1、2.3.2双曲线的简单几何性质学 习 目 标核 心 素 养1.掌握双曲线的简单几何性质(重点)2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义(难点)1.通过学习双曲线的几何性质，培养学生的直观想象、数学运算核心素养.2.借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用，提升学生的直观想象及数学运算、逻辑推理核心素养.1双曲线的几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xaya或ya对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点(a，0)，(a，0)(0，a)，(0，a)轴长实轴长2a，虚轴长2b离心率e1渐近线yxyx思考：(1)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？(2)双曲线的离
2、心率和渐近线的斜率有怎样的关系？提示(1)渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同(2)e21，是渐近线的斜率或其倒数2双曲线的中心和等轴双曲线(1)双曲线的中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心(2)等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e1双曲线y21的顶点坐标是()A(4，0)，(0，1)B(4，0)，(4，0)C(0，1)，(0，1) D(4，0)，(0，1)B由题意知，双曲线的焦点在x轴上，且a4，因此双曲线的顶点坐标是(4，0)，(4，0)2已知双曲线9y2m2x21(m0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m()A1 B2C3 D4D方程9y
3、2m2x21(m0)可化为1(m0)，则a，b，取顶点，一条渐近线为mx3y0，所以，则m2925.m0，m4.3若双曲线1(m0)的渐近线方程为yx，则双曲线的焦点坐标是_(，0)，(，0)由双曲线方程得出其渐近线方程为yx，m3，求得双曲线方程为1，从而得到焦点坐标为(，0)，(，0)4已知点(2，3)在双曲线C：1(a0，b0)上，C的焦距为4，则它的离心率为_2由题意知1，c2a2b24，得a1，b，e2.根据双曲线方程研究几何性质【例1】(1)已知双曲线C：1(a0，b0)过点(，2)，过点(0，2)的直线l与双曲线C的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为，则双曲线C的实轴长为(
4、)A2B2C4 D4(2)求双曲线nx2my2mn(m0，n0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程(1)A双曲线C的渐近线方程为yx，则点(0，2)到渐近线bxay0(或bxay0)的距离d，得c3a，即b2a.由双曲线C过点(，2)，可得1，解得a1，故双曲线C的实轴长为2a2.(2)把方程nx2my2mn(m0，n0)，化为标准方程1(m0，n0)，由此可知，实半轴长a，虚半轴长b，c，焦点坐标为(，0)，(，0)，离心率e.顶点坐标为(，0)，(，0)所以渐近线的方程为yxx.由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键(2
5、)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值(3)由c2a2b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质提醒：求性质时一定要注意焦点的位置1(1)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y2x的是()Ax21 B.y21C.x21 Dy21CA、B选项中双曲线的焦点在x轴上，可排除；C、D选项中双曲线的焦点在y轴上，令x20，得y2x；令y20，得yx.故选C.(2)若双曲线1的离心率为，则其渐近线方程为()Ay2x ByxCyx DyxB在双曲线中，离心率e，可得，故所求的双曲线的渐近线方程是yx.利用几何性质求双曲线方程【例2】(1)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，O
6、AF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.y21 Dx21(2)渐近线方程为yx，且经过点A(2，3)的双曲线方程为_思路探究：(1)OAF是边长为2的等边三角形求c和点A的坐标渐近线的斜率求a，b.(2)法一：分焦点在x轴和y轴上两种情况求解法二：待定系数法求解(1)D(2)1(1)不妨设点A在第一象限，由题意可知c2，点A的坐标为(1，)，所以，又c2a2b2，所以a21，b23，故所求双曲线的方程为x21，故选D.(2)法一：因为双曲线的渐近线方程为yx，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为：1(a0，b0)，则.因为点A(2，3)在双曲线上，所以
7、1.联立，无解若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则.因为点A(2，3)在双曲线上，所以1.联立，解得a28，b232.故所求双曲线的标准方程为1.法二：由双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线的方程为y2(0)因为点A(2，3)在双曲线上，所以(3)2，即8.故所求双曲线的标准方程为1.1.由双曲线的几何性质求双曲线的方程的常用方法：一是设法确定基本量a，b，c，从而求出双曲线方程；二是采用待定系数法首先依据焦点的位置设出标准方程的形式，再由题目条件确定参数的值当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，防止漏解为了避免讨论，也可设方程为mx2ny21(m
