1、第二章 函数、导数及其应用授课提示：对应学生用书第257页A组基础保分练1函数f(x)exx的极值点的个数为()A0B1C2D3答案：A2(2021沈阳模拟)设函数f(x)xex1，则()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点答案：D3已知函数f(x)xln xx23x在区间内有极值，则整数n的值为()A1B2C3D4答案：B4.若函数f(x)的图象如图所示，则m的取值范围为()A(，1)B(1,2)C(0,2)D(1,2)解析：f(x)，由函数图象的单调性及有两个极值点可知m20且m0，故0m2.又由题图易得1，即m1.故1m
2、2.答案：D5已知不等式xsin xcos xa对任意的x0，恒成立，则整数a的最小值为()A2B1C0D1解析：令f(x)xsin xcos x，则f(x)sin xxcos xsin xxcos x，令f(x)0，则在(0，)上x.当x时，f(x)0，f(x)单调递增，当x时，f(x)0，f(x)单调递减，又f(0)1，f，f()1，所以当x时，f(x)取得最大值，即f(x)maxf，所以a，即整数a的最小值为2.答案：A6已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m1,1，则f(m)的最小值是_答案：47.函数f(x)x3bx2cxd的大致图象如图所示，则xx_.答案：8已知函数f
3、(x)sin xx2，若f(x)在上有唯一极大值点，求实数a的取值范围解析：由已知得f(x)cos xax，当a0时，f(x)0，f(x)在上单调递增，此时f(x)在上不存在极值点；当a0时，f(x)sin xa0，f(x)在上单调递减，又f(0)10，fa0，故存在唯一x0使得x(0，x0)时，f(x)0，f(x)单调递增，x时，f(x)0，f(x)单调递减此时，x0是函数f(x)的唯一极大值点，综上可得，实数a的取值范围是(0，)9(2021哈尔滨模拟)已知函数f(x)ln xax(aR)(1)当a时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数解析：(1)当a时，f(x
4、)ln xx，函数的定义域为(0，)且f(x)，令f(x)0，得x2，于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表.x(0,2)2(2，)f(x)0f(x)ln 21故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值f(2)ln 21，无极小值(2)由(1)知，函数的定义域为(0，)，f(x)a(x0)当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，即函数在(0，)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a0时，当x时，f(x)0，当x时，f(x)0，故函数在x处有极大值综上可知，当a0时，函数f(x)无极值点，当a0时，函数yf(x)有一个极大值点，且为x.B组能力提升练1(多选题)(2021山东
5、潍坊模拟)已知函数f(x)的导函数f(x)x4(x1)3(x2)2(x3)，则下列结论正确的是()Af(x)在x1处有极大值Bf(x)在x2处有极小值Cf(x)在1,3上单调递减Df(x)至少有3个零点解析：当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,1)1(1,2)2(2,3)3(3，)f(x)0000f(x)单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增由上表可知，f(x)在x1处有极大值，故A正确x2不是f(x)的极值点，故B错误f(x)在1,3上单调递减，故C正确f(x)的极大值为f(1)，极小值为f(3)，若f(1)0或f(3)0，则f(x)有1个零点；若f(1)0或
6、f(3)0，则f(x)有2个零点；若则f(x)有3个零点，故D错误答案：AC2(多选题)(2021山东联考)若函数f(x)2x3ax2(a0)在上有最大值，则a的取值可能为()A6B5C4D3解析：令f(x)2x(3xa)0，得x10，x2(a0)，当x0时，f(x)0，当x或x0时，f(x)0，从而f(x)在x处取得极大值，为f.由f(x)，得20，解得x或x.f(x)在上有最大值，a4.由选项可知ABC正确答案：ABC3若函数f(x)x33x在(a,6a2)上有最小值，则实数a的取值范围是()A(，1)B，1)C2,1)D(2,1)答案：C4(2021郑州模拟)若函数yf(x)存在n1(n
7、N*)个极值点，则称yf(x)为n折函数，例如f(x)x2为2折函数已知函数f(x)(x1)exx(x2)2，则f(x)为()A2折函数B3折函数C4折函数D5折函数解析：f(x)(x2)ex(x2)(3x2)(x2)(ex3x2)，令f(x)0，得x2或ex3x2.易知x2是f(x)的一个极值点，又ex3x2，结合函数图象(图略)，yex与y3x2有两个交点又e23(2)24.函数yf(x)有3个极值点，则f(x)为4折函数答案：C5若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则a_，f(x)的极小值为_答案：116若函数f(x)x2x1在区间上有极值点，则实数a的取值范围是_解析：函
