1、3.1.3 两角和与差的正切明目标、知重点 1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.1.两角和与差的正切公式(1)T：tan()tan tan 1tan tan.(2)T：tan()tan tan 1tan tan.2.两角和与差的正切公式的变形(1)T 的变形：tan tan tan()(1tan tan).tan tan tan tan tan()tan().tan tan 1tan tan tan.(2)T 的变形：tan tan tan()(1tan tan)
2、.tan tan tan tan tan()tan().tan tan tan tan tan 1.情境导学某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示，小山的高 BC 约为30 米，在地平面上有一点 A，测得 A、C 两点间距离约为 67 米，从点 A 处观测电视发射塔的视角(CAD)约为 45.求这座电视发射塔的高度.解 设电视发射塔的高 CDx，CAB，则 sin 3067.在 RtABD 中，tan(45)x3030 tan，于是 x30tan45tan 30.如何能由 sin 3067求得 tan(45)的值呢？或者说能不能用 sin 把 tan(45)表示出来？虽然我们已经学习
3、了两角和与差的正弦、余弦公式，但是使用这些公式显然不能直接解决上述问题.我们有必要得到两角和与差的正切公式.探究点一 两角和与差的正切公式的推导思考 1 你能根据同角三角函数基本关系式 tan sin cos，从两角和与差的正弦、余弦公式出发，推导出用任意角，的正切值表示 tan()，tan()的公式吗？试一试.答 当 cos()0 时，tan()sincossin cos cos sin cos cos sin sin.当 cos cos 0 时，分子分母同除以 cos cos，得tan()tan tan 1tan tan.根据，的任意性，在上面式子中，以 代替 得tan()tan tan1
4、tan tan tan tan 1tan tan.思考 2 在两角和与差的正切公式中，的取值是任意的吗？答 在公式 T，T 中，都不能等于 k2(kZ).例 1 求下列各式的值：(1)3tan 151 3tan 15；(2)tan 15tan 30tan 15tan 30.解(1)原式 tan 60tan 151tan 60tan 15tan(6015)tan 75tan(3045)tan 30tan 451tan 30tan 4533 11 332 3.(2)tan 45 tan 15tan 301tan 15tan 301，tan 15tan 301tan 15tan 30原式(1tan
5、15tan 30)tan 15tan 301.反思与感悟 公式 T，T 是变形较多的两个公式，公式中有 tan tan，tan tan(或tan tan)，tan()(或 tan()三者知二可表示或求出第三个.跟踪训练 1 求下列各式的值：(1)cos 75sin 75cos 75sin 75；(2)tan 36tan 84 3tan 36tan 84.解(1)原式1tan 751tan 75 tan 45tan 751tan 45tan 75tan(4575)tan(30)tan 30 33.(2)原式tan 120(1tan 36tan 84)3tan 36tan 84tan 120tan
6、 120tan 36tan 84 3tan 36tan 84tan 120 3.探究点二 两角和与差的正切公式的变形公式思考 两角和与差的正切公式变形形式较多，例如：tan tan tan()(1tan tan)，tan tan 1tan tan tan tan tan tan 1.这些变形公式在解决某些问题时是十分方便的.请利用两角和与差的正切公式或变形公式完成以下练习.练习 1：直接写出下列式子的结果：(1)tan 12tan 331tan 12tan 33；(2)tan 75；(3)1tan 151tan 15.答案(1)1(2)2 3(3)33练习 2：求值：tan 20tan 40
7、3tan 20tan 40.解 方法一 tan 20tan 40tan 60(1tan 20tan 40)，原式tan 60(1tan 20tan 40)3tan 20tan 40 3 3tan 20tan 40 3tan 20tan 40 3.方法二 tan 20tan 401tan 20tan 40tan20401 13(tan 20tan 40)，原式tan 20tan 40 3(tan 20tan 40)3.例 2 若，均为钝角，且(1tan)(1tan)2，求 的值.解(1tan)(1tan)2，1(tan tan)tan tan 2，tan tan tan tan 1，tan ta
8、n 1tan tan 1.tan()1.，2，(，2).74.反思与感悟 此类是给值求角题目，解题步骤如下：求所求角的某一个三角函数值，确定所求角的范围.此类题目常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会产生增解或者漏解.跟踪训练 2 已知 tan，tan 是方程 x23 3x40 的两根，且22，22，求角.解 由已知得tan tan 3 3tan tan 4，tan、tan 均为负，20，20.tan()tan tan 1tan tan 3 314 3.0，23.例 3 已知ABC 中，tan Btan C 3tan Btan C 3，且 3tan A 3tan Btan
9、 Atan B1，试判断ABC 的形状.解 3tan A 3tan Btan Atan B1，3(tan Atan B)tan Atan B1，tan Atan B1tan Atan B 33，tan(AB)33.又0AB，AB56，C6，tan Btan C 3tan Btan C 3，tan C 33，tan B 33 tan B 3，tan B 33，B6，A23，ABC 为等腰钝角三角形.反思与感悟 三角形中的问题，ABC 肯定要用，有时与诱导公式结合，有时利用它寻找角之间的关系减少角.跟踪训练 3 已知 A、B、C 为锐角三角形 ABC 的内角.求证：tan Atan Btan Ct
