1、书【届 高 三 数 学（理）试 题 第 页（共 页）】大 联 考 试 卷数 学（理）（）（试 卷 总 分 分 考 试 时 间 分 钟）题 号第 卷第 卷总 分合 分 人复 分 人得 分第 卷（选 择 题 共 分）得 分评 卷 人一、选 择 题：本 大 题 共 小 题，每 小 题 分，共 分 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 只 有 一 项 是 符 合题 目 要 求 的 已 知 集 合 ，若 ，则 中 元 素 的和 为（）已 知 为 实 数，复 数 （）（为 虚 数 单 位），复 数 的 共 轭复 数 为，若 为 纯 虚 数，则 （）造 纸 术、印 刷 术、指 南 针、火 药 被
2、称 为 中 国 古 代 四 大 发 明，这 四 种 发明 对 中 国 古 代 的 政 治、经 济、文 化 的 发 展 产 生 了 巨 大 的 推 动 作 用；年 月，来 自“一 带 一 路”沿 线 的 国 青 年 评 选 出 了“中 国 的新 四 大 发 明”：高 铁、扫 码 支 付、共 享 单 车 和 网 购。若 从 这 个 发 明中 任 取 两 个 发 明，则 两 个 都 是 新 四 大 发 明 的 概 率 为（）已 知 两 个 单 位 向 量 和 的 夹 角 为，则 向 量 在 向 量 方向 上 的 投 影 为（）已 知 的 内 角，成 等 差 数 列，若（），则（）（）（）（）展 开
3、式 中 项 的 系 数 为，则 （）槡 正视图视图俯视图 已 知 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示，若该 几 何 体 的 体 积 是 ，则 （）已 知 函 数（）（），（，）的 部 分 图 象 如 图 所 示，（）的 图 象 过（，），（，）两点，将（）的 图 象 向 左 平 移 个 单 位 得到（）的 图 象，则 函 数（）在 ，上 的 最 小 值 为（）槡槡槡 已 知 圆：（）（），是 直 线 的 一 点，过点 作 圆 的 切 线，切 点 为，则 的 最 小 值 为（）槡槡槡槡 已 知 椭 圆：（）的 左、右 焦 点 分 别 为、，是 椭 圆 的 上 顶 点，直 线 与 直
4、线 交 于 点，若 ，则 椭 圆 的 离 心 率 为（）槡 槡 槡 槡 如 图，已 知 四 棱 锥 的 底 面 是边 长 为 的 菱 形，相 交 于 点，平 面，是 的 中 点，动 点 在 该 棱 锥 表 面上 运 动，并 且 总 保 持，则 动 点 的 轨 迹 的 长 为（）【届 高 三 数 学（理）试 题 第 页（共 页）】已 知 曲 线：（）在 处 的 切 线 与 曲 线：（）（）在 处 的 切 线 平 行，令（）（）（），则（）在（，）上（）有 唯 一 零 点 有 两 个 零 点 没 有 零 点 不 确 定题 号答 案第 卷（非 选 择 题 共 分）本 卷 包 括 必 考 题 和 选
5、考 题 两 部 分，第 题 为 必 考 题，每 个试 题 考 生 都 必 须 作 答，第 题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答 得 分评 卷 人二、填 空 题：本 大 题 共 小 题，每 小 题 分，共 分 把 答 案 填 在 题 中 横 线 上 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图，若 输 入 的 值 为，则 输 出 的 值 为 开始输入正整数 是奇数 输出 结束是否是否 已 知 数 列 是 等 差 数 列，则 的 最 大 值 是 定 义 在 上 的 函 数（）满 足：（）（），函 数（）（），若（）（），则（）已 知 的 内 角，的 对 边 分 别 为，若 ，则 的 最
