1、文数第页1开学考哈尔滨市2021-2022 学年度下学期试高三数学文科试卷（时间：120 分钟满分：150 分）第 I 卷(选择题 共 60 分)一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1已知集合23|7100|Mx xNx xx，则 MN=（）A2,3B3,5C5，D2,)2在复平面内，已知平行四边形OABC 的三个顶点 O，A，C 对应的复数分别为 0，24i，32i，则点 B 对应的复数为（）A 16i B16iC5iD 15i 3已知命题 p：若2bac，则 abc，成等比数列；命题q：00,2x，使得0013sincos122xx，则下列为真命题的是（）A()p
2、qB pqC()pq D()()pq 4设 x，y 满足约束条件36204xyxyxy，则2zyx的最大值为（）A2B3C4D55.徽砚又名歙砚，中国四大名砚之一，是砚史上与端砚齐名的珍品.以砚石在古歙州府加工和集散而得名，徽砚始于唐代，据北宋唐积歙州砚谱载：婺源砚在唐开元中，猎人叶氏逐兽至长城里，见叠石如城垒状，莹洁可爱，因携之归，刊出成砚，温润大过端溪，此后，徽砚名闻天下，如图所示的徽砚近似底面直径为10cm，高为 2.5cm的圆柱体，则该徽砚的体积为（）3cmA 250B75C1252 D1253 6.干支纪年，是指中国纪年历法，至迟在东汉初期已经普遍使用，直到今天没有间断过.干支实际上
3、是“天干”和“地支”的合称.甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十个字叫做“天干”；子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥十二个字叫做“地支”.把天干中的一个字摆在前面，后面配上地支中的一个字，这样就构成一对干支.如果天干以“甲”字开始，地支以“子”字开始顺序组合，我们就可以得到六十对干支：甲子乙丑丙寅丁卯.癸亥，称为“六十花甲子”.干支纪年在我国历史学中广泛使用，特别是近代史中很多重要历史事件的年代常用干支纪年表示.例如甲午战争戊戌变法辛亥革命等等.1911 年的辛亥革命推翻了统治中国两千多年的封建君主专制制度，建立了中国历史上第一个资产阶级共和政府，使民主共和的观念开始深入人心；1949 年中华人民共和国的成立标志着中
4、国新民主主义革命取得胜利，开辟了中国历史的新纪元，从此，中国结束了一百多年来被侵略被奴役的屈辱历史，真正成为独立自主的国家，中国人民从此站起来了，成为国家的主人.1949 年用干支纪年法表示，是（）A戊子年B己丑年C庚寅年D己酉年7已知直线 1:240laxy与直线2:320lxay，若 12ll，则a（）A1 或 2B1C 1 或 2D 18在数列 na中，120a，13nnaa （2n，*Nn），则数列 na的前 n 项和取最大值时，n 的值是（）A7B8C9D10931cos10sin 550等于（）A 2B 2C 4D 410.已知点 P 为双曲线22221(0,0)xyabab的左支
5、上一点，O 为坐标原点，12,F F 为双曲线的左，右焦点.2|OPOF且213PFPF，则双曲线的离心率为（）A21B31C51D61文数第页211已知 P，Q 分别是正方体1111ABCDA B C D的棱1BB，1CC 上的动点(不与顶点重合)，则下列结论错误的是（）A ABPQB1AD 与 PQ 不会相交C四面体 ABPQ 的体积为定值D/AP平面11CDD C12.已知)2lg(ln,2,2ln2lncba，则（）A.acbB.bcaC.bacD.abc第卷（非选择题共 90 分）二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13抛物线24yx的焦点坐标为_.14已知幂
6、函数 fx 的图象过点8,2，且13f af a，则 a 的取值范围是_15在正三棱锥 PABC中，3PAPBPC，侧棱 PA 与底面 ABC 所成的角为60，则该三棱锥外接球的体积为_.16数列 na中，*1132,22nnaannN，且11a ，记数列 na的前 n 项和为nS，则nS=_三、解答题(本题共 6 小题，共 70 分)17(本小题 12 分)为进一步完善公共出行方式，倡导“绿色出行”和“低碳生活”，淮南市建立了公共自行车服务系统为了了解市民使用公共自行车情况，现统计了甲、乙两人五个星期使用公共自行车的次数，统计如下：第一周第二周第三周第四周第五周甲的次数111291112乙的
7、次数9691415(1)分别求出甲乙两人这五个星期使用公共自行车次数的众数和极差；(2)根据有关概率知识，解答下面问题：从甲、乙两人这五个星期使用公共自行车的次数中各随机抽取一个，设抽到甲的使用次数记为 x，抽到乙的使用次数记为 y，用 A 表示满足条件2xy的事件，求事件 A 的概率18.(本小题 12 分)已知cba,分别为 ABC三个内角CBA,的对边，且.32,1,7Aca(1)求b 及 ABC的面积 S.(2)若 D 为 BC 边上一点，且_，求ADB的正弦值.从1AD,6CAD这两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并作答.19.(本小题 12 分)如图，在四棱锥 SABCD 中，
