1、题型一 灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用给值求值的重要思想是沟通已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如 22，()，()，12()()，12()()等.例 1 已知、为锐角，cos 45，tan()13，求 cos 的值.解 是锐角，cos 45，sin 35，tan 34.tan tan()tan tan1tan tan139.是锐角，故 cos 9 1050.跟踪训练 1 已知 tan()12，tan 17，且，(0，)，求 2 的值.解 tan tan()tantan 1tantan 130.而(0，)，故(0，2).tan 17，0
2、，2.0，2.2()(，0).tan(2)tan()tan tan1tan tan1，234.题型二 整体换元的思想在三角恒等变换中的应用在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来.例 2 求函数 ysin xsin 2xcos x(xR)的值域.解 令 sin xcos xt，则由 t 2sinx4 知 t 2，2，又 sin 2x1(sin xcos x)21t2.y(sin xcos x)sin 2xt1t2t12254.当 t12时，ymax54；当 t 2时，ymin 21.函数的值域为 21，54.跟踪训练 2 求函数 f(
3、x)sin xcos xsin xcos x，xR 的最值及取到最值时 x 的值.解 设 sin xcos xt，则 tsin xcos x 222 sin x 22 cos x 2sinx4，t 2，2，sin xcos xsin xcos x212t212.f(x)sin xcos xsin xcos x即 g(t)tt21212(t1)21，t 2，2.当 t1，即 sin xcos x1 时，f(x)min1.此时，由 sinx4 22，解得 x2k 或 x2k2，kZ.当 t 2，即 sin xcos x 2时，f(x)max 212.此时，由 2sinx4 2，sinx4 1.解得
4、 x2k4，kZ.综上，当 x2k 或 x2k2，kZ 时，f(x)取得最小值，f(x)min1；当 x2k4，kZ 时，f(x)取得最大值，f(x)max 212.题型三 转化与化归的思想在三角恒等变换中的应用三角函数式的化简就是通过恒等变换化繁为简.其中切化弦、异名化同名、异角化同角等方法均为转化与化归思想的运用；三角恒等式的证明就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证，也属转化与化归思想的应用.例 3 求证：tan32xtanx22sin xcos xcos 2x.证明 左边tan32xtanx2sin32xcos32xsinx2cosx2sin32xcosx2sin
5、x2cos32xcosx2cos32xsin x12cos 2xcos x2sin xcos xcos 2x右边.tan32xtanx22sin xcos xcos 2x.跟踪训练 3 已知 cos4x 35，1712 x74，求sin 2x2sin2x1tan x的值.解 sin 2x2sin2x1tan x2sin xcos x2sin2x1sin xcos x2sin xcos xcos xsin xcos xsin xsin 2x1tan x1tan xsin 2xtan4x.1712 x74，53 x42，又cos4x 35，sin4x 45.tan4x 43.cos xcos4x
6、4cos4x cos 4sin4x sin 4 22 3545 210.sin xsin4x 4sin4x cos 4sin 4cos4x7 210，sin 2x 725.sin 2x2sin2x1tan x2875.题型四 构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用方程(组)思想是中学重要的思想方法之一.借助三角函数公式构建关于某些量的方程(组)来求解，也是三角求值中常用的方法之一.例 4 已知锐角三角形 ABC 中，sin(AB)35，sin(AB)15.(1)求证：tan A2tan B.(2)设 AB3，求 AB 边上的高.(1)证明 sin(AB)35，sin(AB)15，sin A
7、cos Bcos Asin B35，sin Acos Bcos Asin B15sin Acos B25cos Asin B15tan Atan B2.tan A2tan B.(2)解 2AB，sin(AB)35，tan(AB)34，即 tan Atan B1tan Atan B34.将 tan A2tan B 代入上式并整理得2tan2B4tan B10，解得 tan B2 62，舍去负值，得 tan B2 62.tan A2tan B2 6.设 AB 边上的高为 CD，则 ABADDB CDtan A CDtan B 3CD2 6，由 AB3，得 CD2 6.AB 边上的高等于 2 6.跟
8、踪训练 4 已知向量 m(cos，sin)和 n(2sin，cos)，(，2)，且|mn|8 25，求 cos28的值.解 mn(cos sin 2，cos sin)，|mn|cos sin 22cos sin 242 2cos sin 44cos421cos4.由已知|mn|8 25，得 cos4 725.又 cos4 2cos228 1，所以 cos228 1625.2，58 2898.cos28 0.cos28 45.呈重点、现规律本章所学的内容是三角恒等变换重要的工具，在三角式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质.
