1、四川省自贡市2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题 理（含解析）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1过点P（1，1）且平行于l：x2y+10的直线方程为（）Ax+2y+10B2x+y10Cx2y30D2xy+302已知，则（）A（1，1）B（1，2）C（2，1）D（2，2）3不论m为何值，直线（m2）xy+3m+20恒过定点（）A（3，8）B（8，3）C（3，8）D（8，3）4若实数x，y满足约束条件，则z2xy的最小值是（）A3B2C1D05已知不等式0的解集为（2，a），则实数a的值是（）A1BC1D16在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2（
2、ab）2+8，C，则ABC的面积为（）AB2C3D47已知P是ABC所在平面内的一动点，且，则点P的轨迹一定通过ABC的（）A外心B内心C重心D垂心8银行一年定期的存款的利率为p，如果将a元存入银行一年定期，到期后将本利和再存一年定期，到期后再存一年定期，则10年后到期本利共（）A（a+10p）元Ba（1+p）9元C（a+9p）元Da（1+p）10元9某药店有一架不准确的天平（其两臂不等）和一个10克的砝码一名患者想要20克中药，售货员将砝码放在左盘中，将药物放在右盘中，待平衡后交给患者；然后又将药物放在左盘中，将砝码放在右盘中，待平衡后再交给患者设两次称量后患者实际得到药物为m克，则下列结论
3、正确的是（）Am20Bm20Cm20D以上都可能10在ABC中，点O是BC的三等分点，|，过点O的直线分别交直线AB，AC于点E，F，且，则u2m+n的值为（）A1B2CD311已知正数a，b满足a2+b22，则下列结论错误的是（）Aab1Ba+b2C2D212在数列an中，已知a11，a22，且an+2等于anan+1的个位数（nN*），若数列an的前k项和为2021，则正整数k的值为（）A508B507C506D505二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知ABC的三边长为a，b，c，若满足（abc）（a+b+c）bc，则角A大小为 14如图，从气球A上测得正前方的河流的
4、两岸B，C的俯角分别为67，30，此时气球的高是92m，则河流的宽度BC约等于 m（用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin670.92，cos670.39，sin370.60，cos370.80，1.73）15如图，已知ABAC，AB3，AC，圆A是以A为圆心半径为1的圆，圆B是以B为圆心的圆设点P，Q分别为圆A、圆B上的动点，且，则的最大值为 16下列命题：当直线l经过两点A（x1，y1），B（x2，y2）时，直线l的斜率为；直线ykx+b与y轴交于一点B，则直线在y轴上的截距为|OB|；在x轴和y轴上截距相等的直线方程为x+ya；方程（x2x1）（yy1）（y2y1）（xx1）表示过
5、点（x1，y1）和（x2，y2）的直线其中说法中正确的命题序号是 三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程演算步骤）17在锐角ABC中，AC2，D为BC边上的一点，且ADC45，AD2（1）求C的大小；（2）若BD，求AB18已知函数f（x）x2（a+1）x+a，其中a为实常数（1）解关于x的不等式f（x）0；（2）若不等式f（x）x2对任意x1恒成立，求a的取值范围19已知A（2，0），B（0，2），C（cos，sin），O为坐标原点（1）1，求sin2的值；（2）若，且（0，），求与的夹角20已知数列an是等差数列，数列bn是正项等比数列、且a1b11，a3+b28
6、，a5b3（1）求数列an和bn的通项公式；（2）若cnanbn（nN*），求数列cn的前n项和Tn21如图，一载着重危病人的火车从O地出发，沿北偏东射线OA行驶，其中tan，在距离O地10公里北偏东角的P处住有一位医学专家（其中tan），现有紧急征调离O地正东t公里的B处的救护车赶往P处载上医学专家全速追赶乘有重危病人的火车，并在C处相遇，经计算当两车行驶的路线与OB围成的三角形OBC面积S最小时，抢救最及时（1）求S关于t的函数关系；（2）当t为何值时，抢救最及时22设函数f（x）1+ln，设a11，（1）求数列an的通项公式（2）若b1，bn，数列bn的前n项和为Sn，若Sn（an+1+
7、1）对一切nN*成立，求的取值范围参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1过点P（1，1）且平行于l：x2y+10的直线方程为（）Ax+2y+10B2x+y10Cx2y30D2xy+30解：设平行于l：x2y+10的直线方程为x2y+c0直线过点P（1，1）1+2+c0c3平行于l：x2y+10的直线方程为x2y30故选：C2已知，则（）A（1，1）B（1，2）C（2，1）D（2，2）解：，故选：B3不论m为何值，直线（m2）xy+3m+20恒过定点（）A（3，8）B（8，3）C（3，8）D（8，3）解：直线（m2）xy+3m+20可为变为m（x+3）+（2xy+2）0令