8、底面 ABCD 是矩形，平面 ABCD平面 SBC，SBSC，M 是 BC 的中点，AB1，BC2.(1)求证：AMSD.(2)若3SC，求四棱锥 SABCD 的体积.20.(本小题 12 分)已知点 F 为椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x4y21 与椭圆 E 有且仅有一个交点 M.(1)求椭圆 E 的方程.(2)设直线x4y21 与 y 轴交于 P，过点 P 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A，B，若|PM|2|PA|PB|，求实数的取值范围.文数第页321(本小题 12 分)已知函数 ln11xf xxx(1)判断函
9、数 fx 的单调性；(2)已知0，若存在1,x 时使不等式 1eln0 xxfx成立，求 的取值范围请考生在 22，23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.(本小题 10 分)在极坐标系中，曲线C 的方程044sin222，以极点O 为原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系 xoy，直线0sincos:为参数，ttytxl(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于BA,两点，求OBOA 的取值范围23.(本小题 10 分)已知函数 321xxxf.(1)画出 xfy 的图象；(2)求不等式 1xf的解集13),0(161,141,15哈尔滨市2
10、021-2022 学年度下学期开学考试数学文科答案1-6DAACCB 7-12BACBCD.34 16.nn2113417.(1)甲的众数是 11 和 12，极差是 3；乙的众数是 9，极差是 9；(2)825.【解析】【分析】(1)根据众数、极差的意义直接计算作答.(2)列举出所有可能的结果，再借助古典概率公式计算作答.(1)甲的众数是 11 和 12，极差是 3，乙的众数是 9，极差是 9.(2)从甲乙二人的次数中各随机抽一个，设甲抽到的次数为 x，乙抽到的次数为 y，则所有的,x y 为：11,9，11,6，11,9，11,14，11,15，12,9，12,6，12,9，12,14，12
11、,15，9,9，9,6，9,9，9,14，9,15，11,9，11,6，11,9，11,14，11,15，12,9，12,6，12,9，12,14，12,15，共有 25 个，其中满足条件2xy的事件 A 有：11,9，11,9，12,14，9,9，9,9，11,9，11,9，12,14，共有 8 个，所以事件 A 的概率是 825 19.(1)略（2）32220.(1)由题意，得 a2c，b 3c，则椭圆 E 为 x24c2 y23c21。由x24 y23c2，x4y21，得 x22x43c20。因为直线x4y21 与椭圆 E 有且仅有一个交点 M，所以44(43c2)0c21，所以椭圆 E
12、 的方程为x24 y231。(2)由(1)得 M 1，32，因为直线x4y21 与 y 轴交于 P(0,2)，所以|PM|254，当直线 l 与 x 轴垂直时，|PA|PB|(2 3)(2 3)1，所以|PM|2|PA|PB|45，当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由ykx23x24y2120(34k2)x216kx40，依题意得，x1x2434k2，且48(4k21)0，所以|PA|PB|(1k2)x1x2(1k2)434k21134k254，所以451134k2，因为 k214，所以451。综上所述，的取值范围是45，1。2
13、1.(1)函数 yf x在区间1,上单调递减；(2)1(0,e.【解析】【分析】(1)求出函数 fx 的导数 fx，判断 fx的符号作答.(2)对给定不等式作等价变形，借助(1)脱去法则“f”，分离参数构造函数，再求出函数最值作答.(1)函数()ln1xfxx=-，1x ，求导得：211ln1xxfxx，令 11lng xxx，1x ，则 210 xgxx，即函数 yg x在区间1,单调递减，而 10g，则当1,x 时，(1)0g xg，即 0fx，所以函数 yf x在区间1,上单调递减.(2)当1x 时ln0 x，ln1eln0ee1xxxxxfxfff xx，因0 且1x ，则e1,x ，由(1)知，yf x在1,单调递减，则存在1,x，不等式 lneelnxxxff xxxxx成立，令 ln1xxxx，则 21ln xxx，当1,ex时，0 x，当e,x 时，0 x，因此，函数 x在1,e 上单调递增，在e,上单调递减，max1eex，于是得10e，所以 的取值范围是1(0,e.