6、 小 值 为 得 分评 卷 人三、解 答 题：解 答 应 写 出 文 字 说 明，证 明 过 程 或 演算 步 骤 （分）已 知 数 列 满 足：，（）求 数 列 的 通 项 公 式；（）设 等 差 数 列 的 前 项 和 为，且 ，令 ，求 数 列 的 前 项 和 （分）从 年 元 月 份 以 来，全 世 界 的 经 济 都 受 到 了 新 冠 病 毒的 严 重 影 响，我 国 抗 疫 战 斗 取 得 了 重 大 的 胜 利，全 国 上 下 齐 心 协力 复 工 复 产，抓 经 济 建 设；某 公 司 为 了 提 升 市 场 的 占 有 率，准 备 对一 项 产 品 实 施 科 技 改 造，
7、经 过 充 分 的 市 场 调 研 与 模 拟，得 到，之 间 的 五 组 数 据 如 下 表：其 中，（单 位：百 万 元）是 科 技 改 造 的 总 投 入，（单 位：百 万 元）是 改造 后 的 额 外 收 益；设 是 对 当 地 生 产 总 值 增 长 的 贡 献 值 （）若 从 五 组 数 据 中 任 取 两 组，求 恰 有 一 组 满 足 的 概 率；（）记 为 时 的 任 意 两 组 数 据 对 应 的 贡 献 值 的 和，求 随 机变 量 的 分 布 列 和 数 学 期 望；（）利 用 表 中 数 据，甲、乙 两 个 调 研 小 组 给 出 的 拟 合 直 线 方 程 分 别为
8、 甲 组：，乙 组：，试 用 最 小 二 乘 法 判 断 哪条 直 线 的 拟 合 效 果 更 好？附：对 于 一 组 数 据（，），（，），（，），其 拟 合 直 线 方程 的 残 差 平 方 和 为 （），越 小 拟合 效 果 越 好【届 高 三 数 学（理）试 题 第 页（共 页）】（分）如 图，已 知 是 圆 柱 的 轴 截 面，分 别 是 两底 面 的 圆 心，是 弧 上 的 一 点，圆 柱 的 体 积 和 侧面 积 均 为 （）求 证：平 面 平 面；（）求 二 面 角 的 大 小 （分）已 知 椭 圆：（）的 左 右 焦 点 分 别 为，过 的 直 线 与 椭 圆 交 于，两 点
9、，为 椭 圆 的 下 顶 点，为 等 腰 三 角 形，当 轴 时，的 面 积 为 槡 （）求 椭 圆 的 标 准 方 程；（）若 直 线 不 与 坐 标 轴 垂 直，线 段 的 中 垂 线与 轴 交 于 点，若 直 线 的 斜 率 为 ，求 直 线 的 方 程【届 高 三 数 学（理）试 题 第 页（共 页）】（分）已 知 函 数（），（）（）令（）（）（），讨 论 函 数（）的 单 调 性；（）令（）（）（），当 时，若（）恒 成 立，求 实数 的 取 值 范 围 请 考 生 在 第、题 中 任 选 一 题 作 答，如 果 多 做，则 按 所 做 的 第一 题 计 分 （分）【选 修 坐 标
10、 系 与 参 数 方 程】在 平 面 直 角 坐 标 系 中，直 线 过 定 点（，），倾 斜 角 为（），曲 线 的 参 数 方 程 为 （为 参 数）；以 原 点 为 极 点，轴 的 正 半 轴 为 极 轴，建 立 极 坐 标 系 （）求 曲 线 的 极 坐 标 方 程；（）已 知 直 线 交 曲 线 于，两 点，且 ，求的 参 数 方 程 （分）【选 修 不 等 式 选 讲】已 知 函 数（），（）当 时，解 不 等 式（）（）；（）对 任 意 的 ，），（）恒 成 立，求 实 数 的取 值 范 围 你 选 做 的 题 目 是 题（填、）答 案：书 数 学（理）大 联 考大 联 考 数
