1、考点直线与圆锥曲线的位置关系1(2015四川，10)设直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，与圆(x5)2y2r2(r0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是()A(1，3) B(1，4) C(2，3) D(2，4)解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则相减得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，当l的斜率不存在时，符合条件的直线l必有两条；当l的斜率存在时，x1x2，则有2，即y0k2，由CMAB得k1，y0k5x0，25x0，x03，即M必在直线x3上，将x3代入y24x，得y212，有2y02，点M在圆上，(x05)2yr
2、2，r2y412416，又y44，4r216，2r4，故选D.答案D2(2013山东，11)抛物线C1：yx2(p0)的焦点与双曲线C2：y21的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p等于()A. B. C. D.解析设抛物线焦点A，双曲线右焦点为B(2，0)，双曲线渐近线方程为yx，直线AB方程为px4y2p0，由得M点横坐标为xM，又yx，xM，又p0，即p，平方可解得p.答案D3(2012浙江，8)如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A3 B2 C
3、. D.解析设椭圆长半轴的长为a(a0)，则双曲线实半轴的长为，由于双曲线与椭圆共焦点，设焦距为2c，所以双曲线的离心率e1，椭圆的离心率e2，所以2，故选B.答案B4(2015天津，19)已知椭圆1(ab0)的上顶点为B，左焦点为F，离心率为.(1)求直线BF的斜率；(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B)，过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B)，直线PQ与y轴交于点M，|PM|MQ|.求的值；若|PM|sinBQP，求椭圆的方程解(1)设F(c，0)由已知离心率及a2b2c2，可得ac，b2c，又因为B(0，b)，F(c，0)，故直线BF的斜率k2.(2)设点P(xP，y
4、P)，Q(xQ，yQ)，M(xM，yM)由(1)可得椭圆的方程为1，直线BF的方程为y2x2c.将直线方程与椭圆方程联立，消去y，整理得3x25cx0，解得xP.因为BQBP，所以直线BQ的方程为yx2c，与椭圆方程联立，消去y，整理得21x240cx0，解得xQ.又因为，及xM0，可得.由有，所以，即|PQ|PM|.又因为|PM|sinBQP，所以|BP|PQ|sinBQP|PM|sinBQP.又因为yP2xP2cc，所以|BP|c，因此c，得c1.所以，椭圆方程为1.5(2015北京，20)已知椭圆C：x23y23，过点D(1，0)且不过点E(2，1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE
5、与直线x3交于点M.(1)求椭圆C的离心率；(2)若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由解(1)椭圆C的标准方程为y21，所以a，b1，c.所以椭圆C的离心率e.(2)因为AB过点D(1，0)且垂直于x轴，所以可设A(1，y1)，B(1，y1)，直线AE的方程为y1(1y1)(x2)，令x3，得M(3，2y1)，所以直线BM的斜率kBM1.(3)直线BM与直线DE平行，证明如下：当直线AB的斜率不存在时，由(2)可知kBM1.又因为直线DE的斜率kDE1，所以BMDE，当直线AB的斜率存在时，设其方程为yk(x1)(k1)，设A(x1，y1)，
6、B(x2，y2)，则直线AE的方程为y1(x2)令x3，得点M，由得(13k2)x26k2x3k230，所以x1x2，x1x2，直线BM的斜率kBM，因为kBM10，所以kBM1kDE.所以BMDE，综上可知，直线BM与直线DE平行6(2015江苏，18)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC2AB，求直线AB的方程解(1)由题意，得且c3，解得a，c1，则b1，所以椭圆的标准方程为y21.(2)当ABx轴时，AB，又C
7、P3，不合题意当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将AB的方程代入椭圆方程，得(12k2)x24k2x2(k21)0，则x1，2，C的坐标为，且AB.若k0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意从而k0，故直线PC的方程为y，则P点的坐标为，从而PC.因为PC2AB，所以，解得k1.此时直线AB的方程为yx1或yx1.7(2015湖北，22)一种画椭圆的工具如图1所示O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DNON1，MN3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，
8、带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系(1) 求椭圆C的方程；(2) 设动直线l与两定直线l1：x2y0和l2：x2y0分别交于P，Q两点若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由解(1)因为|OM|MN|NO|314，当M，N在x轴上时，等号成立；同理|OM|MN|NO|312，当D，O重合，即MNx轴时，等号成立所以椭圆C的中心为原点O，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为1.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l为x4或x4，都有SOPQ448.当直线
