1、2.2.4点到直线的距离学 习 目 标核 心 素 养1掌握点到直线的距离公式并能灵活运用此公式解决距离问题(重点)2会求两条平行直线之间的距离(重点)3点到直线的距离公式的推导(难点)1通过点到直线的距离公式的推导，培养逻辑推理的数学核心素养2借助点到直线的距离公式与两平行线间的距离公式，提升数学运算的核心素养在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短，将铁路看作一条直线l，仓库看作点P，怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？1点到直线的距离(1)平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax
2、ByC0的距离d思考：点P(x0，y0)到直线l1：xx1的距离是多少？点P(x0，y0)到直线l2：yy1的距离为多少？提示|x0x1|；|y0y1|2两条平行直线之间的距离(1)两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离(2)两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离(3)两条平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20之间的距离d1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)当点在直线上时，点到直线的距离公式仍适用()(2)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线yb(b0)的距离dy0b()(3)两直线xym与xy2n的距离为()(4)两直线x2ym与2x4y3
3、n的距离为()答案(1)(2)(3)(4)提示(1)正确(2)应是d|y0b|(3)正确(4)错误将2x4y3n化为x2yn，因此距离为2(教材P95练习A改编)原点到直线x2y50的距离是()ABC2DD由点到直线的距离公式得：d3分别过点M(1,5)，N(2,3)的两直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是 3d|2(1)|34两条平行线l1：3x4y70和l2：3x4y20间的距离为 1d15求与直线l：3x4y110平行且与直线l距离为2的直线方程解与l平行的直线方程为3x4yc0根据两平行直线间的距离公式得2，解得c1或c21所求方程为：3x4y10或3x4y210点到直线的距离【例
4、1】求过点M(2,1)且与A(1,2)，B(3,0)两点距离相等的直线的方程解当直线的斜率不存在时，直线为x2，它到A、B的距离不相等，故可设直线方程为y1k(x2)，即kxy2k10由，解得k0或k所求直线方程为y1或x2y0点到直线的距离的求解方法(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线xa或yb，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d|x0a|或d|y0b|(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可1求在两坐标轴上截距相等，且到点A(3,
5、1)的距离为的直线的方程解当直线过原点时，设直线的方程为ykx，即kxy0由题意知，解得k1或k所求直线的方程为xy0或x7y0当直线不经过原点时，设所求直线的方程为1，即xya0由题意知，解得a2或a6所求直线的方程为xy20或xy60综上所述，所求直线的方程为xy0或x7y0或xy20或xy60两条平行线间的距离【例2】已知直线l1：2x7y80，l2：6x21y210，l1与l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离解l1的斜率为k1，l2的斜率k2因为k1k2，且l1与l2不重合，所以l1l2，l2的方程可化为2x7y70，所以l1与l2间的距离为d求两平行线间距离一般有两种方法(1)
6、转化法：将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算(2)公式法：直接用公式d，但要注意两直线方程中x，y的系数必须分别相同2求与直线l：5x12y60平行且到l的距离为2的直线的方程解法一：设所求直线的方程为5x12ym0，两直线的距离为2，2，m32或m20所求直线为5x12y320或5x12y200法二：设所求直线的方程为5x12yc0在直线5x12y60上取一点P0，点P0到直线5x12yc0的距离为d，由题意得2，则c32或c20所求直线的方程为5x12y320或5x12
7、y200距离公式的综合应用探究问题1两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(3，1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d你能求出d的取值范围吗？提示如图，显然有0d|AB|而|AB|3故所求的d的变化范围为(0,32上述问题中，当d取最大值时，请求出两条直线的方程提示由上图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直而kAB，所求直线的斜率为3故所求的直线方程分别为y23(x6)和y13(x3)，即3xy200和3xy100【例3】在直线l：3xy10上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大思路探究点到直线的距离的最值问题可转化为对称问题、共线问题解如图所示
8、，设点B关于直线l的对称点B的坐标为(a，b)，则kBBkl1，即31所以a3b120又由于线段BB的中点坐标为，且在直线l上，所以310即3ab60，解得a3，b3，所以B(3,3)于是AB的方程为，即2xy90所以由解得即直线l与AB的交点坐标为(2,5)所以点P(2,5)为所求在本例中，求到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小的P点的坐标？解如图所示，设点C关于直线l的对称点为C，求出点C的坐标为所以AC所在直线的方程为19x17y930，AC和l的交点坐标为故P点坐标为为所求求最值问题的处理思路(1)利用对称转化为两点之间的距离问题(2)利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离(
9、3)利用距离公式转化为一元二次函数的最值问题1点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式当直线与坐标轴垂直时可直接求之2利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，会使问题更加清晰3求两平行直线间的距离，即可利用公式d求解，也可在已知直线上取一点，转化为点到直线的距离4本节课的易错点是求两条平行线间距离时易用错公式1点(5，3)到直线x20的距离等于()A7B5C3D2A直线x20，即x2为平行于y轴的直线，所以点(5，3)到x2的距离d5(2)72两条平行线l1：3x4y20，l2：9x12y100间的距离等
10、于()A B C DCl1的方程可化为9x12y60，由平行线间的距离公式得d3两平行直线3x4y50与6xay300间的距离为d，则ad 10由两直线平行知，a8，d2，ad104已知两点A(3,2)和B(1,4)到直线mxy30的距离相等，则m的值为 或6由题意知直线mxy30与AB平行或过AB的中点，则有m或m30，m或m65已知直线l经过点P(2,5)且斜率为(1)求直线l的方程；(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程解(1)由点斜式方程得，y5(x2)，3x4y140(2)设m的方程为3x4yc0，则由平行直线间的距离公式得3，c1或29直线m的方程为3x4y10或3x4y290