1、2015届山东省汶上县第五中学高三第一次模拟考试数学试题（理）（满分150分，考试时间120分钟）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1如果复数的实部和虚部互为相反数，那么b等于（ ）ABCD2已知集合，则A BCD3已知条件，条件，则是的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件4过点（2，0）的直线l与抛物线y相交于两点，且在这两个交点处抛物线的切线互相垂直，则直线l的斜率k等于A B C D5如图所示的程
2、序框图运行的结果是（ ）A B C D6已知等比数列,且则的值为A B4 C D7现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次,至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为A B C D8已
3、知,满足约束条件,若的最小值为1，则A B C D29设函数是定义在R上的奇函数，当时，则的零点个数为A1 B2 C3 D410已知直线，平面且给出下列命题：若，则； 若，则；若，则； 若，则。其中正确的命题的个数是A1 B2 C3 D411三棱锥中，平面，则该三棱锥外接球的表面积为A B C D12的外接圆半径为1，圆心为，且，则的值为A B C D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知,若，则实数 14一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 15如图，在中，是边上一点，则的长为 16已知函数集合，集合，则集合的面积为 三、解答题（本大题共8小题，共70分，解答题
4、应写出必要的文字证明过程或演算步骤）17（本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且成等比数列。（1）求数列的通项公式；（2）设数列的最小项是第几项，并求出该项的值。18（本小题满分12分）某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段， ，（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示（1）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；（2）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记为3位学生中参
5、加社区服务时间不少于90小时的人数试求随机变量的分布列和数学期望.19（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱中，是的中点，平面， （）求证：；（）求二面角的余弦值. 20（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合，过点且不垂直于轴的直线与椭圆相交于两点。（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围。21（本小题满分12分）已知函数（1）求函数的单调区间；（2）当时，求实数的取值范围。请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。22（本小题满分10分）选修41，几何证明选讲如图所示，圆的两弦和交于点，交的延长线于点，切圆于点. （1）求证：
6、；（2）如果，求的长23（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线（1）求曲线的普通方程； （2）若点在曲线上，点，当点在曲线上运动时，求中点的轨迹方程24（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知,不等式的解集为.（1）求；（2）当时,证明:.2015届山东省汶上县第五中学高三第一次模拟考试数学试题（理）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的123456789101112CCACCADACBAA二、填空题（本大题共4小题，每小题5
7、分，共20分）13 1410 15 16三、解答是（本大题共8小题，共70分，解答题应写出必要的文字、证明过程或演算步骤）17（本小题满分12分）解：（1）设公差为，则有，即或（舍），（2），当且仅当时取号，即时取号。18（本小题满分12分）解：（1）根据题意，参加社区服务时间在时间段小时的学生人数为 （人），参加社区服务时间在时间段小时的学生人数为（人）所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为人 所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为（2）由（）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为由已知
8、得，随机变量的可能取值为所以；随机变量的分布列为0123因为，所以19（本小题满分12分）解：（）因为平面，所以.又，,所以平面，所以.因为，所以四边形是菱形，所以，,所以平面，所以（）以，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设是面的一个法向量，则，即，令，取.同理面的一个法向量为因为.所以二面角的余弦值 20（本小题满分12分）解：（1）由题意知，。又双曲线的焦点坐标为，椭圆的方程为。（2）若直线的倾斜角为，则，当直线的倾斜角不为时，直线可设为，由设，综上所述：范围为，21（本小题满分12分）解：（1），令当单增，单减（2）令，即恒成立，而，令在上单调递增，当时，在上单调递增，符合题意；当时，在上单调递减，与题意不合；当时，为一个单调递增的函数，而，由零点存在性定理，必存在一个零点，使得，当时，从而在上单调递减，从而，与题意不合，综上所述：的取值范围为22证明：（本小题满分10分）（1）（2）又因为为切线，则所以，.23（本小题满分10分）（1）: ， 将 代入的普通方程得，即；（2）设， 则所以，即代入，得，即中点的轨迹方程为.24（本小题满分10分）（1）解不等式： 或 或或或，. （2）需证明：，只需证明，即需证明。证明： ，所以原不等式成立.