1、第6章核心考点精准研析考点一利用均值不等式求最值命题精解读考什么：(1)考查求最值，证明不等式等问题.(2)考查数学运算、数学抽象、逻辑推理的【核心素养】.怎么考：求式子的最值，证明不等式、与函数结合考查求函数的值域，与解析几何结合求面积等几何量的最值.新趋势：与函数相结合求值域.学霸好方法1.求最值的解题思路(1)拼凑法：拼凑成积或和为定值，利用均值不等式求相应的最值.(2)构造法：通过对已知条件的变形，构造定值，代入后利用均值不等式求值.(3)消元法：当要求最值的式子中含有多个字母时，应考虑利用已知条件减少字母的个数，以达到利用均值不等式求最值的目的.2.交汇问题 与方程、不等式交汇时，涉
2、及恒成立问题、参数的范围等. 通过拼凑定值求最值【典例】已知a,b0,则+的最小值为_.【解析】因为a,b0,方法一:原式=+1+-1=+-12-1=4-1=3,当且仅当=,a=b时取等号.方法二:所以+=+1+-12-1=3,当且仅当+1=,即a=b时取等号.答案:3本例不能直接运用均值不等式时怎么办？提示：通过分子分母同除以a统一式子的结构或直接加1变形，再观察拼凑定值利用均值不等式求最小值.通过常值代换求最值【典例】(2019深圳模拟)已知a1,b0,a+b=2,则+的最小值()A.+B.+C.3+2D.+【解析】选A.已知a1,b0,a+b=2,可得(a-1)+b=1,a-10,则+=
3、(a-1)+b=1+2=+;当且仅当=,a+b=2时取等号.则+的最小值为+.将条件进行变形目的是什么？提示：将已知条件变形，变形的方向是要证明的式子，特别是与式子分母相关的定值，将定值变为1后相乘，再利用均值不等式求最值.通过消元求最值【典例】(2020武汉模拟)若正数x,y满足x+4y-xy=0,则的最大值为世纪金榜导学号()A.B.C.D.【解析】选B.因为正数x,y满足x+4y-xy=0,所以y=0,解得x4,所以=,当且仅当x-4=,x=6时等号成立,所以的最大值为.将其中一个字母利用另一个字母表示，代入后的变形方向如何？提示：构造定值以利用均值不等式求最值.构造二次不等式求最值【典
4、例】(2019重庆模拟)已知a,b,c均为正实数,且ab+2a+b=6,则2a+b的最小值为_.【解析】因为a,b,c均为正实数,且ab+2a+b=6,所以6-2a-b=ab=2ab,所以(2a+b)2+8(2a+b)-480,所以2a+b4,当且仅当a=1,b=2时取等号,所以2a+b的最小值为4.答案:4本题利用均值不等式，将已知式子进行转换的目标是什么？提示：转化成关于2a+b的二次不等式，通过解不等式求最值.1.设x,yR,且xy0,则的最小值为()A.-9B.9C.10D.02.(2020厦门模拟)已知0x0,b0,且2a+b=ab-1,则a+2b的最小值为()A.5+2B.8C.5
5、D.94.已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是()A.1B.3C.6D.12【解析】1.选B.=5+x2y25+2=9,当且仅当xy=时,上式取得等号,可得最小值为9.2.选D.因为0x0,所以+=(x+1-x)=5+5+2=9,当且仅当=,即x=时取等号,所以+取得最小值时x=.3.选A.因为a0,b0,且2a+b=ab-1,所以a=0,所以b2,所以a+2b=+2b=2(b-2)+55+2=5+2,当且仅当2(b-2)=,即b=2+时取等号.所以a+2b的最小值为5+2.4.选B.因为x2+2xy-3=0,所以y=,所以2x+y=2x+=+2=3.当且仅当=,即x=
6、1时取等号.1.已知点A(1,2)在直线ax+by-1=0(a0,b0)上,若存在满足该条件的a,b,使得不等式+m2+8m成立,则实数m的取值范围是()A.(-,-19,+)B.(-,-91,+)C.-1,9D.-9,1【解析】选B.点A(1,2)在直线ax+by-1=0(a0,b0)上,可得a+2b=1,+=(a+2b)=5+5+2=9,当且仅当a=b=时取得等号,即+的最小值为9,则9m2+8m,解得m1或m-9.2.以点(-1,-1)为圆心且与曲线C:xy=1(x0)有公共点的圆称之为C的“望圆”,则曲线C的所有“望圆”中半径最小值为()A.4B.C.8D.2【解析】选D.根据题意,设
7、为曲线C上任意一点,“望圆”的半径为r,若“望圆”与曲线C有公共点,则r2=(t+1)2+=t2+2+22+22+2=8,当且仅当t=时,等号成立,则r的最小值为2.考点二均值不等式在实际问题中的应用【典例】经测算,某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50x120)的关系可近似表示为y=当该型号汽车的速度为_ km/h时,每小时耗油量最少,最少为每小时_ L.世纪金榜导学号【解析】当x50,80)时,y=(x2-130x+4 900)=(x-65)2+675,所以当x=65时,y取得最小值,最小值为675=9.当x80,120时,函数y=12-单调递减,故当x=
8、120时,y取得最小值,最小值为12-=10.因为910,所以当x=65,即该型号汽车的速度为65 km/h时,可使得每小时耗油量最少,最少为每小时9 L.答案:659有关实际问题中的最值问题(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用均值不等式求得函数的最值.(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.(3)在应用均值不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.网店和实体店各有利弊,两者的结合将在未来一段时期内,成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现,产品的月销量x万件
9、与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x=3-.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元,产品每1万件进货价格为32万元,若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和, 则该公司最大月利润是_万元.【解析】由题意知t=-1(1x3),设该公司的月利润为y万元,则y=x-32x-3-t=16x-3=16x-+-3=45.5-45.5-2=37.5,当且仅当x=时取等号,即最大月利润为37.5万元.答案:37.5考点三均值不等式的交汇应用【典例】1.已知A,B是函数y=2x的图象上不同的两点,若点A,B到直线y=的距离相等,则点A,B的横坐标之
10、和的取值范围是()A.(-,-1)B.(-,-2)C.(-,-3)D.(-,-4)2.已知等差数列an中,a3=7,a9=19,Sn为数列an的前n项和,则的最小值为_.世纪金榜导学号【解题导思】序号联想解题1由A,B是图象上两点,想到设出点的坐标;由点A,B到直线距离相等想到构造等式条件2由a3,a9想到基本量的运算,由Sn,an想到求出代入【解析】1.选B.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨设x1x2.函数y=2x为单调增函数，若点A，B到直线y=的距离相等，则-y1=y2-，即y1+y2=1，即+=1.由均值不等式得1=+2，当且仅当x1=x2=-1时取等号，则，解得x1+x2b1,且2logab+3logba=7,则a+的最小值为()A.3B.C.2D.【解析】选A.令logab=t,由ab1得0t1,2logab+3logba=2t+=7,得t=,即logab=,a=b2,所以a+=a-1+12+1=3,当且仅当a=2时取等号.故a+的最小值为3.2.设等差数列an的公差是d,其前n项和是Sn,若a1=d=1,则的最小值是_.【解析】由题意an=a1+(n-1)d=n,Sn=,所以=,当且仅当n=4时取等号.所以的最小值是.答案: