1、第9章核心考点精准研析考点一两直线的位置关系1.直线l1:mx-2y+1=0,l2:x-(m-1)y-1=0,则“m=2”是“l1l2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(2020济南模拟)“m=3”是“直线l1:2(m+1)x+(m-3)y+7-5m=0与直线l2:(m-3)x+2y-5=0垂直”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0,则当l1l2时,a的值为_.4.已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+ay+a2-1
2、=0,则当l1l2时, a的值为_.世纪金榜导学号【解析】1.选C.由l1l2得-m(m-1)=1(-2),得m=2或m=-1,经验证,当m=-1时,直线l1与l2重合,舍去,所以“m=2”是“l1l2”的充要条件.2.选A.由l1l2得2(m+1)(m-3)+2(m-3)=0,解得m=3或m=-2.3.当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;当a1且a0时,两直线方程可化为l1:y=-x-3,l2:y=x-(a+1),由l1l2可得 解得a=-1.综上可知,a=-1.答案:-1【一题多解】由l1l
3、2知 即a=-1.答案:-14.方法一:当a=0时,l1:2y+6=0,l2:x=1,l1与l2垂直,故a=0符合;当a0时,l1:y=-x-3,l2:y=-x-,由l1l2,得=-1,所以此时不成立.方法二:因为l1l2,所以A1A2+B1B2=0,即a+2a=0,得a=0.答案:01.解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”2.在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.考点二两条直线的相交、距离问题【典例】1.(2020北京模拟)已知点M(0,-1),点N在直线x-y+1=0上,若直线MN垂直于直线x+2y-3=0, 则点N的坐标是()A.(-2,-1)B
4、.(2,3)C.(2,1)D.(-2,1)2.(2020广州模拟)已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则a的取值范围是_.3.若两平行直线3x-2y-1=0,6x+ay+c=0之间的距离为,则c的值是_.世纪金榜导学号【解题导思】序号联想解题1由N为直线MN和直线x-y+1=0的交点,想到联立两直线方程求交点.2由点P到直线4x-3y-1=0的距离想到点到直线的距离公式解题.3由题意联想到两平行线间距离公式.【解析】1.选B.因为点N在直线x-y+1=0上,所以可设点N坐标为(x0,x0+1).根据经过两点的直线的斜率公式,得kMN=.因为直线MN垂直于直线x+2y-3=
5、0,直线x+2y-3=0的斜率k=-,所以kMN=-1,即=2,解得x0=2.因此点N的坐标是(2,3).2.由题意得,点P到直线4x-3y-1=0的距离为=.又3,即|15-3a|15,解之得0a10,所以a的取值范围是0,10.答案:0,103.依题意知,=,解得a=-4,c-2,即直线6x+ay+c=0可化为3x-2y+=0,又两平行线之间的距离为,所以=,解得c=2或-6.答案:2或-61.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.2.处理距离问题的两大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求
6、.(2)动点到两定点距离相等,一般不直接利用两点间距离公式处理,而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上,从而简化计算.3.利用距离公式应注意(1)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x,y的系数分别化为相等.1.求经过两条直线l1:x+y-4=0和l2:x-y+2=0的交点,且与直线2x-y-1=0垂直的直线方程为_.2.直线l过点P(-1,2)且到点A(2,3)和点B(-4,5)的距离相等,则直线l的方程为_.【解析】1.由得所以l1与l2的交点坐标为(1,3).设与直线2x-y-1=
7、0垂直的直线方程为x+2y+c=0,则1+23+c=0,所以c=-7.所以所求直线方程为x+2y-7=0.答案:x+2y-7=02.方法一:当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.由题意知=,即|3k-1|=|-3k-3|,所以k=-,所以直线l的方程为y-2=-(x+1),即x+3y-5=0.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,也符合题意.方法二:当ABl时,有k=kAB=-,直线l的方程为y-2=-(x+1),即x+3y-5=0.当l过AB中点时,AB的中点为(-1,4),所以直线l的方程为x=-1.故所求直线l的方程为x+3y-5=
