1、第 1 页，共 4 页 肥东二中 2020-2021 学年度第二学期期中考试 高二年级 数学试卷（理）考试时间：120分钟 一、单选题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1、设 i 是虚数单位，则复数 21ii在复平面内所对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2、设函数()yf x=在0 xx=处可导，且000(3)()lim12xf xxf xx+=，则0()f x等于()A.23 B.23 C.1 D.1 3、根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派 7 名党员去甲、乙、丙三个村进行调研，其中有 4 名男性党员，3 名女性党员现从中选 3 人去甲村，
2、若要求这 3 人中既有男性，又有女性，则不同的选法共有()A.35 种 B.30 种 C.28 种 D.25 种 4、()62111xx+展开式中3x 的系数为()A.15 B.20 C.30 D.26 5、设直线 xt=与函数2()f xx=，()lng xx=的图象分别交于点 M，N，则当|MN达到最小值时 t 的值为()A.1 B.12 C.52 D.22 6、如图，阴影部分的面积是()A.38 B.37 C.36 D.35 7、我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦。若 a，b，c 为直角三角形的三边，其中 c 为斜边，则222abc+=，称这个
3、定理为勾股定理.现将这一定理推广到立体几何中：在四面体第 2 页，共 4 页OABC中，90AOBBOCCOA=，S 为顶点 O 所对面的面积，1S，2S，3S 分别为侧面 OAB，OAC，OBC 的面积，则下列选项中对于 S，1S，2S，3S满足的关系描述正确的为()A.2222123SSSS=+B.2222123111SSSS=+C.123SSSS=+D.123111SSSS=+8、若函数()lnxf xexmx=在区间()1,+上单调递增，则实数 m 的取值范围()A.(),1eB.(,1eC.(),+1eD.(,+1e9、已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶
4、甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和(v乙 如图所示).那么对于图中给定的 0t 和 1t，下列判断中一定正确的是()A.在 1t 时刻，甲车在乙车前面B.1t 时刻后，甲车在乙车后面C.在 0t 时刻，两车的位置相同D.0t 时刻后，乙车在甲车前面10、若03sinmxdx=，则二项式1(2)mxx+的展开式中的常数项为()A.6B.12C.60D.12011、面对全球蔓延的疫情，疫苗是控制传染的最有力技术手段科研攻关组第一时间把疫苗研发作为重中之重，对灭活疫苗、重组蛋白疫苗、腺病毒载体疫苗、减毒流感病毒载体疫苗和核酸疫苗 5 个技术路线并行研发，组织了 12 个优势团队进行联合攻关其中有 5
5、个团队已经依据各自的研究优势分别选择了灭活疫苗、重组蛋白疫苗、腺病毒载体疫苗、减毒流感病毒载体疫苗和核酸疫苗这 5 个技术路线，其余团队作为辅助技术支持进驻这 5 个技术路线若保障每个技术路线至少有两个研究团队，则不同的分配方案的种数为（）A.14700B.16800C.27300D.50400第 3 页，共 4 页12、已知函数()()()2,2xf xexaxa a=+，若不等式()0f x 的解集中恰有三个不同的整数，则实数 a 的取值范围为()A.240,)3eB.243,)32eeC.24,2)3eD.3,2)2e二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13、i 是虚数单位
6、，若复数(12)()iai+是纯虚数，则实数 a 的值为_.14、用数学归纳法证明某不等式时，其左边111111234212nn=+，则从“nk=到1nk=+”应将左边加上_.15、若 3nxx的展开式中各项系数之和为 32，则展开式中 x 的系数为_.16、已知函数()=(+1)ln(,af xxaxaRx且1)a，21()=+2xxg xxexe，若存在21,xe e，使得对任意2 2,0 x ，12()g(x)f x 恒成立，则 a 的取值范围是_.三、解答题（第 17 题 10 分，其他每题 12 分，本大题共 6 小题，共 70.0分）17、计算下列定积分：522(1)(325)dx
