1、高考资源网（） 您身边的高考专家空间向量的基本概念及运算【例1】如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论：0；0；0；0.其中正确结论的序号是_容易推出0，所以正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SASBSCSD2，所以22cosASB，22cosCSD，而ASBCSD，于是，因此正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是.1空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需
2、向量2空间向量的数量积(1)空间向量的数量积的定义表达式ab|a|b|cosa，b及其变式cosa，b是两个重要公式(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a2|a|2，a在b上的投影|a|cos 等1如图，已知ABCDABCD是平行六面体设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCCB对角线BC上的分点，设，则_.连接BD，则M为BD的中点，()()()().，.空间向量的坐标运算【例2】(1)已知a(2，3，4)，b(4，3，2)，bx2a，则x()A(0，3，6)B(0，6，20)C(0，6，6) D(6，6，6)(2)已知向量a(x，1，2)，b(1，y，2)，c(3
3、，1，z)，ab，bc.求向量a，b，c；求ac与bc所成角的余弦值(1)B由bx2a得x4a2b，又4a2b4(2，3，4)2(4，3，2)(0，6，20)，所以x(0，6，20)(2)解：向量a(x，1，2)，b(1，y，2)，c(3，1，z)，且ab，bc，解得向量a(1，1，2)，b(1，1，2)，c(3，1，1)ac(2，2，3)，bc(4，0，1)，(ac)(bc)24203(1)5，|ac|，|bc|，ac与bc所成角的余弦值为.熟记空间向量的坐标运算公式设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，(1)加减运算：ab(x1x2，y1y2，z1z2)(2)数量积运算：abx
4、1x2y1y2z1z2.(3)向量夹角：cosa，b.(4)向量长度：设M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)，则|.提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算2在空间直角坐标系中，已知点A(1，2，11)，B(4，2，3)，C(6，1，4)，则ABC一定是()A等腰三角形 B等边三角形C直角三角形 D等腰直角三角形C(3，4，8)，(5，1，7)，(2，3，1)，|，|，|，|2|2|2，ABC一定为直角三角形利用空间向量证明平行、垂直问题【例3】在四棱锥PABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PAADCD2AB2，M为PC的中点(1)求证：BM平面PA
5、D；(2)平面PAD内是否存在一点N，使MN平面PBD？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由思路探究：(1)证明向量垂直于平面PAD的一个法向量即可；(2)假设存在点N，设出其坐标，利用，列方程求其坐标即可解以A为原点，以AB，AD，AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示，则B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，1，1)，(1)证明：(0，1，1)，平面PAD的一个法向量为n(1，0，0)，n0，即n，又BM平面PAD，BM平面PAD.(2)(1，2，0)，(1，0，2)，假设平面PAD内存在一点N，使MN平面PBD.设N(0，y，z
6、)，则(1，y1，z1)，从而MNBD，MNPB，即N，在平面PAD内存在一点N，使MN平面PBD.利用空间向量证明空间中的位置关系(1)线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量(2)线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直(3)线面平行：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示(4)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量平行；利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题(5)面面平行：证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；转化为线
7、面平行、线线平行问题(6)面面垂直：证明两个平面的法向量互相垂直；转化为线面垂直、线线垂直问题3如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N分别在BB1，DD1上，且AMA1B，ANA1D.(1)求证：A1C平面AMN.(2)当AB2，AD2，A1A3时，问在线段AA1上是否存在一点P使得C1P平面AMN，若存在，试确定P的位置解(1)证明：因为CB平面AA1B1B，AM平面AA1B1B，所以CBAM，又因为AMA1B，A1BCBB，所以AM平面A1BC，所以A1CAM，同理可证A1CAN，又AMANA，所以A1C平面AMN.(2)以C为原点，CD所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CC1
8、所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，因为AB2，AD2，A1A3，所以C(0，0，0)，A1(2，2，3)，C1(0，0，3)，(2，2，3)，由(1)知CA1平面AMN，故平面AMN的一个法向量为(2，2，3)设线段AA1上存在一点P(2，2，t)，使得C1P平面AMN，则(2，2，t3)，因为C1P平面AMN，所以443t90，解得t.所以P，所以线段AA1上存在一点P，使得C1P平面AMN.利用空间向量求空间角【例4】如图，在等腰直角三角形ABC中，A90，BC6，D，E分别是AC，AB上的点，CDBE，O为BC的中点将ADE沿DE折起，得到如图所示的四棱锥ABCDE，其中AO.(1)证
9、明：AO平面BCDE；(2)求二面角ACDB的平面角的余弦值思路探究：(1)利用勾股定理可证AOOD，AOOE，从而证得AO平面BCDE；(2)用“三垂线”法作二面角的平面角后求解或用向量法求两个平面的法向量的夹角解(1)证明：由题意，得OC3，AC3，AD2.如图，连接OD，OE，在OCD中，由余弦定理，得OD.由翻折不变性，知AD2，所以AO2OD2AD2，所以AOOD.同理可证AOOE.又因为ODOEO，所以AO平面BCDE.(2)如图，过点O作OHCD交CD的延长线于点H，连接AH.因为AO平面BCDE，OHCD，所以AHCD.所以AHO为二面角ACDB的平面角结合图(1)可知，H为A
10、C的中点，故OH，从而AH.所以cosAHO.所以二面角ACDB的平面角的余弦值为.用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为090，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面所成的角，先求这个平面的法向量n与直线a的方向向量a夹角的余弦cosn，a，易知n，a或者n，a(3)二面角：如图，有两个平面与，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面与所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先应判断二面角是锐角还是钝角4在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线(
11、1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH平面ABC.(2)已知EFFBAC2，ABBC，求二面角FBCA的余弦值解(1)证明：设CF的中点为I，连接GI，HI.在CEF中，因为点G，I分别是CE，CF的中点，所以GIEF.又EFOB，所以GIOB.在CFB中，因为H，I分别是FB，CF的中点，所以HIBC.又HIGII，BCOBB，所以平面GHI平面ABC.因为GH平面GHI，所以GH平面ABC.(2)连接OO，则OO平面ABC.又ABBC，且AC是圆O的直径，所以BOAC.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系由题意得B(0，2，0)，C(2，0，0)过点F作FMOB于点M，所以FM3，可得F(0，3)故(2，2，0)，(0，3)设m(x，y，z)是平面BCF的法向量由可得可得平面BCF的一个法向量m.因为平面ABC的一个法向量n(0，0，1)，所以cosm，n，所以二面角FBCA的余弦值为.- 11 - 版权所有高考资源网