1、四川省绵阳南山中学2020届高三数学仿真模拟试题（一）理（含解析）本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题），满分150分，考试时间为120分钟考生作答时，须将答案写在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.在复平面内，已知点所对应的复数为z，则为（ ）A. 1B. C. 2D. 0【答案】B【解析】【分析】由题意可得，从而可求得其模.【详解】解：因为在复平面内点所对应的复数为z，所以，所以，故选：B【点睛】此题考查复数的几何意义，复数的模，属于基础题.2.已知集合，则（
2、 ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】化简集合B，利用并集概念及运算即可得到结果.【详解】由题意可得：又故选：C【点睛】本题考查并集的概念及运算，考查分式不等式的解法，属于基础题.3.已知，则a，b，c的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用指数函数和幂函数的单调性比较出，1的大小，再利用对数函数的单调性判断出与1的大小，然后可比较出3个数的大小.【详解】解：因为在上为减函数，且，所以，即，同理可得，因为，所以，即，因为在上为减函数，且，所以，即，所以，故选：B【点睛】此题考查指数和对数大小的比较，采取了中间量法，利用了转化与化归的思想，属于基
3、础题.4.执行如图所示程序框图，则输出的的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】推导出输出的，然后利用等差数列的求和公式可求得输出的的值.【详解】第一次循环，成立，；第二次循环，成立，；第三次循环，成立，；以此类推，最后一次循环，成立，；不成立，输出的.故选：D.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，同时也考查了等差数列求和，考查计算能力，属于基础题.5.已知函数，则的图象大致为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用特殊值，对函数图象进行排除，由此得出正确选项.【详解】由于，排除B选项.由于，函数单调递减，排除C选项.由于，排除D选项.故选A.【点
4、睛】本小题主要考查已知具体函数解析式，判断函数的图象，属于基础题.6.记为等差数列的前n项和，若，则数列公差为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】【分析】利用等差中项及数列求和公式的性质化简条件可求出，根据等差数列定义即可求出公差.【详解】 ，由可得，故选：C【点睛】本题主要考查了等差数列的定义、性质，前n项和的性质，属于中档题.7.已知圆C与直线和圆都相切，则半径最小的圆C的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接检验四个选项中的圆是否与已知圆和直线相切【详解】已知圆标准方程为，圆心为，半径为，到直线的距离为，作出圆和直线，如图，四个选项的圆
5、心依次为，显然以和为圆心的圆不可能既与圆相切又与直线相切，而圆与圆和直线都不相切，只有圆与圆和直线都相切故选：A【点睛】本题考查平面上直线与圆，圆与圆的位置关系，判断直线与圆，圆与圆的位置关系一般用几何法，即由圆心到直线的距离与半径的大小确定直线与圆的位置关系，由圆心距与两圆半径的关系确定两圆的位置关系作为选择题，本题用排除法选出正确答案，可避免计算与繁琐的推理8.从标号分别为、的张标签中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则抽得的第一张标签的标号与第二张标签的标号恰好相差的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】计算出基本事件的总数，并列举出事件“抽得的第一张标签的标号
6、与第二张标签的标号恰好相差”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】从标号分别为、的张标签中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，所有的基本事件数为，其中，事件“抽得的第一张标签的标号与第二张标签的标号恰好相差”所包含的基本事件有：、，共种情况，因此，所求事件的概率为.故选：D.【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式求事件的概率，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.9.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先将题中所给的式子进行化简，之后逆用余弦差角公式得到，接着利用余弦倍角公式和辅助角公式求得结果.【详解】由可得，即
7、，即，所以，故选：B.【点睛】该题考查的是有关三角恒等变换的问题，涉及到的知识点有余弦的差角公式，余弦倍角公式和诱导公式，属于简单题目.10.如图，圆O是直角的外接圆，过点C作圆O的切线，交的延长线于点B，M为线段上的动点，连接交于N，则（ ）A. 24B. C. 39D. 18【答案】A【解析】【分析】先求出，再利用向量的加法和数量积运算求解即可.【详解】由题得,由射影定理得,由射影定理得.所以.故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量的运算，考查平面向量的数量积计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.已知A，B，C为抛物线上不同的三点，焦点F为的重心，则直线与y轴的交点的纵坐标t的
8、取值范围是（ ）A. B. C D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合三角形重心的性质，结合题意，求得结果.【详解】设，由抛物线的焦点的坐标为，焦点F为的重心，所以，显然直线斜率存在，设为，则直线方程为，联立，消去得：，所以，即，且，所以，代入式子得，又点也在抛物线上，所以，即，由及可解得，即，又当时，直线过点，此时三点共线，由焦点F为的重心，得与共线，即点也在直线上，此时点与之一重合，不满足点为该抛物线上不同的三点，所以，所以实数的取值范围为，故选：C.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的位置关系，韦达
9、定理，三角形重心的性质，在解题的过程中，注意对时的讨论，属于较难题目12.若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】不等式变形为，则直线在函数（）图象的上方，则直线过原点，斜率为，利用导数研究函数的单调性，由导数的几何意义得出结论【详解】因为，所以题中不等式可变形为，即，设，所以时，单调递增，时，单调递减，时，又在原点处切线斜率为，直线过原点且斜率为，则由（）恒成立得，此时，令，则，设，则，当时，递增，即递增，所以，所以在上单调递增，所以（）恒成立，综上故选：D【点睛】本题考查用导数研究不等式恒成立问题，考查转化与化归思想，解题关键是把不等式
