1、数学试题卷 第 1 页（共 4 页）机密 启用前 湖湘教育三新探索协作体 2020 年 11 月联考试卷 高二数学 班级：_ 姓名：_ 准考证号：_（本试卷共4页，22题，全卷满分：150分，考试用时：120分钟）由 联合命制 注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，将本试题卷
2、和答题卷一并上交。一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1已知|3Axx=*N，2|340Bx xx=，则 AB=A1,2,3 B1,2 C(0,3 D(3,4 2“ab”是“1ab”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3已知1sincos2=，则1tantan+的值为 A 12 B12 C 2 D 2 4过直线30 xy+=和 260 xy+=的交点，且与直线 230 xy+=垂直的直线方程是 A 4290 xy+=B 4290 xy+=C290 xy+=D290 xy+=5九章
3、算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等问各得几何”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，戊所得为 A 54 钱 B 43 钱 C 23 钱 D 53 钱 6直线 220axby+=被222440 xyxy+=截得弦长为 6，则 ab 的最大值是 A9 B4 C 12 D 14郴州市一中 鼎城区一中 衡阳市八中 汉寿县一中 澧县一中 浏阳一中 永州市四中 周南中学 数学试题卷 第 2 页（共 4 页）7已
4、知四面体 ABCD 的四个面都为直角三角形，AB 平面 BCD，1ABBCCD=，若该四面体的四个顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积为A 32B32C3D38已知直线230 xy=过椭圆()222210 xyabab+=的右焦点 F，且交椭圆于 A、B 两点若线段AB 的中点为 P，直线OP 的斜率为 1，则椭圆的方程为A2214536xy+=B2213627xy+=C2212718xy+=D221189xy+=二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分9下列说法正确
5、的有A3=a a aaB=、为实数，若 ab，则 a 与 b 共线C两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小D若平面内有四个点 A、B、C、D，则必有 ACBDBCAD+=+10关于空间两条直线ab，和平面，下列命题错误的是A若 a，b，则abB若/a ，b，则/a bC若 ab，b，则/a D若/a b，b，则a11已知函数1()coscosf xxx=+，现给出如下结论，其中正确的是A()f x 的图象关于 y 轴对称B()f x 最小正周期为 2C()f x 在(0,)2 上单调递减D()f x 的图象关于点(,0)2对称12在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线2yx=上异于顶点的两个
6、动点 A、B，以 AB 为直径的圆过原点，则下列说法正确的是A直线 AB 过定点()0,1BAOB的重心的轨迹为抛物线CAOB的面积的最小值为 1D若OMAB于点 M，则 M 点的轨迹为椭圆三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13已知1=ab，a 与 b 的夹角为 60，则()2+=aba 14已知 236ab=，则 11ab+=15在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线22221(00)xyabab=，的左焦点 F 关于一条渐近线的对称点恰好落在另一条渐近线上，则双曲线的离心率为 16在数列 na中，若221(2)nnaap np=，为常数，则称 na为“等方差数列”已
7、知正项数列 na的前 n 项和为nS，且满足1()nnnSaa=+，若数列nS为“等方差数列”，则 =_；1281111SSS+=_（其中 x 表示不超过 x 的最大整数）数学试题卷 第 3 页（共 4 页）四、解答题：本题共 6 小题，第 17 题 10 分，第 18 题至 22 题每小题 12 分，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在535S=，122114bbS=，35ST=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题：已知正项等差数列 na的公差是等差数列 nb的公差的两倍，设nS、nT 分别为数列 na、nb的前 n 项和，且1233aT=，设2 nbnnc