8、数f(x)在区间上有极值点等价于f(x)0有2个不相等的实根且在内有根，由f(x)0有2个不相等的实根，得a2或a2.由f(x)0在内有根，得ax在内有解，又x，所以2a.综上，a的取值范围是.答案：7已知函数f(x)ex(xln xa)(e为自然对数的底数，a为常数，并且a1)(1)判断函数f(x)在区间(1，e)内是否存在极值点？并说明理由；(2)若当aln 2时，f(x)k(kZ)恒成立，求整数k的最小值解析：(1)f(x)ex，令g(x)ln xxa1，x(1，e)，则f(x)exg(x)，g(x)0恒成立，所以g(x)在(1，e)上单调递减，所以g(x)g(1)a10，所以f(x)0
9、在(1，e)内无解所以函数f(x)在区间(1，e)内无极值点(2)当aln 2时，f(x)ex(xln xln 2)，定义域为(0，)，f(x)ex，令h(x)ln xxln 21，由(1)知，h(x)在(0，)上单调递减，又h0，h(1)ln 210，所以存在x1，使得h(x1)0，且当x(0，x1)时，h(x)0，即f(x)0，当x(x1，)时，h(x)0，即f(x)0.所以f(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，)上单调递减，所以f(x)maxf(x1)ex1(x1ln x1ln 2)由h(x1)0得ln x1x1ln 210，即ln x1x1ln 21，所以f(x1)ex1，x1.
10、令r(x)ex，x，则r(x)ex0恒成立，所以r(x)在上单调递增，所以r(x)0，所以f(x)max0，又f 1，所以1f(x)max0，所以若f(x)k(kZ)恒成立，则整数k的最小值为0.8(2021广州模拟)已知函数f(x)(x2)ln xax24x7a.(1)若a，求函数f(x)的所有零点；(2)若a，证明函数f(x)不存在极值解析：(1)当a时，f(x)(x2)ln xx24x，函数f(x)的定义域为(0，)，则f(x)ln xx3.设g(x)ln xx3，则g(x)1.当0x1时，g(x)0，当x1时，g(x)0，所以函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所
11、以当x0时，g(x)g(1)0(当且仅当x1时取等号)，即当x0时，f(x)0(当且仅当x1时取等号)所以函数f(x)在(0，)上单调递增，至多有一个零点因为f(1)0，所以x1是函数f(x)唯一的零点所以函数f(x)的零点只有x1.(2)证明：法一：f(x)(x2)ln xax24x7a，函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)ln x2ax4.当a时，f(x)ln xx3，由(1)知ln xx30.即当x0时，f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增所以f(x)不存在极值法二：f(x)(x2)ln xax24x7a，函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)ln x2ax4，设m(x
12、)ln x2ax4，则m(x)2a(x0)设h(x)2ax2x2(x0)，当a时，令h(x)2ax2x20，解得x10，x20.可知当0xx2时，h(x)0，即m(x)0，当xx2时，h(x)0，即m(x)0，所以f(x)在(0，x2)上单调递减，在(x2，)上单调递增由(1)知ln xx30，则f(x2)ln x2x23(2a1)x2(2a1)x20.所以f(x)f(x2)0，即f(x)在定义域上单调递增所以f(x)不存在极值C组创新应用练某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平
13、方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大解析：(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh元，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又根据题意知200rh160r212 000，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3)因为r0，h0，所以r5，故函数V(r)的定义域为(0,5)(2)因为V(r)(300r4r3)，所以V(r)(30012r2)令V(r)0，解得r15，r25(舍去)当r(0,5)时，V(r)0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)0，故V(r)在(5,5)上为减函数由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大