10、恒成立转化为函数图象在直线下方，通过研究导数的几何意义，得出参数的范围，然后再利用导数的知识进行证明此时不等式恒成立，从而确定结论第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.的展开式的第五项为，则展开式的第六项的二项式系数为_【答案】56【解析】【分析】先由的展开式的第五项为求出的值，然后用通项公式可求出展开式的第六项的二项式系数.【详解】解：的展开式的通项为，因为的展开式的第五项为，所以且，解得，所以展开式的第六项的二项式系数为故答案为：56【点睛】此题考查的是求二项式展开式的二项式系数，属于基础题.14.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处
11、时测得公路北侧一山顶D在西偏北45的方向上，行驶后到达B处，测得此山顶在西偏北60的方向上，仰角为30，则此山的高度_【答案】【解析】【分析】在中由正弦定理求得，再在直角中求得【详解】由题意，在中由正弦定理得，所以，在中故答案为：【点睛】本题考查正弦定理解三角形，解题关键是掌握方位角的概念，掌握仰角的概念，本题属于基础题15.已知双曲线与直线有公共点，与直线没有公共点，则双曲线离心率取值范围是_【答案】【解析】【分析】对双曲线的焦点位置进行分类讨论，求得的取值范围，再由离心率公式可求得双曲线离心率的取值范围.【详解】若双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为，由于双曲线与直线有公共点，与直线
12、没有公共点，则，所以，；若双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为，若双曲线与直线有公共点，与直线没有公共点，不合乎题意.综上所述，双曲线离心率的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线离心率取值范围的求解，解答的关键就是求得的取值范围，考查计算能力，属于中等题.16.已知四边形为矩形，E为的中点，将沿折起，连接，得到四棱锥，M为的中点，与平面所成角为，在翻折过程中，下列四个命题正确的序号是_平面；三棱锥的体积最大值为；点M的轨迹是圆的一部分，且；一定存在某个位置，使；【答案】【解析】【分析】取的中点N，连接MN、EN，根据四边形MNEB为平行四边形判断正确；当平面平面时，三棱锥的体积
13、取最大值，经过计算得出正确；假设，得出矛盾结论判断不正确.【详解】项，取的中点N，连接MN、EN，则MN为的中位线，且又E为矩形ABCD的边AB的中点，且，且，即四边形MNEB为平行四边形，又平面，平面，平面，故正确；项，由为的中点，可知三棱锥的体积为三棱锥的一半，当平面平面时，三棱锥的体积取最大值，取DE的中点O，则，且，平面平面，平面平面，平面,的面积为：，三棱锥的体积的最大值为则三棱锥的体积的最大值为，故项正确；项，由四边形MNEB为平行四边形可得，而在翻折过程中，NE的长度保持不变，故BM的长为定值， 为直角三角形，90，故正确；项，取DE的中点O，连接，CO，由可知，若，则平面，又，
14、为等腰直角三角形，故而，而，与矛盾，故DE与所成的角不可能为，故不正确.故答案为：.【点睛】本题考查了空间中线面平行的判定定理，面面垂直的性质定理，三棱锥的体积，反证法等知识，考查了空间想象能力，运算求解能力，推理论证能力和创新意识，属于难题.三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知一个公比q不为1的等比数列和一个公差也为q的等差数列，且成等差数列（1）求q的值；（2）若数列前n项和为，试比较时，与的大小【答案】（1）；（2）答案不唯一，见解析.【解析】【分析】（1）根据等比数列的通项公式及等差中项列出方程即可求出；（2）计算出等差数列的通项公式，利
15、用求和公式得，做差，分类讨论即可.【详解】（1）由已知可得， 是等比数列，解得或， （2）由（1）知等差数列的公差为， ，当时，；当时，；当时，综上，当时，；当时，；当时，【点睛】本题主要考查了等差数列、等比数列的通项公式，等差数列的求和公式，做差法比较大小，分类讨论的思想，属于中档题.18.为调查某地区被隔离者是否需要社区非医护人员提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位被隔离者，结果如下： 性别是否需要男女需要4030不需要1602700.05000100.0013.8416.63510.828（1）估计该地区被隔离者中，需要社区非医护人员提供帮助的被隔离者的比例；（2）能否有9
16、9%的把握认为该地区的被隔离者是否需要社区非医护人员提供帮助与性别有关？【答案】（1）；（2）有99%的把握认为该地区的被隔离者是否需要帮助与性别有关【解析】【分析】（1）计算出样本中需要提供帮助的被隔离者所占比，由此估计该地区被隔离者所占比例；（2）根据列联表的数据，计算出随机变量的观测值，比0.010所对应的值6.635大，得出结论“有99%的把握认为该地区的被隔离者是否需要帮助与性别有关”.【详解】解：（1）调查的500位被隔离者中有位需要社区非医护人员提供帮助，该地区被隔离者中需要帮助的被隔离者的比例的估算值为；（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式， ，有99%的把握认
17、为该地区的被隔离者是否需要帮助与性别有关【点睛】本题考查了古典概型，考查了独立性检验的问题，属于基础题.19.如图，正方形的边长为2，分别为线段的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱分别交于点（1）求证：；（2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小【答案】（1）详见解析（2）【解析】【详解】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要结合平几条件，如本题利用正方形性质得，从而有平面而线线平行的证明，一般利用线面平行性质定理，即从两平面交线出发给予证明（2）利用空间向量解决线面角，一般先建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标
18、，利用方程组解出平面法向量，再根据向量数量积求夹角，最后根据线面角与向量夹角之间互余关系求大小.试题解析：解：（1）证明：在正方形中，因为是的中点，所以又因为平面，所以平面因为平面，且平面平面，所以（2）因底面，所以，如图建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以设直线与平面所成角为，则，因此直线与平面所成角的大小为考点：线面平行判定定理，利用空间向量求线面角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20.