11、学（理）（）参 考 答 案（解 析：，则 ，故 选 ）（解 析：（）为 纯 虚 数，则 ，则 ，故 选 ）（解 析：从 个 发 明 中 任 取 两 个 发 明 共 有 种 情 况，两 个 都 是 新 四 大 发 明 的 有 种 情况，所 求 概 率 为 ，故 选 ）（解 析：由 题 意 可 得 ，且 ，（），则 向 量 在 向 量 方 向 上 的 投 影 为（）故 选 ）（解 析：，成 等 差 数 列，又 ，由（）得，槡 ，（），则（）（）（），故 选 ）（解 析：二 项 式（）展 开 式 的 通 项 为 （），展 开 式 中 项 的系 数 为（），解 得，故 选 ）（解 析：由 三 视 图
12、可 知，该 几 何 体 为 一 个 圆 台 中 挖去 一 个 以 圆 台 上 底 面 为 底 面 的 圆 柱 后 所 得，圆 台 的上 底 面 半 径 为，下 底 面 半 径 为，高 为，圆 柱 底 面半 径 为，高 为，则 其 体 积 为 （槡），由 题设 知，故 选 ）（解 析：由 图 象 知，则 ，（）（），将 点（，）的 坐标 代 入 得，（），即（），又 ，则（）（），将（）的 图 象 向 左 平 移 个 单 位 得 到 函 数（）（）（），（）在 ，上 的 最 小 值 为 槡 ，故 选 ）（解 析：圆：（）（）的 圆 心 为（，），半 径 ，设 四 边 形 的 面 积 为，由 题
13、设 及 圆 的 切 线 性 质 得，槡 槡，圆 心（，）到 直 线 的距 离 为 槡 ，的 最 小 值 为槡 ，则 的 最 小 值 为（槡 ）槡槡，故 选 ）（解 析：由 题 设 知，（，），（，），直 线 的 方 程 为 ，联 立 得，（，），设 直 线 与 轴 交 于 点，则 ，即 ，即 ，槡，故 选 ）（解 析：取，的中 点，连 接，是 的 中 点，平 面平 面，平 面，又 四 边形 是 菱 形，平 面，则 平 面，故 只 要 动 点 在 平 面 内 即 总 保 持，又 动 点 在 棱 锥 表 面 上运 动，动 点 的 轨 迹 的 周 长 即 为 的 周 长，四 边 形 是 菱 形，边
14、长 为，且 ，则 ，又 ，故 ，的 周 长 为，故选 ）（解 析：（），（）（），又（），（），由 题 设 知，（）（），即（），则（）（）（），（）（），令（），则（），当（，）时，（），当（，）时，（），在（，）上（）的 最 小 值 为（），（），则（），（）在（，）上 单 调 递 增，且（），故 选 ）（解 析：由 程 序 框 图 知，当 时，否，是 奇 数，则 ，；否，不 是 奇 数，则 ，；否，不 是 奇 数，则 ，；满 足 条 件，结 束 程 序，输 出 的 值 为 ）（解 析：设 等 差 数列 的 公 差 为，由题 设知，设 ，则 不 等式组等价为 ，对 应 的 可行 域 为 如
15、 图 所 示 的 三 角 形 及 其 内 部，由 ，当 直 线 过 点（，）时，取 得 最 大 值 为 ）（解 析：（）（），（）（），令（），则（）（），（）（）（）（）（）（），（）（），（）（）（）（），（），（）（解析：，即，由 正 弦 定 理 得，由 余 弦 定 理知，则 ，则 ，即 的 最 小 值 为 ）解：（）当 时，当 时，由 ，得 ，（分）得，也 符 合，数 列 的 通 项 公 式 为 ；（分）（）由 题 意，设 等 差 数 列 的 公 差 为，则 （），解 得，；（分）由（）知，故 （）（）（）（）（分）解：（）设 所 给 五 组 数 据 分 别 为，从五 组 数 据 中