7、xx+20(2)(cossin)d.xx x18、已知函数ln()1.xf xx=(1)求函数在点(1,(1)f处的切线方程(2)试判断函数()f x 的单调性；第 4 页，共 4 页19、已知函数()3=+bxf xax在=1x处有极值 2.(1)求 a，b 的值；(2)求函数()f x 在区间12,2上的最大值20、已知数列 na的前 n 项和为nS，满足(21)nnSann=，且11.3a=(1)求2a，3a；(2)猜想数列 na的通项公式，并用数学归纳法加以证明21、在高二年篝火晚会上，有 6 个演唱节目，4 个舞蹈节目；（1）当 4 个舞蹈节目接在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？
8、（2）当要求每 2 个舞蹈节目之间至少安排 1 个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？（3）若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗歌朗诵和快板 2 个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？22、已知函数()()21212ln2f xaxaxx=+，其中.aR(1)当0a 时，讨论函数()f x 的单调性；(2)当0a=时，证明()224(f xex其中 e 为自然对数的底数)第 1 页，共 7 页 肥东二中 20202021 学年度第二学期高二期中考试 数学（理科）答案 一、单选题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
9、10 11 12 答案 B A B D D C A B A C B D 1、解：21=2(1+)(1)(1+)=1，复数 z 对应复平面上的点为(1,1)，在第二象限，故选 B2、解：由题意知 lim0(0+3)(0)2=lim032(0+3)(0)3=32(0)=1，所以(0)=23，故选 A.3、解：这 3 人中既有男性又有女性的对立事件为：这 3 人中只有男性或只有女性 故不同的选法有73 43 33=30故选：B4、解：因为(1+)6的通项公式为+1=6，则(1+12)(1+)6展开式中3的系数为63+65=26，故选 D 5、解：因为()的图象始终在()的上方，所以|=()()=2
10、，设()=2 ，(0,+)，则()=2 1=221，令()=221=0，得=22，当 (0,22)，()0，函数()单调递增，所以当=22 时，()有最小值，故=22 故选 D6、解：直线=2 2与抛物线=3 2 2相交，联立：=2 2=3 2 2,解得交点为(5,12)和(1,0)，则阴影部分的面积为：=(13 3 22+5)|51=13 2+5 (1253 50 25)=36故选 C 第 2 页，共 7 页 7、解：如图，作于点 D，连接 AD，由立体几何知识知，从而2=(12 )2=14 2 2=14 2 (2+2)=14(2+2)2+14 2 2=(12 )2+(12 )2+(12 )
11、2=12+22+32故选 A8、解：由题意，函数，可得，因为函数在上单调递增，即在上恒成立，即在上恒成立，设，则，所以函数在为单调递增函数，所以，即实数的取值范围是 故选 B 9、由图象及定积分知识可知，速度图象与 x 轴围成的面积表示汽车行驶的位移，在 t 0时刻，甲车的位移大于乙车的位移，故在 t 0时刻甲车应在乙车的前面，且 t 0时刻两车速度相同，故 C、D 不对，t 1时刻甲车的位移大于乙车的位移，故 A 对10、解：=3 0=3|0=3+30=6，(2+1)=(2+1)6，通项为6(2)6(1)=26 6 632，由6 32 =0，得=4，二项式(2+1)的展开式中的常数项为22
12、62=60 故选：C 第 3 页，共 7 页 11、解：将其余的 7 个团队分成 5 个组.然后再分配给各枝术路线 第一类方案：按 3，1，1，1，1 分组，先从 7 个队中选择 3 个队，然后全排，有7355种，第二类方案，按 2，2，1，1，1 分组，先分组再分配.共有725222 55种.综上.由分类加法计数原理知.共有7355+725222 55=16800种分配方案 12、解：函数()=(2)+,(2)，若不等式()0的解集中恰有三个不同的整数，则(2)1时，()0，此时()单调递增，当 1时，()0，此时=1，=2满足条件，由图象可知，此时只能=0时，满足条件，则 0(0)2(1)