19、已知函数（1）当函数与函数图象的公切线l经过坐标原点时，求实数a的取值集合；（2）证明：当时，函数有两个零点，且满足【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先利用导数的几何意义和函数求出公切线方程，再将公切线方程与函数联立，表示，再构造函数利用导数求出其单调区间和值域，可求出a的取值；（2）要证有两个零点，只要证有两个零点即可，而时函数的一个零点，所以只需再利用导数研究此函数的性质即可，由于两个零点，一个是，另一个在区间上，若设则， 所以只需利用导数证明即可 .【详解】解：（1）设公切线l与函数的切点为，则公切线l的斜率，公切线l的方程为：，将原点坐标代入，得，解得，公切线l的
20、方程为：， 将它与联立，整理得令，对之求导得：，令，解得当时，单调递减，值域为，当时，单调递增，值域为，由于直线l与函数相切，即只有一个公共点，故实数a的取值集合为 （2）证明：，要证有两个零点，只要证有两个零点即可，即时函数的一个零点对求导得：，令，解得当时，单调递增；当时，单调递减当时，取最小值，必定存在使得二次函数，即因此在区间上必定存在的一个零点 练上所述，有两个零点，一个是，另一个在区间上下面证明由上面步骤知有两个零点，一个是，另一个在区间上不妨设则，下面证明即可令，对之求导得，故在定义域内单调递减，即【点睛】此题考查切线与导数的关系，利用导数研究函数零点个数，利用导数证明不等式，考
21、查数学转换思想和计算能力，属于难题.21.如图，椭圆的右焦点为，过焦点，斜率为的直线交椭圆于、两点（异于长轴端点），是直线上的动点（1）若直线平分线段，求证：（2）若直线的斜率，直线、的斜率成等差数列，求实数的取值范围【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用点差法可证得结论成立；（2）令，可得直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用直线、的斜率成等差数列，可得出关于的等式，然后利用函数的基本性质可求得实数的取值范围.【详解】（1）设、，线段的中点，由题意可得，上述两式相减得，可得，则，因此，；（2）由，令，则直线的方程为，由得，恒成立，由韦达定理得，因
22、为直线、的斜率成等差数列，所以，即，由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递增，当时，所以，.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查点差法的应用，同时也考查了椭圆中参数取值范围的计算，考查计算能力，属于中等题.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时请写清题号.选修4-4：坐标系与参数方程22.直线l的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，曲线C的参数方程为（为参数）（1）写出C的极坐标方程；（2）射线与C和l的交点分别为M，N，射线与C和l的交点分别为A、B，求四边形的面积【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）消去参数得圆的普
23、通方程，再由公式可得极坐标方程；（2）直接把和代入直线的极坐标方程可得的极径，然后由计算可得面积【详解】解：（1）由消去参数得圆的普通方程为，所以C的极坐标方程为，即；（2）把代入直线的极坐标方程得，同理， 所以，又，【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查普通方程与极坐标方程的互化，考查直线极坐标方程的应用掌握极坐标的定义是解题关键选修4-5：不等式选讲23.已知，均为正实数，求证：（1）；（2）若，则.【答案】证明过程详见解析【解析】【分析】将求证的不等式进行化简，经历移项、提取公因式、配方后，要证明其成立只需要证明化简后的不等式成立由基本不等式可得，同理可得另外两个也是成立，结合已知条件即可求证结果【详解】证明：(1)要证，可证，需证，即证，当且仅当时，取等号，由已知，上式显然成立，故不等式成立(2)因为均为正实数，由不等式的性质知，当且仅当时，取等号，当且仅当时 ，取等号，当且仅当时，取等号，以上三式相加，得所以，当且仅当时，取等号【点睛】本题考查了不等式的证明问题，在求解过程中可以运用基本不等式、对要证明的不等式进行化简等方法来求证，关键是要灵活运用基本不等式等方法求证结果