1、函数的定义域、解析式、值域一、函数的定义域定义域特指的值。函数题的解答不能不考虑函数的定义域，抛弃函数的定义域解决函数问题没有任何意义。但大部分学生都会忽视这一问题，所以被称为隐形杀手，一定要确立定义域优先的思想。基本解题思路：注意“定义域优先”；不要对解析式化简变形；在解不等式组时要细心、快而准，分类讨论要全面，取交集时需要借助数轴；要注意端点值或边界值能否取到；定义域要用集合或者区间的形式写出；换元法要注意新变量的取值范围；注意对于指数不等式、对数不等式和分式不等式的解法的通用方法。（一）单一函数经过四则运算结合求函数的定义域。1、基本函数定义域的要求：(1)分式函数，分母不为；(2)偶次
2、根式函数的被开方数为非负数； (不要忘记等号)(3)一次函数、二次函数的定义域为；(4)中的底数不等于； (中的底数也不等于)(5)指数函数定义域为，对数函数定义域为； (注意且)(6)、的定义域为；的定义域为；的定义域为；(7)实际问题应考虑实际限制。2、剥洋葱原理一层一层交集(同时成立) 最后把求定义域转化成解不等式。例1-1函数的定义域为( )。A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】，解得，故选C。例1-2函数的定义域为 。【答案】【解析】且且解得。（二）单一函数与复合函数的相互转换。1、单一到复合，类比联想，整体代入。由的定义域为求的定义域实质是，求的取值范围。例2-1函数的定义域为
3、，则函数的定义域为 。【答案】【解析】，则。2、 复合到单一，方法：换元法。 规避易错点：新变量的取值范围。由的定义域，求的定义域，实质是，求的取值范围，此取值范围就是的定义域。实质就是换元法。例2-2已知函数的定义域是，则函数的定义域为 。【答案】【解析】设，故的定义域为。3、复合到复合，找到“桥梁”。由的定义域，求的定义域，须先求的定义域。例2-3若的定义域是，则函数的定义域为 。【答案】【解析】先求的定义域，设，即的定义域为，再求的定义域，解得或。（三）函数定义域逆向性问题。例3-1若函数的定义域为，则实数取值范围是( )。A、 B、 C、 D、【答案】A【解析】的定义域为，在上恒成立，
4、即方程至多有一个解，解得，则实数取值范围是，故选A。例3-2已知函数的定义域是，则实数的取值范围是( )。A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】的定义域为，只需分母不为即可，或，可得，故选B。二、函数的解析式（一）已知函数类型，可设参，用待定系数法求解析式。若已知函数形式(一次函数，；二次函数，；反比例函数，；指数函数，且；，且；幂函数)，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式。已知函数图象，也用待定系数法求解析式。如果图象是分段的，要用分段函数表示。例4-1已知函数是指数函数，则( )。 A、 B、 C、 D
5、、【答案】C【解析】是指数函数，即，解得(可取)或(舍)，故选C。多选例4-2已知函数是一次函数，且，则的解析式为( )。A、 B、 C、 D、【答案】AC【解析】设()，则， ，解得或，或，故选AC。例4-3已知二次函数满足，且，则的解析式为( )。A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】设，则，又，令，则，即，令，则，即，故选B。（二）方程组法求函数解析式。若出现与的关系式、与的关系式或一个奇函数与一个偶函数的关系式，可构造另一个等式，通过解方程组求解。(1)互为倒数：；(2)互为相反数：或(为奇函数，为偶函数)。例5-1已知，则的解析式为( )。A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】联
6、立，解方程组得，故选A。例5-2已知，则的解析式为 。【答案】，()【解析】联立，解方程组得，()。例5-3设为偶函数，为奇函数，求与的解析式。【解析】， 与原题中方程联立，解得(、)，(、)。（三）已知求复合函数，或已知复合函数的解析式求的解析式，可用换元法、配凑法。即令，反解出，然后代入中求出，从而求出，注意新变量的取值范围。例6-1已知，则的解析式为 。【答案】 ()【解析】令，则，即 ()。例6-2已知，则的解析式为 。【答案】()【解析】令，则，()，()。（四）代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。1、关于点对称：关于点对称的； 特殊点：点关于原点对称的
7、点奇函数。2、关于线对称(1)特殊线：关于轴对称；关于轴对称偶函数；关于对称反函数；关于对称。(2)一般直线：构建等量关系抓两个关键点：垂直和中点。点关于直线对称的点，则；。例7-1函数关于原点对称且当时，求函数在时的解析式。【答案】()【解析】时，。例7-2与方程()的曲线关于直线对称的曲线的方程是( )。A、() B、()C、() D、()【答案】A【解析】，即，()，故选A。（五）赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例5-1已知，对于任意实数、，恒成立，则的解析式为 。【答案】【解析】令，则有，