13、3,解得32 2 故选 D 第 4 页，共 7 页 二、单空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13、2解：由(1 2)(+)=(+2)+(1 2)为纯虚数，得+2=01 2 0，解得：=2 故答案为：2 14、12+1 12+215、15解：令=1得，(3 )的展开式中各项系数之和为2=32，解得=5，则展开式的通项公式为+1=5(3)5 ()=(1)355325，令32 5=1，得=4，所以展开式中 x 的系数为(1)435454=15 故答案为 15 16、(22+1,1)解：()的定义域为(0,+)，()=(1)()2()，当 1时，,2，()0，()为增函数，所以()min=(
14、)=(+1)；若存在1 ,2，使得对任意的2 2,0，(1)(2)恒成立，即()min ()min，()=+=(1 )，当 2,0时()0，()为减函数，()min=(0)=1，(+1)22+1，第 5 页，共 7 页 (2 2+1,1)故答案为：(22+1,1)三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17、解：(1)(52 32 2+5)=(3 2+5)|25=111(2)(20cos sin)=(sin +cos)|02=(sin 2+cos 2)(sin 0+cos 0)=0 18、解：(1)由题可知：()=12；所以：(1)=1，(1)=1；函数在点(1,(1)处的切线方程为
15、：(1)=1即：=2(2)因为函数的定义域(0,+)且()=12；令()=12 0得0 ，()=12，因此函数单调增区间是(0,)，单调减区间是(,+)19、解：(1)函数()=3+bx在=1处取得极值 2，(1)=+=2(1)=3+=0，解得=1=3 (2)由(1)得：()=3+3，()=32+3=3(+1)(1)令()0，解得：1 1，令()1或 (12)=118，故函数()的最大值是 2第 6 页，共 7 页 20、解(1)2=22(221)=1+26，又1=13，则2=115，类似地，求得3=135(2)由1=113，2=135，3=157，猜想=1(21)(2+1).用数学归纳法证明
16、如下：当=1时，由(1)可知猜想成立假设当=(N 且 1)时猜想成立，即=1(21)(2+1).当=+1时，+1=+1(+1)(2+1)，=(2 1)=(2 1)1(21)(2+1)=2+1，+1=(+1)(2+1)+1，+1=+1 =(+1)(2+1)+1 2+1，(2+3)+1=2+1，+1=1(2+1)(2+3)=12(+1)12(+1)+1.当=+1时猜想也成立 由可知，猜想对任意 N 都成立 的通项公式为=1(21)(2+1)21、解：(1)第一步先将 4 个舞蹈节目捆绑起来，看成 1 个节目，与 6 个演唱节目一起排，有 77=5 040(种)方法；第二步再松绑，给 4 个节目排序
17、，有 44=24(种)方法 根据分步计数原理，一共有5040 24=120960(种)安排顺序(2)第一步将 6 个演唱节目排成一列(如下图中的“”)，一共有 66=720(种)方法 第二步再将 4 个舞蹈节目排在一头一尾或两个演唱节目中间，这样相当于 7 个“”选 4 个来排，一共有 74=840(种)方法 根据分步计数原理，一共有720 840=604800(种)安排顺序(3)若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有 1212种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有12121010=122=132(种)排列 第 7 页，共 7 页 22、解：(1)由题意，函数()的定义域为(0,+)，()=(2+1)+2=2(2+1)+2=(1)(2)(0)当0 0 0 1；()0 2 12时，()0 0 2；()0 1 2综上，当0 12时，()在(0,1)，(2,+)上单调递增；在(1,2)上单调递减(2)当=0时，由()ln+2，令()=ln 2(0)，()=1设(0)=0，则0=10(0 0 1)当 (0,0)时，()0，()单调递增，当=0时，()取得唯一的极小值，也是最小值()的最小值是(0)=0 ln0 2=10 ln10 2=10+0 2 0成立故()2 4成立