1、第4章核心考点精准研析考点一正弦定理1.在ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对边的边长.若cos C+sin C-=0,则的值是()A.-1 B.+1C.+1 D.22.已知锐角ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=2A,则的取值范围是()A.B.C.D.3.(2019全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin A+acos B=0,则B=_.世纪金榜导学号【解析】1.选B.在ABC中,由cos C+sin C-=0,由两角和的正弦公式得2sinsin=2,所以C+=B+=,解得C=B=,所以A=.由正弦定理得=+1.2.选D.因为B=2A,所
2、以sin B=sin 2A=2sin Acos A,由正弦定理得b=2acos A,所以=,所以=tan A.因为ABC是锐角三角形,所以解得A,所以tan A1,所以tan A0,所以cos A=.由条件及正弦定理得sin A=2sin Ccos A,即=2sin C,所以sin C=.考点二余弦定理【典例】在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a-c=b,sin B=sin C.(1)求cos A的值.(2)求cos 的值.【解题导思】序号联想解题(1)看到“sin B=sin C”,想到运用正弦定理,转化为b=c,又由“a-c=b”运用余弦定理求得cos A.(2)看到
3、“cos”想到公式cos(A-B)=cos Acos B+sin Asin B.利用(1)得出的cos A的值及倍角公式求出cos2A和sin2A,代入公式方可求出cos的值【解析】(1)在ABC中,由=及sin B=sin C,可得b=c,又由a-c=b,得a=2c,所以cos A=.(2)在ABC中,由cos A=,可得sin A=.于是,cos 2A=2cos2A-1=-,sin 2A=2sin Acos A=.所以cos=cos 2A cos +sin 2Asin =+=.用正、余弦定理求解三角形基本量的方法第一步:选定理.两角两边用正弦定理,三边一角用余弦定理.第二步:求解.将已知代
4、入定理求解.1.(2019长沙模拟)已知在ABC中,D是AC边上的点,且AB=AD,BD=AD,BC=2AD,则sin C的值为()A. B.C. D.【解析】选A.设AB=AD=2a,则BD=a,则BC=4a,所以cosADB=,所以cosBDC=-,整理得CD2+3aCD-10a2=0,解得CD=2a或者CD=-5a(舍去).所以cos C=,而C,所以sin C=.2.(2020晋城模拟)如图,在锐角三角形ABC中,sinBAC=,sinABC=,BC=6,点D在边BC上,且BD=2DC,点E在边AC上,且BEAC,BE交AD于点F.(1)求AC的长.(2)求cosDAC及AF的长.【解
5、析】(1)在锐角三角形ABC中,sinBAC=,sinABC=,BC=6,由正弦定理得=,所以AC=5.(2)由sinBAC=,sinABC=,得cosBAC=,cosABC=,所以cos C=-cos (BAC+ABC)=-cosBACcos ABC+sinBACsinABC=-+=.因为BEAC,所以CE=BCcos C=6=,AE=AC-CE=.在ACD中,AC=5,CD=BC=2,cos C=,由余弦定理得AD=,所以cosDAC=.由BEAC,得AFcosDAC=AE,所以AF=.考点三 正、余弦定理的综合应用 命题精解读考什么:判断三角形形状、个数、面积问题,最值、范围问题;怎么考
6、:考查解三角形问题常与平面几何交汇,题目中经常出现有关的几何元素如高、角平分线、线段的垂直平分线、三角形内切圆等;与平面向量交汇考查,解三角形还常与不等式,三角函数的性质交汇命题.学霸好方法1.判断三角形形状的两种思路(1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.(2)化角:通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状.此时要注意应用A+B+C=这个结论.2.在三角形中求边、角的方法(1)若求角,寻求得到这个角的一个函数的方程,结合角的范围求解.(2)若求边,寻求与该边(或两边)有关联的角,利用三角形面积公式列方程求解.判断三角形个数、形状【典例】1.在AB
7、C中,已知a=2,b=,A=45,则满足条件的三角形有()A.1个B.2个C.0个D.无法确定2.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若=,则ABC的形状是()世纪金榜导学号A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形【解析】1.选B.因为bsin A=,所以bsin Aab.所以满足条件的三角形有2个.【一题多解】选B.作A=45,则点B,C分别在A的两条边上.因为AC=b=,所以点C固定.过C作AB的垂线,垂足为D,易知CD=h=,又因为a=2,即a,所以B有两个位置符合题意.所以满足条件的三角形有2个.2.选D.由已知=,所以=或=0,即C=9
8、0或=.由正弦定理,得=,所以=,即sin Ccos C=sin Bcos B,即sin 2C=sin 2B,因为B,C均为ABC的内角,所以2C=2B或2C+2B=180,所以B=C或B+C=90,所以ABC为等腰三角形或直角三角形.1.三角形解的个数如何判断?提示:(1)已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.(2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理,也可用余弦定理.用正弦定理时,需判断其解的个数,用余弦定理时,可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.(3)数形结合,
9、作图,与相应的直角三角形比较.2.三角形形状如何判定?提示:(1)角化边:利用正弦定理、余弦定理化角为边,通过代数恒等变换,求出边与边之间的关系进行判断.(2)边化角:通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.面积问题【典例】1.(2019全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=,则ABC的面积为_.【解析】因为cos B=,又因为b=6,a=2c,B=,可得c2=12,解得c=2,a=4,则ABC的面积S=42=6.答案:62.在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c且 acos C=(2b- c)cos A.