16、任 意 取 出 两 组 的 情 况 有：，共 种 情 况，其 中，恰 有 一 组 满 足 的 有：，共 种 情 况，故 所 求 概 率 为 ；（分）（）满 足 的 数 据 是 后 组，的 值 为，则（），（），（），（分）的 分 布 列 为：数 学 期 望（）；（分）数 学（理）大 联 考（）用 甲 组 给 出 的 拟 合 直 线 方 程 列 表 如 下：（分）用 乙 组 给 出 的 拟 合 直 线 方 程 列 表 如 下：由 表 中 数 据 得，甲 （）（），乙 （）（），甲 乙，故 甲 组 给 出 的 拟 合 直 线 方 程 拟 合 效 果 更 好（分）（）证 明：是 圆 柱 的 母 线，
17、平 面，则，又 是 弧 上 的 一 点，且 是 圆 的 直 径，（分），平 面，又 平 面，平 面 平 面；（分）（）解：设 圆 柱 的 底 面 半 径 为，母 线 长 为，圆 柱 的 体 积 和 侧 面 积 均 为，解 得，即 ，槡 ，（分）设 圆 柱 过 点 的 母 线 为，以 为 原 点，所 在 直 线 分 别 为 轴、轴、轴 建 立 空 间 直 角坐 标 系 ，如 图 所 示；则（，），（，槡，），（，），（，槡，）；（，），（，槡，），（，槡 ，），（，）（分）设 平 面 的 法 向 量 为 （，），由 槡 ，取 ，则 ，槡，平 面 的 一 个 法 向 量 为 （，槡，），设 平 面
18、 的 法 向 量 为 （，），由 槡 ，取 槡，则 ，平 面 的 一 个 法 向 量 为 （，槡，），（分），槡 槡 ，由 图 中 可 看 出 二 面 角 是 锐 角，故 二 面 角 的 值 为（分）解：（）由 题 设 知，（，），（，），为 等 腰 三 角 形，又 直 线 过，当 轴 时，（分）的 面 积 为 槡槡，由 槡 解 得，槡，；故 椭 圆 的 标 准 方 程 为 （分）（）由（）知，（，），（，），设 直 线 的 方 程 为 （），由 得，（），设（，），（，），设 线 段 的 中 点 为（，），则 ，即（，）（分）设（，），解 得，即（，），（分）直 线 的 斜 率 为 ，（），
19、即 ，解 得，或 ，故 直 线 的 方 程 为 或 （分）解：（）（），（），（）（）（），则（）（）（）（）（）（）（）（），令（），则 或 ，（分）当 时，当（，）或（，）时，（），函 数（）在（，）和（，）上 单 调 递减；当（，）时，（），函 数（）在（，）上 单 调 递 增；当 时，（）在 上 恒 成 立，函 数（）在 上 单 调 递 减；（分）当 时，当（，）或（，）时，（），函 数（）在（，）和（，）上 单 调 递减；当（，）时，（），函 数（）在（，）上 单 调 递 增；（分）（）由 题 设 知，（）（），（）（）（）（）（），当 时，（），函 数（）单 调 递 增，且（）（）
20、恒 成 立，故（）恒 成 立，符 合 题 意；（分）当 时，令（），则 或 ，且 ，列 表 如 下：（，）（，）（，）（）（）递 增极 大 值递 减极 小 值递 增（分）当 时，（）（）恒 成 立，（），则（）恒 成 立，符 合 题 意；当 时，（）（），则 恒 成 立，综 上，实 数 的 取 值 范 围 是 ，（分）解：（）由 得，（）（），（），即 ，（分）又 ，即 曲 线 的 极 坐 标 方 程 为 ；（分）（）设 的 参 数 方 程 为 （为 参 数），代入 整 理 得，（），设 方 程 的 两 根 分 别 为，则 ，（分）则 ，解 得，槡，故 的 参 数 方 程 为 槡 槡（为 参 数）（分）解：（）当 时，（），（），则 不 等 式（）（）为 ，（分）当 时，为 恒 成立，当 时，为 ，解 得，槡 或 槡 ，槡 或槡 ，综 上，不 等 式（）（）的 解 集 为（，槡 槡 ，）；（分）（）不 等 式（）等 价 于 ，即 对 任 意 的 ，）恒成 立，即 （）对 任 意 的 ，）恒 成 立，（分）函 数 （）在 区 间 ，）上 单 调 递增，最 小 值 为 （），故 实 数 的 取 值 范 围 是（，（分）