8、解得：故不论m为何值，直线（m2）xy+3m+20恒过定点（3，8）故选：C4若实数x，y满足约束条件，则z2xy的最小值是（）A3B2C1D0解：由于变量x、y满足约束条件 ，在坐标系中画出可行域四边形，平移直线2xy0经过点A（0，2）时，2xy最小，最小值为：2，则目标函数z2xy的最小值为2故选：B5已知不等式0的解集为（2，a），则实数a的值是（）A1BC1D1解：不等式0的解集为（2，a），（ax1）（x+2）0的解集为（2，a），a0，a，a1，故选：C6在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2（ab）2+8，C，则ABC的面积为（）AB2C3D4解：因为c2（
9、ab）2+8，可得a2+b2c22ab8，又C，两边同除以2ab，得1cosC，所以ab8，SABCabsinC8sin2故选：B7已知P是ABC所在平面内的一动点，且，则点P的轨迹一定通过ABC的（）A外心B内心C重心D垂心解：根据题意，如图，设BC的中点为D，则，则（+）（+），即点P在BC边的中线AD上，则点P的轨迹一定通过ABC的重心，故选：C8银行一年定期的存款的利率为p，如果将a元存入银行一年定期，到期后将本利和再存一年定期，到期后再存一年定期，则10年后到期本利共（）A（a+10p）元Ba（1+p）9元C（a+9p）元Da（1+p）10元解：将a元存入银行一年定期，存款的利率为p
10、，则一年后的本利和为a+apa（1+p）；将本利和存入，在经过一年后的本利和为a（1+p）+a（1+p）pa（1+p）2；.则10年后到期本利共a（1+p）10元故选：D9某药店有一架不准确的天平（其两臂不等）和一个10克的砝码一名患者想要20克中药，售货员将砝码放在左盘中，将药物放在右盘中，待平衡后交给患者；然后又将药物放在左盘中，将砝码放在右盘中，待平衡后再交给患者设两次称量后患者实际得到药物为m克，则下列结论正确的是（）Am20Bm20Cm20D以上都可能解：不妨设左臂长为a，右臂长为b，设售货员两次分别在盘中放置m1、m2克药品，则，前两个式子相乘，得100abm1m2ab，得m1m2
11、100，m1m2，mm1+m2220，故选：A10在ABC中，点O是BC的三等分点，|，过点O的直线分别交直线AB，AC于点E，F，且，则u2m+n的值为（）A1B2CD3解：在ABC中，点O是BC的三等分点，|，+（）+，m+n，O，E，F三点共线，m+n1，u2m+n3（m+n）3，故选：D11已知正数a，b满足a2+b22，则下列结论错误的是（）Aab1Ba+b2C2D2解：a2+b222|ab|，ab1正确；（a+b）2a2+b2+2ab2+2ab4，a+b2正确；a+b+22+24，2正确；若a，b，则2，故2错误故选：D12在数列an中，已知a11，a22，且an+2等于anan+
12、1的个位数（nN*），若数列an的前k项和为2021，则正整数k的值为（）A508B507C506D505解：由题意得，a3a1a22，由题意可得a44，依此类推，a58，a62，a76，a82，a92，a104，可以根据以上的规律看出数列an除第一项外是一个周期为6的周期数列，一个周期的数值的和为2+2+4+8+2+624，因为20212484+5，就是说，数列有84个周期加上第一项1以及2，2两项，所以数列共有1+846+2507故选：B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知ABC的三边长为a，b，c，若满足（abc）（a+b+c）bc，则角A大小为 解：ABC中，（a
13、bc）（a+b+c）bc，b2+c2a2bc，利用余弦定理可得cosA，A（0，），A故答案为：14如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67，30，此时气球的高是92m，则河流的宽度BC约等于 120m（用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin670.92，cos670.39，sin370.60，cos370.80，1.73）解：如图所示，ADCB，垂足为D，在RtABD中，ABD67，AD92，所以AB，在ABC中，BAC673037，ACB30，根据正弦定理，得BC120（m），所以河流的宽度BC约等于120m故答案为：12015如图，已知ABAC，AB3，AC，圆