8、0或x=-1.答案:x+3y-5=0或x=-1考点三对称问题命题精解读考什么:(1)两直线的垂直关系(2)中点坐标公式.怎么考:1.直接求对称点或直线;2.求解折线最短问题;3.求三角形的角平分线的方程.新趋势:1.折线最短问题;2.以点的对称为载体与圆、不等式等结合.学霸好方法两种对称问题的处理方法(1)点关于直线的对称:若两点P1 (x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,则线段P1P2的中点在l上,而且连接P1P2的直线垂直于l,列出方程组,可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中B0,x1x2).(2)直线关于直线的对称:此类问题一般转化为点
9、关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.点关于点的对称【典例】过点P(0,1)作直线l使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为_.【解析】设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,所以直线l的方程为x+4y-4=0.答案:x+4y-4=0点P与直线l与直线l1,l2的交点有何关系?提示:点P是直线l与直线l1,l2的交点所连接线段的中点.点关于直线的
10、对称【典例】(2020淮安模拟)已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为_.世纪金榜导学号【解析】设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为M(a,b),则反射光线所在直线过点M,所以解得a=1,b=0.又反射光线经过点N(2,6).所求直线的方程为=,即6x-y-6=0.答案:6x-y-6=0点M和它的对称点M的连线段MM与直线l有什么关系?提示:垂直直线关于直线对称【典例】(2019郑州模拟)直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是世纪金榜导学号()A.x-2y+3=0B.x-2y-
11、3=0C.x+2y+1=0D.x+2y-1=0【解析】选A.设所求直线上任意一点P(x,y),则P关于x-y+2=0的对称点为P(x0,y0),因为PP的中点在直线x-y+2=0上,又因为kPP1=-1,所以由得由点P(x0,y0)在直线2x-y+3=0上,所以2(y-2)-(x+2)+3=0,即x-2y+3=0.是否可以在直线2x-y+3=0上取一个特殊点求解?提示:可以取直线2x-y+3=0上两点并求出其关于直线x-y+2=0的对称点,根据两对称点求直线方程.1.(2020岳阳模拟)直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是()A.x+2y-1=0B.2x+y-1=0C.2x+y-
12、3=0D.x+2y-3=0【解析】选D.方法一:设所求直线上任一点为(x,y),则它关于x=1的对称点(2-x,y)在直线x-2y+1=0上,所以2-x-2y+1=0,化简得x+2y-3=0.方法二:根据直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D,再根据两直线交点在直线x=1上知选D.2.已知直线l:3x-y+3=0,求:(1)点P(4,5)关于l的对称点.(2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程.(3)直线l关于(1,2)的对称直线.【解析】(1)设P(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为P(x,y),因为kPPkl=-1,即3=-1.又PP的
13、中点在直线3x-y+3=0上,所以3-+3=0.由得把x=4,y=5代入得x=-2,y=7,所以点P(4,5)关于直线l的对称点P的坐标为(-2,7).(2)用(1)中的分别代换x-y-2=0中的x,y,得关于l对称的直线方程为-2=0,化简得7x+y+22=0.(3)在直线l:3x-y+3=0上取点M(0,3),关于(1,2)的对称点M(x,y),所以=1,x=2,=2,y=1,所以M(2,1).l关于(1,2)的对称直线平行于l,所以k=3,所以对称直线方程为y-1=3(x-2),即3x-y-5=0.已知直线l:x-2y+8=0和两点A(2,0),B(-2,-4).在直线l上求一点P,使|PA|+|PB|最小.【解析】设A关于直线l的对称点为A(m,n),则解得故A(-2,8).P为直线l上的一点,则|PA|+|PB|=|PA|+|PB|AB|,当且仅当B,P,A三点共线时,|PA|+|PB|取得最小值,为|AB|,点P即是直线AB与直线l的交点,解方程组得故所求的点P的坐标为(-2,3).- 9 -