8、a=，求 nc的前 n 项和nA 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分18已知ABC的内角 ABC、的对边分别是 abc、，2cos(coscos)A bCcBa+=，且7a=，2bc=（1）求 A 的大小；（2）求 BC 边上的高19如图，在四棱锥 ABCDE中，已知四边形 BCDE 为平行四边形，平 面 ABE 平 面 BCDE，2ABAEBCCE=，=90BAE，点O 为 BE 的中点（1）求证：CD 平面 AOC；（2）求二面角 ABCO的正切值20湖南省从 2021 年开始将全面推行“3 12+”的新高考模式，新高考对化学、生物、地理和政治等四门选考科目，制定了计算转换T
9、分（即记入高考总分的分数）的“等级转换赋分规则”（详见附 1 和附 2），具体的转换步骤为：原始分Y 等级转换；原始分等级内等比例转换赋分某校的一次年级统考中，政治、生物两选考科目的原始分分布如下表：等级ABCDE比例约 15%约 35%约 35%约 13%约 2%政治学科各等级对应的原始分区间81,9872,8066,7163,6560,62生物学科各等级对应的原始分区间90,10077,8969,7666,6863,65现从政治、生物两学科中分别随机抽取了 20 个原始分成绩数据，作出茎叶图：政治生物88665210644557965543107011333982081257829156（
10、1）根据茎叶图，分别求出政治成绩的中位数和生物成绩的众数；（2）该校的甲同学选考政治学科，其原始分为 82 分，乙同学选考生物学科，其原始分为 91分，根据赋分转换公式，分别求出这两位同学的转化分；（3）根据生物成绩在等级 B 的 6 个原始分和对应的 6 个转化分，得到样本数据(Yi，Ti)，请（第 19 题图）OBCDEA数学试题卷 第 4 页（共 4 页）计算生物原始分 Yi 与生物转换分 Ti 之间的相关系数，并根据这两个变量的相关系数谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法.附 1：等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间 等级 A B C D E 原始分从高到低排序的等级人
11、数占比 约 15%约 35%约 35%约 13%约 2%转换分 T 的赋分区间 86,10071,8556,7041,5530,40附 2：计算转换分 T 的等比例转换赋分公式：2211YYTTYYTT=（其中：1Y，2Y，分别表示原始分 Y 对应等级的原始分区间下限和上限；1T，2T 分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间下限和上限T 的计算结果按四舍五入取整数）附 3:()()6174iiiYYTT=，()()6622115 49474.12iiiiYYTT=，()()()()12211niiinniiiiYYTTrYYTT=.21已知椭圆()222210 xyabab+=右顶点 A 为抛
12、物线()220ypx p=的焦点，右焦点 F 到抛物线的准线l 的距离为 3，椭圆的离心率为 12 （1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设l 上两点 M、N 满足 AMAN=，直线 AM 与椭圆相交于点 B（B 异于点 A），直线 BN与 x 轴相交于点 D 求AMD面积的最大值，并求此时直线 AM 的方程 22设()f x 是偶函数，当0 x 时，2 sin()01()4(1)()1.xxf xxaxx=，（1）当=2a时，方程()f xm=有 4 个不同的根，求 m 的取值范围；（2）若方程()f xm=有 4 个不同的根，且这 4 个根成等差数列，试探求 a 与 m 满足的条件 1
13、2020 年 11 月湖湘教育三新探索协作体联考试卷答案 1.【答案】A【解析】因为|3Axx=*N，2|340Bx xx=|14xx=，所以 AB=1,2,3，故选：A.2.【答案】D【解析】取2,1ab=，则,1aab b；取2,1ab=，则1,aabb，因此“ab”是“1ab ”的既不充分也不必要条件，故选：D.3.【答案】D【解析】1sincos2=，1tantan+sincoscossin=+22sincossincos+=1212=，故选：D.4.【答案】D【解析】联立30260 xyxy+=+=，解得1,4xy=.设与直线 230 xy+=垂直的直线方程是20 xym+=，将1,