14、A是以A为圆心半径为1的圆，圆B是以B为圆心的圆设点P，Q分别为圆A、圆B上的动点，且，则的最大值为 11解：设QBA，则PAC90+，（）（）+2cos（+）+3cos（）2cos（+）+2cos5+3sin3cos5+6sin（）1sin（）1，15+6sin（）11，故1，11，故答案为：1116下列命题：当直线l经过两点A（x1，y1），B（x2，y2）时，直线l的斜率为；直线ykx+b与y轴交于一点B，则直线在y轴上的截距为|OB|；在x轴和y轴上截距相等的直线方程为x+ya；方程（x2x1）（yy1）（y2y1）（xx1）表示过点（x1，y1）和（x2，y2）的直线其中说法中正确的
15、命题序号是 解：对于：当x1x2，则直线l的斜率不存在，故错误；对于：截距不是距离，是点B的纵坐标，其值可以正也可以负，故错误；对于：经过原点的直线在两坐标轴上的截距相等都是0，但方程不能表示为+1，故错误；对于：此方程为直线的两点式方程变形，即（x2x1）（yy1）（y2y1）（xx1），故正确故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程演算步骤）17在锐角ABC中，AC2，D为BC边上的一点，且ADC45，AD2（1）求C的大小；（2）若BD，求AB解：（1）因为在ADC中，AC2，ADC45，AD2，所以由正弦定理，可得，可得sinC，因为C为锐角，所以C（
16、2）因为AD2，BD，ADB18045135，所以由余弦定理可得AB2BD2+AD22BDADcosADB（）2+（2）22（）30，所以AB18已知函数f（x）x2（a+1）x+a，其中a为实常数（1）解关于x的不等式f（x）0；（2）若不等式f（x）x2对任意x1恒成立，求a的取值范围解：（1）由题意，（xa）（x1）0当a1时，不等式的解集为x|1xa当a1时，不等式的解集为当a1时，不等式的解集为x|ax1（2）不等式f（x）x2对任意x1恒成立，即x2（a+1）x+ax2对任意x1恒成立将参数a分离出来，即x22x+2a（x1）由于x1，所以ax1，所以）的最小值为2，当且仅当x2时
17、，取得最小值所以a219已知A（2，0），B（0，2），C（cos，sin），O为坐标原点（1）1，求sin2的值；（2）若，且（0，），求与的夹角解：（1）根据题意，A（2，0），B（0，2），C（cos，sin），则（cos2，sin），（cos，sin2），若1，即cos（cos2）+sin（sin2）1，变形可得：sin+cos1，则有1+2sincos1+sin21，故sin20，（2）根据题意，A（2，0），B（0，2），C（cos，sin），则（2，0），（0，2），（cos，sin）（2cos，sin），若，则有（2cos）2+（sin）254cos7，变形可得cos，又由（0
18、，），则sin，则（，）；则|2，|1，cos，则有，故与的夹角为20已知数列an是等差数列，数列bn是正项等比数列、且a1b11，a3+b28，a5b3（1）求数列an和bn的通项公式；（2）若cnanbn（nN*），求数列cn的前n项和Tn解：（1）设等差数列an的公差为d，正项等比数列bn的公比为q，q0，由a1b11，a3+b28，a5b3，可得1+2d+q8，1+4dq2，解得d2，q3，则an1+2（n1）2n1，bn3n1；（2）cnanbn（2n1）3n1，Tn130+331+532+.+（2n1）3n1，3Tn13+332+533+.+（2n1）3n，两式相减可得2Tn1+2
19、（31+32+.+3n1）（2n1）3n1+2（2n1）3n，化简可得Tn1+（n1）3n21如图，一载着重危病人的火车从O地出发，沿北偏东射线OA行驶，其中tan，在距离O地10公里北偏东角的P处住有一位医学专家（其中tan），现有紧急征调离O地正东t公里的B处的救护车赶往P处载上医学专家全速追赶乘有重危病人的火车，并在C处相遇，经计算当两车行驶的路线与OB围成的三角形OBC面积S最小时，抢救最及时（1）求S关于t的函数关系；（2）当t为何值时，抢救最及时解：（1）建立如图所示的直角坐标系，OP10，tan，sinBOP，cosBOP，P点的坐标为（6，8）又射线OA的方程为y2x，又B（t
20、，0），直线BP的方程为（t6），y，（x6）当t6时，C（6，12），S61236；当t6时，联立方程组，解得（t2）点C的坐标为（，）（t2）S|OB|yC|t（t2），对t6也成立S（t2）；（2）由（1）得S当且仅当4（t2），即t6公理时，S有最小值，即抢救最及时22设函数f（x）1+ln，设a11，（1）求数列an的通项公式（2）若b1，bn，数列bn的前n项和为Sn，若Sn（an+1+1）对一切nN*成立，求的取值范围解：（1）f（x）1+ln，则f（x）+f（1x）1+ln+1+ln2+ln12，当n2时，anf（）+f（）+.+f（），anf（）+f（）+.+f（），+可得2anf（）+f（）+f（）+f（）+.+f（）+f（）2+2+.22（n1），即ann1，所以an；（2）b1，当n2时，bn，当n2时，Sn+.+1，上式对n1时，也成立，所以Sn（an+1+1）即为（n+1），即为，由n+的最小值为2，当且仅当n1时取得等号所以