1、2022精编复习题（五十六） 离散型随机变量的分布列、均值与方差一般难度题全员必做1某同学在篮球场上进行投篮训练，先投“2分的篮”2次，每次投中的概率为，每投中一次得2分，不中得0分；再投“3分的篮”1次，投中的概率为，投中得3分，不中得0分该同学每次投篮的结果相互独立，假设该同学要完成以上3次投篮(1)求该同学恰有2次投中的概率；(2)求该同学所得分X的分布列和数学期望解：(1)由题可知总共有3次投篮，每次投不中记为0，投中记为1，共有238种情况，其中恰有2次投中的有(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，共3种情况，其发生的概率为P.(2)由题可知得分共有6种情况，X的所有可能取
2、值为0,2,3,4,5,7.X0的情况为(0,0,0)，P(X0)；X2的情况为(1,0,0)，(0,1,0)，P(X2)2；X3的情况为(0,0,1)，P(X3)；X4的情况为(1,1,0)，P(X4)；X5的情况为(1,0,1)(0,1,1)，P(X5)2；X7的情况为(1,1,1)，P(X7).得分X的分布列为X023457 PE(X)023457.2为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名从这8名运动员中随机选择4人参加比赛(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种
3、子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列及均值E(X)解：(1)由已知得，P(A).所以事件A发生的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(Xk)(k1,2,3,4)所以，随机变量X的分布列为X1234PE(X)1234.3(2021湖南湘中名校联考)某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元表示经销一件该商品的利润(1)求事件
4、A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；(2)求的分布列及期望E()解：(1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”，可得表示事件“购买该商品的3位顾客中，无人采用1期付款”又P()(10.4)30.216，故P(A)1P()10.2160.784.(2)的可能取值为200,250,300.P(200)P(1)0.4，P(250)P(2)P(3)0.20.20.4，P(300)P(4)P(5)0.10.10.2.的分布列为200250300P0.40.40.2E()2000.42500.43000.2240.中档难度题学优生做1抛掷甲、乙两
5、枚质地均匀且六个面上分别标有1,2,3,4,5,6的正方体，记上底面上的数字分别为x，y.若a表示a的整数部分，如：2.62，设为随机变量，且.(1)求P(0)；(2)求的分布列，并求其均值E()解：(1)依题意，实数对(x，y)共有36种情况，使0的实数对(x，y)有以下15种情况：(1,2)，(1,3)，(2,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)，(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(1,6)，(2,6)，(3,6)，(4,6)，(5,6)，所以P(0).(2)随机变量的所有可能取值为0,1,2.1的情况有以下18种：(1,1)，(2,1)，(3,1)，(2,2)，(3,2
6、)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(4,4)，(5,4)，(6,4)，(5,5)，(6,5)，(6,6)，所以P(1).2的情况有以下3种：(4,1)，(5,1)，(6,1)，所以P(2).所以的分布列为012P均值E()012.2(2021合肥质检)某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，
7、员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1 000元；若未中奖，则所获得的奖金为0元方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中奖均可获得奖金400元(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列；(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？解：(1)所获资金X的所有可能取值为0,500,1 000.P(X0)，P(X500)，P(X1 000)，某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列为X05001 000P(2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金X的期望E(X)5001 000520，若选择方案乙进行抽奖，中奖次数B，则
8、E()3，抽奖所获奖金X的期望E(X)400E()480，故选择方案甲较划算较高难度题学霸做1某牛奶厂要将一批牛奶用汽车从所在城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且运费由厂商承担若厂商恰能在约定日期(月日)将牛奶送到，则城市乙的销售商一次性支付给牛奶厂20万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给牛奶厂1万元；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给牛奶厂1万元为保证牛奶新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送牛奶，已知下表内的信息：统计信息汽车行驶路线在不堵车的情况下到达城市乙所需时间(天)在堵车的情况下到达城市乙所需时间(天)堵车
9、的概率运费(万元)公路1231.6公路2140.8(1)记汽车选择公路1运送牛奶时牛奶厂获得的毛收入为(单位：万元)，求的分布列和均值E()；(2)选择哪条公路运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多？(注：毛收入销售商支付给牛奶厂的费用运费)解：(1)若汽车走公路1，不堵车时牛奶厂获得的毛收入201.618.4(万元)；堵车时牛奶厂获得的毛收入201.6117.4(万元)，汽车走公路1时牛奶厂获得的毛收入的分布列为18.417.4PE()18.417.418.3(万元)(2)设汽车走公路2时牛奶厂获得的毛收入为，则不堵车时牛奶厂获得的毛收入200.8120.2(万元)；堵车时牛奶厂获得的毛收入
10、200.8217.2(万元)汽车走公路2时牛奶厂获得的毛收入的分布列为20.217.2PE()20.217.218.7(万元)E()E()，选择公路2运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多2(江苏高考)已知一个口袋中有m个白球，n个黑球(m，nN*，n2)，这些球除颜色外完全相同现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3，mn的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k1,2,3，mn).123mn(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(X)是X的数学期望，证明：E(X).解：(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p为：p.(2)证明：随机变量X的概率分布为：XP随机变量X的期望为：