8、n0)，从而直接求解2常见双曲线方程的设法(1)渐近线为yx的双曲线方程可设为(0，m0，n0)；如果两条渐近线的方程为AxBy0，那么双曲线的方程可设为A2x2B2y2m(m0，A0，B0)(2)与双曲线1或1(a0，b0)共渐近线的双曲线方程可设为或(0)(3)与双曲线1(a0，b0)离心率相等的双曲线系方程可设为(0)或(0)，这是因为离心率不能确定焦点位置2求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)以直线2x3y0为渐近线，过点(1，2)；(2)与双曲线1具有相同的渐近线，且过点M(3，2)；(3)过点(2，0)，与双曲线1离心率相等解(1)由题意可设所求双曲线方程为4x29y2(0)，
9、将点(1，2)的坐标代入方程解得32.因此所求双曲线的标准方程为1.(2)设所求双曲线方程为(0)由点M(3，2)在双曲线上得，得2.故所求双曲线的标准方程为1.(3)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为(0)，将点(2，0)的坐标代入方程得，故所求双曲线的标准方程为y21；当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为(0)，将点(2，0)的坐标代入方程得0，b0)，不妨设点M在双曲线的右支上，如图，ABBM2a，MBA120，作MHx轴于H，则MBH60，BHa，MHa，所以M(2a，a)将点M的坐标代入双曲线方程1，得ab，所以e.故选D.求双曲线离心率的方法(1)若可求得a，c，则直
10、接利用e得解(2)若已知a，b，可直接利用e得解(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2qacra20(p，q，r为常数，且p0)，则转化为关于e的方程pe2qer0求解3(1)(2019全国卷)设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则C的离心率为()A. B.C2 D.答案A(2)过双曲线C：1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为_2如图，F1，F2为双曲线C的左，右焦点，将点P的横坐标2a代入1中，得y23b2，不妨令点P的坐标为(2a，b)，此
11、时kPF2，得到c(2)a，即双曲线C的离心率e2.直线与双曲线的位置关系探究问题1直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线一定相切吗？提示可能相切，也可能相交，当直线和渐近线平行时，直线和双曲线相交且只有一个交点2过点(0，2)和双曲线1只有一个公共点的直线有几条？提示四条，其中两条切线，两条和渐近线平行的直线【例4】已知双曲线C：x2y21及直线l：ykx1.(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且AOB的面积为，求实数k的值思路探究：直线方程与双曲线方程联立方程组判断“”与“0”的关系直线与双曲线的位置关系
12、解(1)联立方程组消去y并整理得(1k2)x22kx20.直线与双曲线有两个不同的交点，则解得k，且k1.若l与C有两个不同交点，实数k的取值范围为(，1)(1，1)(1，)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，对于(1)中的方程(1k2)x22kx20，由根与系数的关系，得x1x2，x1x2，|AB|x1x2|.又点O(0，0)到直线ykx1的距离d，SAOB|AB|d，即2k43k20，解得k0或k.实数k的值为或0.直线与双曲线位置关系的判断方法(1)方程思想的应用把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2bxc0的形式，在a0的情况下考察方程的判别式0时，直线与双曲线
13、有两个不同的公共点0时，直线与双曲线只有一个公共点0，符合题意，所求直线MN的方程为yx，即3x4y50.法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，M，N均在双曲线上，两式相减，得yy，.点A平分弦MN，x1x26，y1y22.kMN.经验证，该直线MN存在所求直线MN的方程为y1(x3)，即3x4y50.1渐近线是双曲线特有的性质两方程联系密切，把双曲线的标准方程1(a0，b0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程反之由渐近线方程axby0变为a2x2b2y2(0)，再结合其他条件求得，可得双曲线方程2准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较
14、为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形.1双曲线1的渐近线方程是()AyxByxCyx DyxC双曲线的焦点在x轴上，且a2，b3，因此渐近线方程为yx.2已知双曲线1(a0)的离心率为2，则a()A2 B.C. D1D由题意得e2，2a，a234a2，a21，a1.3若一双曲线与椭圆4x2y264有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为_1椭圆4x2y264，即1，焦点为(0，4)，离心率为，则双曲线的焦点在y轴上，c4，e，从而a6，b212，故所求双曲线的方程为y23x236.即1.4求中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，经过点(3，2)，且一条渐近线的倾斜角为的双曲线的方程解渐近线方程为yx，设双曲线方程为x23y2.将(3，2)代入求得3，所以双曲线方程为y21.