1、专题训练(二)三角函数常见的数学模型应用第一章 直角三角形的边角关系模型一 背靠背型模型分析 通过在三角形内作高，构造两个直角三角形，分别解这两个直角三角形，其中公共边(高)是解题的关键 图示 基础图形 图形演变一 图形演变二 总结 CD是公共边，ABADBD CD是公共边，四边形ADCE为矩形CEDA，CDEAABBDCE 四边形CDFE为矩形CDEF，CEDFABADCEBF 1.如图，建筑物AB的高为52 m，在其正前方广场上有人进行航模试飞从建筑物顶端A处测得航模C的俯角30，同一时刻从建筑物的底端B处测得航模C的仰角45，求此时航模C的飞行高度(精确到1 m，参考数据：21.41，3
2、1.73，6 2.45).解：过点C作CDAB于点D，则ACD30，BCD45.设ADx m，在RtACD中，CDADtan ACDxtan 30 x333x(m)，在RtBCD中，BDCDtan BCD 3 xtan 45 3 x(m).又ADBDAB，x 3 x52，解得x26 3 26，BD 3 x7826 3 33(m)，此时航模C的飞行高度约为33 m2(河南中考)如图，小东在教学楼距地面9 m高的窗口C处测得正前方的旗杆顶部A点的仰角为37，旗杆底部B点的俯角为45.升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25 m处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45 s结束时到达旗杆顶端，则国旗应
3、以多少米/秒的速度匀速上升？(参考数据：sin 370.60，cos 370.80，tan 370.75)解：过点C作CDAB于点D，则四边形CDBE是矩形，BDCE9 m，在RtBCD中，CDBDtan BCD 9tan 45 9(m)，在RtACD中，ADCDtan ACD9tan 3790.756.75(m)，ABADBD96.7515.75(m)，整个过程中旗子上升的高度约为15.752.2513.5(m)，国旗应以约13.5450.3(m/s)的速度匀速上升3如图，某同学在大楼AD的观光电梯中的E点测得大楼BC楼底C点的俯角为60，此时该同学距地面的高度AE为27 m，电梯再上升10
4、 m到达D点，此时测得大楼BC楼顶B点的仰角为45，求大楼BC的高度(结果保留根号)解：过点D作DHBC于点H，过点E作EGBC于点G，则四边形DEGH和四边形AEGC均为矩形，CGAE27 m，HGDE10 m，DHEGCGtan CEG27tan 60 273 93(m)，BHDHtan BDH93 tan 4593(m)，BCCGHGBH271093(3793)(m)，大楼BC的高度是(379 3)m模型二 母子型模型分析通过在三角形外作高，构造有公共直角的两个直角三角形，分别解这两个直角三角形，其中公共边(高)是解题的关键基础图形AD是公共边，ADACCD图形演变ADACCD，BEEC
5、BC四边形BCGF为矩形BCFG，CGBFBDDFEGEFBC，AGACBDDF4.图是某种路灯的实物图片，图是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C，已知MAC60，ACB15，AC40 cm，求支架BC的长(结果精确到1 cm，参考数据：1.414，1.732，2.449).解：如图，过点 C 作 CDMN 于点 D，在 RtACD 中，CAD60，AC40 cm，CDACsin CAD40sin 604032 203(cm).又在 RtBCD 中，CBDCADACB601545，BCCDsin CBD 203si
6、n 45 20322206 49(cm)，支架 BC 的长约为 49 cm5(河南中考)数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度如图所示，炎帝塑像DE在高55 m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60，求炎帝塑像DE的高度(结果精确到1m，参考数据：sin340.56，cos340.83，tan340.67,3 1.73).解：ACE90，CAE34，CE55 m，ACCEtan CAE CEtan34550.6782.1(m).又AB21 m，BCACAB82.12161.1(m)，在RtBCD中，CDB
7、Ctan CBD61.1tan 6061.1 3 105.7(m)，DECDCE105.75551(m)，炎帝塑像DE的高度约为51 m6如图，A为某旅游景区的最佳观景点，游客可从B处乘坐缆车先到达小观景平台DE观景，然后再由E处继续乘坐缆车到达A处，返程时从A处乘坐升降电梯直接到达C处，已知ACBC于点C，DEBC，BC110 m，BD60 m，DE9 m，32，68，求AC的高度(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 320.53，cos 320.85，tan 320.62，sin 680.93，cos 680.37，tan 682.48)解：延长DE交AC于点G，过点D作DFBC于点F
8、，则四边形DFCG为矩形，DFCG，DGCF，在RtBDF中，DFBDsin 60sin 32600.5331.8(m)，BFBDcos 60cos 32600.8551(m)，DGCFBCBF1105159(m)，EGDGDE59950(m)在AEG中，AGEGtan 50tan 68502.48124(m)，ACAGCG12431.8155.8(m)，AC的高度约为155.8 m模型三 拥抱型模型分析 若两个直角三角形有一条公共边，则分别解这两个直角三角形，其中公共边是解题的关键 图示 基础图形 图形演变一 图形演变二 总结 BC为公共边 BCBFFECE 四边形ABEG为矩形ABGE，A
9、GBEBCCEDEABDG 7.(自贡中考)如图，在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从24 m的综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30，请你帮小明求出办公楼的高度(结果精确到0.1 m，参考数据：tan 370.75，tan 531.33，1.73).解：由题意可知 AB24 m，BDA53，在 RtABD 中，ADABtan BDA 24tan 53 241.3318.05(m)，在 RtACD 中，CDADtan CAD18.05tan 3018.053310.4(m)，办公楼的高度约为 10.4 m8如图，校园内有两幢高
10、度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD的长为24 m，小明在点E(B，E，D在一条直线上)处测得教学楼AB顶部的仰角为45，然后沿EB方向前进8 m到达点G处，测得教学楼CD顶部的仰角为30.已知小明的两个观测点F，H距离地面的高度均为1.6 m，求教学楼AB的高度(结果精确到0.1 m，参考数据：2 1.41，3 1.73).解：连接HF并延长交CD于点N，延长FH交AB于点M，则BMGHEFDN1.6 m，HFGE8 m，MFBE，HNGD，MNBD24 m设AMCNxm，在RtAFM中，MFAMtan AFM xtan 45 x1 x(m)；在RtC
11、NH中，HNCNtan CHN xtan 30 x33 3 x(m)，HFMFHNMN(x 3 x24)m8 m，解得x163 1611.7，AM11.7 m，ABAMBM11.71.613.3(m)，教学楼AB的高度约为13.3 m9小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量如图，他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为60，沿坡度i34的山坡向上走25 m到达D处，测得古塔顶端M的仰角为30，请你帮助小明计算古塔的高度ME(结果精确到0.1 m，参考数据：3 1.732).解：分别过点D作DCEP交EP的延长线于点C，DFME于点F，则四边形DCEF是矩形，CDEF，DFCE.CDCPi34，可设CD3x m，CP4x m，DP5x m25 m，x5，EFCD3x15 m，CP4x20 m设ME m，则MF(15)m，在RtMDF中，DFMFtan MDF 15tan 303(15)(m)；在RtMPE中，PEMEtan MPE tan 60 33(m).又DFCECPPE，3(15)3320，解得103 22.539.8，古塔的高度ME约为39.8 m