1、吉林省长春市普通高中 2021 届高三数学质量监测（一模）试题 文一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合则集合的元素个数有A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2.若平面向且 ,则的值为3.函数的图象的一条对称轴是A. B. C. D. 4.已知双曲线的渐近线方程为则其离心率为A. B. C. D. 5.张老师居住的一条街上,行驶着甲、乙两路公交车,这两路公交车的数目相同,并且都是每隔十分钟就到达车站一辆(即停即走).张老师每天早晨都是在6:00到6:10之间到达车站乘车到学校,这两条公交线路对他是一样的,都
2、可以到达学校,甲路公交车的到站时间是6:09,6:19，6:29,6:39，,乙路公交车的到站时间是6:00,6:10,6:20,6:30,，则张老师乘坐上甲路公交车的概率是A. 10% B. 50% C. 60% D. 90%6.将长、宽分别为和的长方形沿对角线折起,得到四面体,则四面体的外接球体积为A. B. C. D. 7.曲线在处的切线的斜率为A. B. C. D. 9080701 2 3 4 58.中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明,某种绿茶用85的水泡制,再等到茶水温度降至60时饮用,可以产生最佳口感. 为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间,某研究人员每
3、隔测量一次茶水的温度,根据所得数据做出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况,下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度随时间变化的规律A. B. C. D. 9.如图,长方体中为的中点,则异面直线与所成角的大小为A. 30 B. 45 C. 60 D. 9010.已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线分别交于、两点(点在第一象限)，且则直线的倾斜角为A. B. C. D. 11.如图,在面积为1的正方形内做四边形使以此类推,在四边形内再做四边形，记四边形的面积为，则 12.已知定义在上的函数满足当时当时则 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若则 .14. .15.若复数满足则 .
4、16.已知是数列的前项和,满足,则 ;数列的前项和 .三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分17.(12分)如图,在四棱锥中,底面为正方形,底面,为的中点,为线段上的动点.(I)求证:平面平面;()求点到平面的距离.18.(12分)在中,角的对边分别为,且满足.(1)求角;()若,求外接圆的半径.19.(12分)某小区超市采取有力措施保障居民 1 2 3 4 5 6 购买量/kg 0.300.250.200.150.10频率/组距正常生活的物资供应.为做好日常
5、生活必需的甲类物资的供应,超市对社区居民户每天对甲类物资的购买量进行了调查,得到了以下频率分布直方图(如图).(I)估计该小区居民对甲类物资购买量的中位数;()现将小区居民按照购买量分为两组,即购买量在单位:)的居民为A组,购买量在(单位:的居民为B组,采用分层抽样的方式从该小区中选出5户进行生活情况调查,再从这5户中随机选出3户,求选出的B组户数为2的概率.20.(12分)已知椭圆,直线分别与轴轴交于两点,与椭圆交于两点.(I)若求直线的方程;()若点的坐标为求面积的最大值.21.(12分)设函数.(I)当时,求函数的单调区间;()当时,求证:(二)选考题:共10分,请考生在22、23题中任
6、选一题作答,如果多做则按所做的第一题计分.22.【选修4-4坐标系与参数方程(10分)已知直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为(I)求直线的普通方程和圆的直角坐标方程;()若直线与圆相交于两点,求23.选修4-5不等式选讲(10分)已知(I)求证:;()求证:.长春市2021届高三质量监测数学(文科)试题参考答案及评分参考一,选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1. A.【解题思路】所以故选A.2.C【解题思路】由可知即,故选C.3.C【解想思路】令则,故选C.4.B【解题思路】由渐近线方程可知故选B.5.D【解思路】张老师
7、到达车站在6：00-6:10中是等可能的,故张老师在6:00-6:09到达车站的概率为90%,故有90%的可能乘坐甲路公交车，故选D6. A【解题思路】中点到A,B,C,D的距离均为1,故球的体积为,故选A.7.B【解题思路】当 x = e时, k = 2 ,故选B.8.C由函数图象可知符合条件只有指数函数,故选C9.D【解题思路】平面平面即故选D10C【解题思路】如图,过A,B作AA,BB垂直准线,垂足为A,B，过B作AA垂线,垂足为C,由抛物线定义知所以,所以直线倾斜角为,故选C.11.B【解题思路】由图可知所以其前项和为,故选B.12.A【解题思路】由可知周期为5,由函数图象可知每个周期
8、由故选A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分)13. 【解题思路】14. 0【解题思路】15. 【解题思路】设有16. ，【解题思路】,所以,故的前项和.三，简答题17.【答案】(1)因为,E为PB中点,所以因为平面ABCD,所以由所以BC平面PAB,所以又所以AE平面PAB,所以平面平面PAB.(2),则 (12分)18. 【答案】(1)由正弦定理知有,所以（6分）所以 (12分)19【答案】（1）依据面积中位数两侧面积相等可知中位数为;()依据分层抽样,A组有2人,设为x，y，B组有3人,设为a，b，c从中任选2人,可能的情况为xya、xyb、xyc、xab 、xbc、xac
9、、yab、ybc、yac、abc共10种情况,其中B组户数有2户的有xab、xbc、xac、yab、ybc、yac共6种,因此选出的B组户数为2的概率为.20【答案】(1)设联立直线方程与椭圆方程有有有，所以AB中点坐标为由中点坐标为因为所以线段MN的中点与AB的中点重合,有解得(6分)(2)由(1)可知因为所以所以当k=0时面积最大.(12分)21.【答案】时，易知为增函数,且所以当时单调递减,当时单调递增.(4分)(2) ,当时,易知为上增函数,当时；当时；当时,而所以存在即当时单调递减,当时单调递增:所以.(12分)22.【答案】(1)直线的普通方程是,圆的直角坐标方程是（5分）(2)圆心(1,2)到直线的距离圆半径所以|（10分）23.【答案】(1)证明:因为, 所以,(当且仅当时取等号)(5分)(2)因为,所以所以,当且仅当时取等号(10分)