当年生产量为3百台时，厂家的纯利润最大，且最大值为5 000万元11(2014上海六校二联)为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本y(万元)与处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为yx250x900，且每处理一吨废弃物可得价值为10万元的某种产品，同时获得国家补贴10万元(1)当x10,15时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，请求出国家最
9、少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？(2)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？解(1)根据题意得，利润P和处理量x之间的关系：P(1010)xy20xx250x900x270x900(x35)2325，x10,15x3510,15，P(x35)2325在10,15上为增函数，可求得P300，75国家最少补贴75万元，该工厂才不会亏损(2)设平均处理成本为Qx502 5010，当且仅当x时等号成立，由x0得x30.因此，当处理量为30吨时，每吨的处理成本最少为10万元 1(2015郑州模拟)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产已知该生产线连续生产n年的累计产
10、量为f(n)n(n1)(2n1)吨，但如果年产量超过150吨，会给环境造成危害，为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是()A5年 B6年C7年 D8年解析第n年的年产量y因为f(n)n(n1)(2n1)，所以f(1)3，当n2时，f(n1)n(n1)(2n1)，所以f(n)f(n1)3n2，n1时，也满足上式所以第n年的年产量为y3n2，令3n2150，所以n250，因为nN，n1，所以1n7，所以nmax7.答案C2(2014陕西卷)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()Ayx3x2
11、xByx3x23xCyx3xDyx3x22x解析方法1：由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0,0)，(2,0)，在(0,0)处的切线方程为yx，在(2,0)处的切线方程为y3x6，以此对选项进行检验A选项，yx3x2x，显然过两个定点，又yx2x1，则y|x01，y|x23，故条件都满足，由选择题的特点知应选A.方法2：设该三次函数为f(x)ax3bx2cxd，则f(x)3ax22bxc，由题设有解得a，b，c1，d0.故该函数的解析式为yx3x2x，选A.答案A3如图，现要在边长为100 m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x m(x不小于9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为x2 m的圆形草地为了保证道路畅通，岛口宽不小于60 m，绕岛行驶的路宽均不小于10 m.(1)求x的取值范围；(运算中取1.4)(2)若中间草地的造价为a元/m2，四个花坛的造价为ax元/m2，其余区域的造价为元/m2，当x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？解(1)由题意，得解得即9x15.(2)记“环岛”的整体造价为y元，则由题意，得ya2axx2，令f(x)x4x312x2，则f(x)x34x224x4x，由f(x)0，解得x10或x15.列表如下：当x10，f(x)取极小值，即y取最小值故当x10 m时，可使“环岛”的整体造价最低