9、l的斜率存在时，设直线l：ykxm，由消去y，可得(14k2)2x28kmx4m2160.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，所以64k2m24(14k2)(4m216)0，即m216k24.又由可得P；同理可得Q.由原点O到直线PQ的距离为d和|PQ|xPxQ|，可得SOPQ|PQ|d|m|xPxQ|m|.将代入得，SOPQ8.当k2时，SOPQ888；当0k2时，SOPQ88.因0k2，则0b0)的一个焦点C1 与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向(1)求C2的方程；(2)若|AC|BD|，求直线l的斜率解(1)由C1：x24y
10、知其焦点F的坐标为(0，1)因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2b21.又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x24y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为，所以1.联立，得a29，b28.故C2的方程为1.(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)因与同向，且|AC|BD|，所以，从而x3x1x4x2，即x1x2x3x4，于是(x1x2)24x1x2(x3x4)24x3x4.设直线l的斜率为k，则l的方程为ykx1.由得x24kx40.而x1，x2是这个方程的两根，所以x1x24k，x1x24.由得(98k2)x216
11、kx640.而x3，x4是这个方程的两根，所以x3x4，x3x4，将，代入，得16(k21)，即16(k21)，所以(98k2)2169，解得k，即直线l的斜率为.10(2014山东，21)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的离心率为，直线yx被椭圆C截得的线段长为.(1)求椭圆C的方程；(2)过原点的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不是椭圆C的顶点)点D在椭圆C上，且ADAB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2.证明：存在常数使得k1k2，并求出的值；求OMN面积的最大值解(1)由题意知，可得a24b2.椭圆C的方程可简化为x24y2a
12、2.将yx代入可得x，因此，可得a2.因此b1.所以椭圆C的方程为y21.(2)设A(x1，y1)(x1y10)，D(x2，y2)，则B(x1，y1)，因为直线AB的斜率kAB，又ABAD，所以直线AD的斜率k.设直线AD的方程为ykxm，由题意知k0，m0.由可得(14k2)x28mkx4m240.所以x1x2，因此y1y2k(x1x2)2m.由题意知x1x2，所以k1.所以直线BD的方程为yy1(xx1)令y0，得x3x1，即M(3x1，0)可得k2.所以k1k2，即.因此存在常数使得结论成立直线BD的方程yy1(xx1)，令x0，得yy1，即N.由知M(3x1，0)，可得OMN的面积S3
13、|x1|y1|x1|y1|.因为|x1|y1|y1，当且仅当|y1|时等号成立，此时S取得最大值，所以OMN面积的最大值为.11(2014江西，20)如图，已知抛物线C：x24y，过点M(0，2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)(1)证明：动点D在定直线上；(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2|MN1|2为定值，并求此定值证明(1)依题意可设AB方程为ykx2，代入x24y，得x24(kx2)，即x24kx80.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2
14、8，直线AO的方程为yx；BD的方程为xx2.解得交点D的坐标为注意到x1x28及x4y1，则有y2，因此D点在定直线y2(x0)上(2)依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为yaxb(a0)，代入x24y得x24(axb)，即x24ax4b0，由0得(4a)216b0，化简整理得ba2.故切线l的方程可写为yaxa2.分别令y2、y2得N1、N2的坐标为N1，N2，则|MN2|2|MN1|2428，即|MN2|2|MN1|2为定值8.12(2014北京，19)已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段
15、AB长度的最小值解(1)由题意，椭圆C的标准方程为1.所以a24，b22，从而c2a2b22.因此a2，c.故椭圆C的离心率e.(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x00.因为OAOB，所以0，即tx02y00，解得t.又x2y4，所以|AB|2(x0t)2(y02)2(y02)2xy4x44(0x4)因为4(0x4)，且当x4时等号成立，所以|AB|28.故线段AB长度的最小值为2.13(2013安徽，21)已知椭圆C：1(ab0)的焦距为4，且过点P(，)(1)求椭圆C的方程；(2)设Q(x0，y0)，(x0y00)为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E.取点
16、A(0，2)，连接AE.过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG.问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由解(1)因为焦距为4，所以a2b24，又因为椭圆C过点P(，)，所以1，故a28，b24，从而椭圆C的方程为1.(2)一定有唯一的公共点，理由如下：由题意，E点坐标为(x0，0)设D(xD，0)，则(x0，2)，(xD，2)再由ADAE知，0，即xDx080.由于x0y00，故xD.因为点G是点D关于y轴的对称点，所以点G.故直线QG的斜率kQG.又因Q(x0，y0)在椭圆C上，所以x2y8.从而kQG.故直线QG的方程为y(x)将代入椭圆C方程，得(x2y)x216x0x6416y0.再将代入，化简得x22x0xx0.解得xx0，yy0，即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点