14、4xy=代入方程，解得9m=，故所求方程为290 xy+=，故选：D.5.【答案】C【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,2ad ad a ad ad+，则根据题意有(2)()()(2)5(2)()()(2)adadaadadadadaadad+=+=+，解得116ad=，所以戊所得为223ad+=，故选：C.6.【答案】D【解析】将222440 xyxy+=化为标准形式：22(1)(2)9xy+=，故该圆圆心为(1,2)，半径为 3.因为直线截圆所得弦长为 6，故直线过圆心，所以 2220ab+=，即1ab+=，所以22abab+14=（当且仅当12ab=时取等号），故选：D.7.【答
15、案】C【解析】如图所示，可将四面体 ABCD 还原为正方体，则四面体的外接球即为正方体的外接球，因此球O 的半径32R=，表面积243SR=，故选：C.2 8.【答案】D【解析】设112200(,),(,),(,)A x yB xyP xy，则22112222222211xyabxyab+=+=，得22221212220 xxyyab+=，整理可得20122120yyybxxxa=，即221(1)2ba=，又直线230 xy=过椭圆的右焦点(3,0)F，即3c=，所以2218,9ab=，故选：D.9.【答案】CD【解析】A 项，2=a a aa a，故 A 项错误；B 项，0=时，=0ab=，
16、a 与 b 不一定共线，故 B 项错误.故选：CD.10.【答案】BC【解析】B 项，若/,ab，则a 与 b 平行或异面，故 B 项错误；C 项，若,ab b，则/a 或 a，故 C 项错误.故选：BC.11.【答案】ABD【解析】根据cosyx=的函数性质，易知 A，B，D 项正确；令cos(0,1)tx=，则1ytt=+，因为costx=在(0,)2 上单调递减，1ytt=+在(0,1)上单调递减，所以()f x 在(0,)2 上单调递增，故 C 项错误.故选：ABD.12.【答案】ABC【解析】设1122(,),(,)A x yB xy，直线 AB 的方程为 ykxm=+，联立2yxy
17、kxm=+，得20 xkxm=，CDAB3 所以1212,x xm xxk=+=，由题知OAOB，则12120OA OBx xy y=+=，即2212120 x xx x+=，所以121x x=，即1m=，故直线 AB：1ykx=+，过定点(0,1)P，A 项正确；设AOB的重心为00(,)G xy，则1201200303xxxyyy+=+=，即020323kxky=+=，所以200233yx=+，因此G 点的轨迹为抛物线，B 项正确；2212121()4ABkxxx x=+2214kk=+，O 到 AB 的距离211dk=+，所以211422AOBSAB dk=+1，当且仅当0k=时等号成立
18、，C 项正确；若 OMAB于点 M，则OMMP，设 OP 的中点为1(0,)2Q，则1122MQOP=，故 M 点的轨迹为圆，D 项错误.故选：ABC.13.【答案】2【解析】由题知(2)+=aba21212 1 1 2+=+aab1 12=+=.14.【答案】1【解析】由 236ab=可知2log 6a=，3log 6b=，所以6611log 2log 3ab+=+6log 61=.15.【答案】2【解析】设(,0)Fc关于直线byxa=的对称点为(,)P ab，则直线 PF 与直线byxa=互相垂直，则1bbac a=+，即22baac=+，又222bca=，所以2220caca=，即22
19、0ee=，解得2e=或1e=（舍）.4 16.【答案】12；16【解析】1()nnnSaa=+，111()nnnnnSSSSS=+（2n 时），22211(1 2)()(1 2)nnnnnSSSS S+=+，因为nS为“等方差数列”，则设221nnSSd=，21(1 2)(1 2)nnnSdS S+=+，即21(1 2)()(1)nnnSS Sd=，所以12=，1d=，此时2211nnSS=，可得nSn=，则2112(2)11nnSnnnnn=+，故12811112(21328281)2(821)16SSS+=，128111112(21328180)17SSS+=，所以1281111SSS+=
20、16.17.【答案】()121 22nnAn+=+【解析】不妨设 na的公差为 2d，nb的公差为 d，方案 1：选条件 由题意得，123bd+=，5 43 5+2352d=，解之得，11b=，1d=，则()12121,nnaannbn=+=+=，则()21 2nncn=+，5 分()1233 2+5 2+72+21 2nnAn=+，()234123 2+5 2+7 2+21 2nnAn+=+，两式相减，整理得：()121 22nnAn+=+.10 分 5 方案 2：选条件 由题意得123bd+=，()()11462b bddd+=+，解得11b=，1d=或13b=，3d=（舍去），则()12
21、121,nnaannbn=+=+=，则()21 2nncn=+，5 分()1233 2+5 2+72+21 2nnAn=+，()234123 2+5 2+7 2+21 2nnAn+=+，两式相减，整理得：()121 22nnAn+=+.10 分 方案 3：选条件 由题意得，2335ab=，即()()113+252adbd=+，化简得，1549bd+=，2121T23bbbd=+=+=，联立方程组得，11b=1d=，则 na的公差为 2，nb的公差为 1，()12121,nnaannbn=+=+=，则()21 2nncn=+，5 分()1233 2+5 2+72+21 2nnAn=+，()234
