1、第4章核心考点精准研析考点一函数y=Asin(x+)的图象及图象变换1.若函数f (x)=cos,为了得到函数g(x)=sin 2x的图象,则只需将f(x)的图象()A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度2.若将函数y=2cos x(sin x+cos x)-1的图象向左平移个单位,得到的函数是偶函数,则的最小正值是世纪金榜导学号()A.B.C.D.3.已知函数f(x)=sin(x+)(0),若f(x)的图象向左平移个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移个单位所得的图象重合,则的最小值为_.4.已知函数f(x)=4cos xsin +a的最大
2、值为2.世纪金榜导学号(1)求a的值及f(x)的最小正周期.(2)画出f(x)在0,上的图象.【解析】1.选A.f (x)=cos=sin=sin=sin 2,为了得到g(x)=sin 2x的图象,则只需将f(x)的图象向右平移个单位长度即可.2.选A.化简函数:y=2cos x(sin x+cos x)-1=2sin xcos x+2cos2 x-1=sin 2x+cos 2x= sin,向左平移个单位可得y= sin,因为y= sin是偶函数,所以2+=+k,kZ,=+,kZ,由k=0可得的最小正值是.3.函数f(x)=sin(x+)(0),把f(x)的图象向左平移个单位所得的图象为y=s
3、in=sin,把f(x)的图象向右平移个单位所得的图象为y=sin=sin,根据题意可得y=sin和y=sin的图象重合,故+=2k-+,kZ,求得=4k,kZ,故的最小值为4.答案:44.(1)f(x)=4cos xsin+a=4cos x+a=sin 2x+2cos 2x+a=sin 2x+cos 2x+1+a=2sin+1+a的最大值为2,所以a=-1,最小正周期T=.(2)由(1)知f(x)=2sin,列表:x02x+2f(x)=2sin120-201画图如图所示:1.由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(x+)的图象有两条途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 2.
4、y=Asin(x+)的图象可用“五点法”作简图得到,可通过变量代换z=x+计算五点坐标.【秒杀绝招】排除法解T1,变形f(x)=sin,观察发现=2,所以不能平移,排除B,D;代入A,C检验,可知选A.T4,可用伸缩法画f(x)的图象.考点二由图象求解析式【典例】1.函数f(x)=sin(x+)的部分图象如图所示,已知A,B,则f(x)图象的对称中心为()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)2.函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,|)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为_.世纪金榜导学号【解题导思】序号联想解题1看到A,B两点的横坐标,想到了求周期,从而求.由A,B两
5、点的位置想到了特殊点,从而求.2由图象的最高点及最低点,想到了求A以及周期,从而确定,由特殊点的坐标想到了求.【解析】1.选C.T=2=,所以=2,所以f(x)=sin (2x+).由五点作图法知A是第二个点,得2+=+2k(kZ),所以=-+2k(kZ),又|,所以=-,f(x)=sin.由2x-=k(kZ),得x=+(kZ).所以f(x)图象的对称中心为(kZ).【一题多解】选C.由题图知,A,B中点为是一个对称中心,=-=,所以全部对称中心为(kZ),等价于(kZ).2.由题图知A=,=-=,所以T=,=2,所以f(x)=sin(2x+),又对应五点法作图中的第三个点,所以2+=+2k(
6、kZ),=+2k(kZ),又|0,0)的解析式的步骤(1)求A,B,确定函数的最大值M和最小值m,则A=,B=.(2)求,确定函数的周期T,则=.(3)求,常用方法有:代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.五点法:确定值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下:“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为x+=0;“第二点”(即图象的“峰点”)为x+=;“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为x+=;“第四点”(即图象的“谷点”)为x+=;“第五点”(即图象上升时与x轴的交点)为x+=2.1.已知函数f(x)=As
7、in(x+)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是()A.f(x)=sin B.f(x)=sinC.f(x)=sin D.f(x)=sin【解析】选D.由图象可知=-=,所以T=,所以=2,所以排除A、C;把x=代入检验知,选项D符合题意.2.已知函数f(x)=Asin(x+)的图象的一部分如图所示,则f(x)图象的对称轴方程是_.【解析】由图象知A=2,又1=2sin(0+),即sin =,又|0)的最小正周期为.世纪金榜导学号(1)求函数f(x)的单调递增区间.(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)在0,b(b0)上至少含
8、有10个零点,求b的最小值.【解析】(1)f(x)=2sin xcos x+(2sin2x-1)=sin 2x-cos 2x=2sin.由最小正周期为,得=1,所以f(x)=2sin,由2k-2x-2k+(kZ),整理得k-xk+(kZ),所以函数f(x)的单调递增区间是(kZ).(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到y=2sin 2x+1的图象;所以g(x)=2sin 2x+1.令g(x)=0,得x=k+或x=k+(kZ),所以在0,上恰好有两个零点,若y=g(x)在0,b上有10个零点,则b不小于第10个零点的横坐标即可.所以b的最小值为4+=.方程的根与函数图
9、象的交点有何关系?提示:方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.综合应用问题【典例】(2019全国卷)设函数f(x)=sin(0),已知f(x)在0,2上有且仅有5个零点,下述四个结论:世纪金榜导学号f(x)在(0,2)有且仅有3个极大值点f(x)在(0,2)有且仅有2个极小值点f(x)在上单调递增的取值范围是.其中所有正确结论的编号是()A. B. C. D.【解析】选D.若f(x)在0,2上有5个零点,可画出大致图象,由图1可知,f(x)在(0,2)有且仅有3个极大值点,所以正确.由图1、图2可知,f(x)在(0,2)有且仅有2个或3个极小值点,故错误.函数f(x)=sin的增区间为-
10、+2kx+2k(kZ),x.取k=0,当=时,单调递增区间为-x;当=时,单调递增区间为-x2,解得0,0)的部分图象如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+f(2 022)的值等于()A.B.2+2C.+2D.-2【解析】选A.由图象知A=2,=0,T=8,所以=8,即=,所以f(x)=2sinx.因为周期为8,且f(1)+f(2)+f(8)=0,所以f(1)+f(2)+f(2 022)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=2sin+2sin+2sin +2sin +2sin+2sin=.2.(2019全国卷)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个
11、结论:f(x)是偶函数f(x)在区间单调递增f(x)在-,有4个零点f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是()A.B.C.D.【解析】选C.因为f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),所以f(x)为偶函数,故正确.当x时,f(x)=2sin x,它在区间单调递减,故错误.当0x时,f(x)=2sin x,它有两个零点:0,;当-x0时,f(x)=sin(-x)-sin x=-2sin x,它有一个零点:-,故f(x)在-,有3个零点:-,0,故错误.当x2k,2k+(kN*)时,f(x)=2sin x;当x2k+,2k+2(kN*)时,f(x)=sin x-sin x=0,又f(x)为偶函数,所以f(x)的最大值为2,故正确.综上所述,正确.【秒杀绝招】画出函数f(x)=sin|x|+|sin x|的图象,由图象可得正确.