8、再令，则。三、函数的值域（一）直接法1、观察法：通过观察如，或等函数的定义域及性质，结合函数的解析式，应用不等式性质，可直接求得函数的值域。例6-1函数的值域为( )。A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】，故，值域为，故选D。注意：算术平方根具有双重非负性，即：(1)被开方数的非负性，(2)值的非负性。2、利用配方法：型如()型或可转化为二次型的函数，用此种方法，注意自变量的范围。例6-2函数的值域为( )。A、 B、 C、 D、【答案】A【解析】，值域为，故选A。3、数形结合法：利用函数所表示的几何意义，借助于图象的直观性来求函数的值域，是一种常见的方法，如何将给定函数转化为我们熟悉的模
9、型是解答此类问题的关键。例6-3函数的值域为( )。A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】原函数化为，其图像如图，原函数值域为，故选D。注意：分段函数应注意函数的端点，利用函数的图象求函数的值域，体现数形结合的思想，是解决问题的重要方法。例6-4在实数的原有运算中定义新运算“”如下：当时，；当时，。设函数，则的值域为( )。A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】由题意知，即当时，即当时，当，则的值域为，故选B。（二）利用分离常数法：1、型如时，可化简成的格式，分母不为零，。例7-1函数的值域为( )。A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】，原函数的值域为，故选C。2、型如的函数，可化简成
10、的格式，再求值域。例7-2函数的值域为( )。A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】，原函数的值域为，故选B。（三）利用基本不等式：1、型如时，直接应用不等式性质。例8-1函数的值域为( )。A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】，值域为，故选B。2、(1)型如：若，则(当且仅当即当时取“=”)，若，则(当且仅当即时取“=”)；(2)型如(，)：若，则(当且仅当即时取“=”)，若，则(当且仅当即时取“=”)；例8-2函数的值域为( )。A、 B、 C、 D、【答案】A【解析】若，若，值域为，故选A。3、型如时，应先应用分离常数法化简成的格式，再利用均值不等式求值域。例8-3函数的值域为(
11、)。A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】，值域为，故选B。4、型如时，应讨论时的值域，再讨论化简成型，最后利用均值不等式求值域。例8-4函数的值域为( )。A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】当时，当时，时，时，的值域为，故选D。（四）利用换元法：型如型，可用此法求其值域。例9-1函数的值域为( )。A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】法一(换元法)：令，则且，则， ，的值域为，故选D。法二(单调性法)：容易判断为增函数，而其定义域应满足，即， ，的值域为，故选B。（五）利用函数的单调性：若函数是上的单调增(减)函数，则、分别是在区间上取得最小(大)值、最大(小)值。例10-1已知
12、，且满足，则函数的值域为( )。A、 B、 C、 D、【答案】A【解析】，则原式与同解，解之得，又，将代入中，得且，函数在区间上连续且单调递增，故只需比较边界的大小，当时，；当时，函数的值域为，故选A。（六）判别式法：型如(、不同时为零)及的函数求值域，通常把其转化成关于的一元二次方程，由判别式，求得的取值范围，即为原函数的值域。例11-1函数的值域为( )。A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】法一(配方法)：，又，值域为，故选C。法二(判别式法)：由，得，时，又，值域为，故选C。（七）反函数法：1、直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例12-1函数值域为
13、( )。A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】设，则，分母不等于，即。即函数的值域为。注意：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。2、直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。例12-2函数的值域为( )。A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】设，由原式得，即函数的值域为，故选B。（八）倒数法：有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况。例13-1函数的值域为( )。A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】设，当时，当时，综上，即函数的值域为，故选C。（九）导数法：利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值，然后求出值域。例14-1函数的值域为( )。A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】的定义域为，令，解得，当时，则在内单调递减，当时，则在内单调递增，当时，取极小值(极小值唯一)也即最小值，即函数的值域为，故选C。（十）多种方法综合运用：总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