22、123 2+5 2+7 2+21 2nnAn+=+，两式相减，整理得：()121 22nnAn+=+.10 分 18.【答案】（1）3；（2）3 2114.【解析】（1）由正弦定理得，2cos(sincosC sincos)sinABCBA+=，化简得：2cossinsinAAA=，sin02cos1AA=，即3A=.6 分（2）设 BC 边上的高为 h，222221cos722bcaAbcbcbc+=+=，22230bccc=+=，1c=或3c=（舍去），1,3cb=，6 由面积公式得，11sin22ahbcA=，代入数据得，3 2114h=.12 分 19.【答案】（1）证明见解析；（2）
23、2.【解析】（1）证明：ABAE=，点O 为 BC 的中点，AOBE，2 分 BCCE=，点O 为 BC 的中点，COBE，4 分 ACAOA=，AC，AO 平面 AOC，BE 平面 AOC，四边形 BCDE 为平行四边形，/CDBE，CD 平面 AOC.6 分（2）过 O 点作 BC 的垂线，垂足为 G，连接 AG，8 分 因为 AOBCO 面，所以 BCAG，故AGO即为所求的二面角，10 分 在直角三角形 AGO 中，2AO=，1OG=，所以 tan2AGO=.12 分(若用空间向量解答，酌情给分)20.【答案】答案见解析【解析】（1）政治成绩的中位数为 72，生物成绩的众数为 73.2
24、 分（2）甲同学选考政治学科的等级为 A，由转换赋分公式：9882100828186TT=，得 T87.4 分 乙同学选考生物学科的等级 A，由换赋分公式：1009110091 9086TT=，得 T87.6 分 故甲、乙两位同学的转换分都为 87 分（3）()()()()61662211740.99874.12iiiiiiiYYTTrYYTT=.9 分 说法 1：等级转换赋分法公平，因为相关系数十分接近于 1，接近于函数关系，因此高考这种“等级转换赋分法”具有公平性与合理性 说法 2：等级转换赋分法不公平.在同一等级内，原始分与转化分是确定的函数关系，理论上原始分与转化分的相关系数为 1，而
25、在实际赋分过程中由于数据的四舍五入，使得实际的转化分与应得的转化分有一定的误差，极小部分同学赋分后会出现偏高或偏低的现象.12 分 7 （只要学生说法合理，都给分）21.【答案】（1）22+=143xy，28yx=；（2）AMD面积的最大值为 2 6，此时直线 AM 的方程为36603660 xyxy+=或.【解析】（1）依题意，12ca=，2pa=，3ac+=，解得=2a，3b=，1c=，4p=，所以，椭圆的方程为22+=143xy，抛物线的方程为28yx=.4 分（2）设直线 AM 的方程为()20 xmym=+，与直线l 的方程2x=联立，可得点42,Mm，42,Nm.故将()20 xm
26、ym=+与22+=143xy联立，消去 x，整理得()2234120mymy+=，解得0y=，或21234mym=+.由点 B 异于点 A，可得点2226812,3434mmBmm+，7 分 又求直线 BN 的方程为()2221246842203434mmxymmmm+=+，令0y=，解得226432Dmxm+=+，所以2222641223232mmADmm+=+，9 分 故221124.2 32MADmSmm=+2 6，当且仅当63m=时取等号，11 分 此时直线 AM 的方程为36603660 xyxy+=或.12 分 22.【答案】（1）12,44；（2）2a 且14m=，或52 43
27、23a+且2310316aam+=.【解析】（1）由题意得，当0 x 时，2 sin(),01()4(1)(2),1xxf xxx x=，由图象可知，1244m.4 分（2）当方程()f xm=在1,1上有四个实根时，8 由3242xxx=+，23xx=，341xx+=，可知314x=，434x=，从而11()44mf=，且1()4f x 在()1,x+上恒成立 i 当1a 时，易知成立；ii 当1a 时，1()4f x 在()1,x+上恒成立，则11()24af+，解得12a.7 分 当方程()f xm=在1,1上有两个实根时，可知212x=，312x=，12()24mf=，由四个根成等差，得432x=，即1322a+=，求得2a=，此时312()244f=，故这种情形不符合题意，舍去.9 分 当方程()f xm=在1,1上无实根时，由3242xxx=+，23-xx=，341xxa+=+，可知314ax+=，213103()416aaamf+=，且要满足24m，解得52 43 23a+.综 上，a 与 m 满 足 的 条 件 为2a 且14m=，或52 43 23a+且2310316aam+=.12 分