10、an Atan BtanC.证明 ABC，ABC.tan(AB)tan Atan B1tan Atan Btan C.tan Atan Btan Ctan Atan Btan C.即 tan Atan Btan Ctan Atan Btan C.1.若 tan(4)3，则 tan 的值为()A.2B.12C.12D.2答案 B解析 tan tan441tan41tan4131312.2.已知 AB45，则(1tan A)(1tan B)的值为()A.1B.2C.2D.不确定答案 B解析(1tan A)(1tan B)1(tan Atan B)tan Atan B1tan(AB)(1tan At
11、an B)tan Atan B11tan Atan Btan Atan B2.3.已知 A，B 都是锐角，且 tan A13，sin B 55，则 AB.答案 4解析 B 为锐角，sin B 55，cos B2 55，tan B12，tan(AB)tan Atan B1tan Atan B1312113121.0AB，AB4.4.已知 tan2 12，tan2 13，则 tan2.答案 17解析 tan2tan2 2tan2 tan21tan2 tan212131121317.呈重点、现规律1.公式 T 的适用范围、结构特点和符号规律(1)由正切函数的定义可知、(或)的终边不能落在y轴上，即不
12、能是k2(kZ).(2)公式 T 的右侧为分式形式，其中分子为 tan 与 tan 的和或差，分母为 1 与 tan tan 的差或和.(3)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.2.公式 T 的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.如 tan 41，tan 6 33，tan 3 3等.要特别注意 tan4 1tan 1tan，tan4 1tan 1tan.3.公式 T 的变形应用只要见到 tan tan，tan tan 时，要有灵活应用公式 T 的意识，就不难想到解题思路.一、基础过关1.已知 2，sin 35，则 tan4 的值等于()A.17B.7C.17D.7答案 A2
13、.已知 tan()35，tan4 14，那么 tan4 等于()A.1318B.1323C.723D.16答案 C解析 tan4 tan4351413514 723.3.已知 tan 12，tan 13，02，32，则 的值是()A.4B.34C.54D.74答案 C4.A，B，C 是ABC 的三个内角，且 tan A，tan B 是方程 3x25x10 的两个实数根，则ABC 是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.无法确定答案 A解析 tan Atan B53，tan Atan B13，tan(AB)52，tan Ctan(AB)52，C 为钝角.5.1tan 751tan 7
14、5.答案 36.已知 tan4 2，则12sin cos cos2的值为.答案 23解析 tan4 2，1tan 1tan 2，解得 tan 13.12sin cos cos2sin2cos22sin cos cos2 tan212tan 119123123.7.求下列各式的值：(1)sin 7cos 15sin 8cos 7sin 15sin 8；(2)(1tan 59)(1tan 76).解(1)原式sin158cos 15sin 8cos158sin 15sin 8sin 15cos 8cos 15cos 8tan 15tan(4530)tan 45tan 301tan 45tan 30
15、1 331 332 3.(2)原式1tan 59tan 76tan 59tan 761(tan 59tan 76)tan 59tan 761tan 135(1tan 59tan 76)tan 59tan 7611tan 59tan 76tan 59tan 762.二、能力提升8.化简 tan 10tan 20tan 20tan 60tan 60tan 10的值等于()A.1B.2C.tan 10D.3tan 20答案 A解析 原式tan 10tan 20 3tan 20 3 tan 10 3(tan 10tan 20 33 tan 10tan 20)3 33 1.9.设 为第二象限角，若 ta
16、n4 12，则 sin cos.答案 105解析 因为 tan4 tan 11tan 12，所以 tan 13，因为 为第二象限角，所以 cos 11tan23 1010，sin 1cos2 1010，则 sin cos 1010 3 1010 105.10.已知、均为锐角，且 tan cos sin cos sin，则 tan().答案 1解析 tan cos sin cos sin 1tan 1tan.tan tan tan 1tan.tan tan tan tan 1.tan tan 1tan tan.tan tan 1tan tan 1，tan()1.11.在ABC 中，求证：tan
17、A2tan B2tan B2tan C2tan C2tan A21.证明 ABC180，A2B2C290.AB290C2.tanAB2tan90C2 1tan C2.tanAB2tan C21.tan A2tan B2 tan C21tan A2tan B21，tan A2tan C2tan B2tan C21tan A2tan B2.即 tan A2tan B2tan B2tan C2tan C2tan A21.12.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于 A，B 两点，已知 A，B 的横坐标分别为210，2 55.求：(1)tan()
18、的值；(2)2 的大小.解 由条件得 cos 210，cos 2 55.，为锐角，sin 1cos27 210，sin 1cos2 55.因此 tan sin cos 7，tan sin cos 12.(1)tan()tan tan 1tan tan 71217123.(2)tan 2tan()2tan 1tan22121 12243，tan(2)tan tan 21tan tan 274317431.，为锐角，0232，234.三、探究与拓展13.已知 tan，tan 是方程 x23x30 的两根，试求 sin2()3sin()cos()3cos2()的值.解 由已知有tan tan 3，tan tan 3，tan()tan tan 1tan tan 31334.sin2()3sin()cos()3cos2()sin23sincos3cos2sin2cos2tan23tan3tan21342334334213.