1、3 基本不等式31 基本不等式学习目标 1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式知识链接下列说法中，正确的有_(1)a2b22ab(ab)2；(2)(ab)20；(3)a2b2(ab)2；(4)(ab)2(ab)2.答案(1)(2)解析 当 a，b 同号时，有 a2b2(ab)2，所以(3)错误；当 a，b 异号时，有(ab)2(ab)2，所以(4)错误预习导引1重要不等式如果 a，bR，那么 a2b22ab，(当且仅当 ab 时取“”)2基本不等式(1)如果 a，b 都是非负数，那么ab2 ab，当且仅当 ab 时
2、，等号成立(2)我们称ab2 ab为基本不等式，其中ab2 称为 a，b 的算术平均数，ab称为 a，b 的几何平均数因此基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数3基本不等式的常用推论(1)ab(ab2)2a2b22(a，bR)；(2)当 ab0 时，baab2；当 ab0，b0，ab1，求证：(11a)(11b)9.证明 方法一 因为 a0，b0，ab1，所以 11a1aba 2ba.同理 11b2ab.所以(11a)(11b)(2ba)(2ab)52(baab)549.所以(11a)(11b)9(当且仅当 ab12时等号成立)方法二(11a)(11b)11a1b 1a
3、b1abab 1ab1 2ab，因为 a，b 为正数，ab1，所以 ab(ab2)214，于是 1ab4，2ab8，因此(11a)(11b)189(当且仅当 ab12时等号成立)1不等式 m212m 中等号成立的条件是()Am1Bm1Cm1Dm0答案 A2若 0aab2 abbBb abab2 aCbab2 abaDbaab2 ab答案 C解析 0aab，bab2.ba0，aba2，aba.故 bab2 aba.3设 a、b 是实数，且 ab3，则 2a2b 的最小值是()A6B4 2C2 6D8答案 B解析 ab3，2a2b2 2a2b2 2ab2 84 2.4设 a2，则 a 1a2的最小
4、值是_答案 4解析 a2，a20.a 1a2(a2)1a22224.当且仅当 a2 1a2，即 a3 时，等号成立1.两个不等式 a2b22ab 与ab2 ab都是带有等号的不等式，对于“当且仅当时，取”这句话的含义要有正确的理解一方面，当 ab 时，ab2 ab；另一方面，当ab2 ab时，也有 ab.2由基本不等式变形得到的常见的结论(1)ab(ab2)2a2b22；(2)abab2 a2b22(a，b 均为正实数)；(3)baab2(a，b 同号)；(4)(ab)(1a1b)4(a，b 均为正实数)；(5)a2b2c2abbcca.一、基础达标1若 0ab 且 ab1，则下列四个数中最大
5、的是()A.12Ba2b2C2abDa答案 B解析 a2b2(ab)22ab(ab)22(ab2)212.又a2b22ab(ab)20，a2b22ab.0ab 且 ab1，a0，则下列不等式中，恒成立的是()Aa2b22abBab2 abC.1a1b 2abD.baab2答案 D解析 a2b22ab(ab)20，A 错误对于 B、C，当 a0，b0，baab2baab2.3若 x0，y0，且 xy4，则下列不等式中恒成立的是()A.1xy14B.1x1y1C.xy2D.1xy1答案 B解析 若 x0，y0，由 xy4，得xy4 1，1x1y14(xy)(1x1y)14(2yxxy)14(22)
6、1.4设 a0，b0.若 3是 3a 与 3b 的等比中项，则1a1b的最小值为()A8B4C1D.14答案 B解析 因为 3a3b3，所以 ab1，1a1b(ab)(1a1b)2baab22baab4，当且仅当baab，即 ab12时，“”成立，故选 B.5若 a1，则 a 1a1有最_(填“大”或“小”)值，为_答案 大 1解析 a1，a1 ab答案 D解析 ab 1ab2 ab 1ab2 2，A 成立；(ab)(1a1b)2 ab21ab4，B 成立；a2b22ab0，a2b2ab 2 ab，C 成立；ab2 ab，2 abab1，不等式两边同乘 ab，得 2abab ab，所以 D 不
7、成立9设 0a12答案 C解析 0a1b，logab0，logba0，(logab)(logba)(logab)(1logab)2，logablogba2.10若对任意 x0，xx23x1a 恒成立，则 a 的取值范围为_答案 15，)解析 x0，xx23x10，易知 a0.x23x1x1a，1ax1x3.x0，x1x32x1x35(x1 时取等号)，1a5.a15.11已知 xy0，xy1，求证：x2y2xy 2 2.证明 xy1，x2y2xy xy22xyxyxy22xy(xy)2xy2xy 2xy2 2.当且仅当xy 2xy，xy1，即x 6 22，y 6 22时取等号12已知 a0，b
8、0，ab1，求证：(1)1a1b 1ab8；(2)1a4b9.证明(1)1a1b 1ab1a1babab 2(1a1b)，ab1，a0，b0，1a1baba abb 2abba224，1a1b 1ab8(当且仅当 ab12时等号成立)(2)1a4baba 4abb5ba4ab 52ba4ab 9.当且仅当ba4ab 即 b2a 时取“”，故1a4b9.三、探究与创新13已知 a，b，c 为正实数，且 abc1.求证：(1a1)(1b1)(1c1)8.证明 a，b，c 为正实数，且 abc1，1a11aa bca 2 bca，同理1b12 acb，1c12 abc.由上述三个不等式两边均为正，分别相乘得(1a1)(1b1)(1c1)2 bca2 acb2 abc8.