10、(1)求角A的大小.(2)若a=2,求ABC面积的最大值.【解析】(1)由正弦定理可得: sin Acos C=2sin Bcos A- sin Ccos A,从而可得: sin(A+C)=2sin Bcos A,即 sin B=2sin Bcos A,又B为三角形的内角,所以sin B0,于是cos A=,又A为三角形的内角,所以A=.(2)由余弦定理:a2=b2+c2-2bccos A得4=b2+c2-2bc2bc- bc,当且仅当b=c时取等号,所以bc4(2+),所以S=bcsin A2+.所以ABC面积的最大值为2+.与三角形面积有关的问题如何求解?提示:解三角形与三角恒等变换交汇问
11、题【典例】ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则C=世纪金榜导学号()A.B.C.D.【解析】选B.由题意得sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,即sin C(sin A+cos A)=sin Csin=0,所以A=.由正弦定理=得=,即sin C=,得C=.三角形与三角恒等变换交汇问题如何求解?提示:1.在ABC中,cos2=(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则ABC的形状为()A.直角三角形
12、B.等边三角形C.等腰三角形 D.钝角三角形【解析】选A.已知等式变形得cos B+1=+1,即cos B=.由余弦定理得cos B=,代入得=,整理得b2+a2=c2,即C为直角,则ABC为直角三角形.2.在ABC中,sin2Asin2B+sin2C-sin Bsin C,则A的取值范围是()A. B.C. D.【解析】选C.由正弦定理及sin2Asin2B+sin2C-sin Bsin C得a2b2+c2-bc,即b2+c2-a2bc,由余弦定理得cos A=,又0A,所以0A.所以A的取值范围是.3.(2018全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ABC的面积为,则C=
13、()A.B.C.D.【解析】选C.由题意SABC=absin C=,即sin C=,由余弦定理可知sin C=cos C,即tan C=1,又C(0,),所以C=.1.ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin C-cos C=1-cos ,若ABC的面积S=(a+b)sin C=,则ABC的周长为()A.2+5 B.+5C.2+3 D.+3【解析】选D.由sin C-cos C=1-cos 2sin cos -=1-cos cos 2cos -2sin -1=0,因为cos 0,所以sin -cos =-,两边平方得sin C=,由sin -cos =-得sin cos ,所
14、以0,即0C,由sin C=得cos C=.又S=absin C=(a+b)sin C=,所以a+b=ab=4,所以a=b=2,再根据余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=8-2,解得c=-1,所以ABC的周长为+3.2.如图,在平面四边形ABCD中,AB=1,BC=,ACCD,CD=AC,当ABC变化时,对角线BD的最大值为_.【解析】设ABC=,ACB=,在ABC中,由余弦定理得AC2=4-2cos .由正弦定理得=,所以sin =.又CD=AC,在BCD中,由余弦定理得BD2=3+3(4-2cos )-2cos ,即BD2=15-6cos +6sin =15+12sin .当=时,BD取得最大值3.答案:3
