1、试卷第 1页，共 4 页明德中学 2020 年上学期第一次月考高二年级数学试卷2020 年 3 月时量：120 分钟满分：150 分命题：邓朝发审定：王正飞第 I 卷（选择题 共 60 分）一、选择题（本小题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四选项中,只有一项是符合题目要求的）1下列函数中是偶函数的是()A.2 sinyxxB.2 cosyxxC.2 tanyxxD.lnyx2已知,m n 为异面直线，m 平面，n 平面 ，l，则直线l（）A.与,m n 都相交B.至多与,m n 中的一条相交C.与,m n 都不相交D.至少与,m n 中的一条相交3已知 ABC中，若3
2、,abcbasin2 3sinCB，其中内角,A B C 的对边分别为,a b c，则 tan 2A（）A.3B.3C.33D.334若等边 ABC的边长为 1，平面内一点 M 满足1132CMCBCA,则 MA MB()A.29B.13C.49D.595如下图，四边形 EFGH 是以O 为圆心，半径为 1 的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内”，用 B 表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则()P B A A.12B.13C.14D.156已知等差数列 na，满足20192020201920200,.0aaaa，且数列 na的
3、前 n 项和ns 最大值，那么ns取最小正值时，n （）A.4037B.4036C.4035D.40347根据如下样本数据x345678y4.02.50.50.52.03.0得到的回归方程为 ybxa，则()A0a，0b B0a，0b C0a，0b D0a，0b 8社会上有人认为在机动车驾驶技术上，男性优于女性，这是真的么？某社会调查机构与交警合作随机统计了经常开车的 100 名驾驶员最近三个月内是否有交通事故或交通违法事件发生，得到下面的列联表：男女总计无403575有151025总计5545100试卷第 2页，共 4 页附：K2nadbc2abcdacbdP(K2k0)0.500.400.
4、250.150.10k00.4550.7081.3232.0722.706据此表，可得（）.A认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足 50%B认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过 50%C认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过 70%D认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过 60%9如果生男孩和生女孩的概率相等，则有 3 个小孩的家庭中女孩多于男孩的概率为()A.23B.12C.34D.1410体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球 3 次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到 3 次为止设学生一次发球成功的概率为 p(p0)，发球次数为 X，若 X 的数学期望 E(
5、X)1.75，则 p 的取值范围是()A.0，712B.712，1C.0，12D.12，111已知,P Q 为抛物线22xy两点，点,P Q 横坐标分别为4,2，过,P Q 作抛物线的两条切线交于点 A，则点 A 的纵坐标为（）A.1B.3C.4D.812定义在 R 上的可导函数()f x 满足(1)1f，且 2()1fx，当3,22x，不等式23(2cos)2sin 22xfx 的解集为（）A4(,)33B.4(,)33C.(0,)3D.(,)3 3 第 II 卷（非选择题 共 90 分）二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分)13已知,0,235m nmn，则 23
6、mn的最小值为_14随机变量2(,)XN ，22()21()2xf xe满足：(1),()()xR fxfx ；1(2)()2fe,则(12)PX=_附：P(X)0.682 7；P(2X2)0.954 5；P(3X3)0.997 3.15甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队先赢得四场比赛时，该队获胜，决赛结束）根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4:1获胜的概率是_16椭圆1:C22221(0)xyabab与双曲线2:C22221(0,0)xymnmn有相同的焦点，左右焦点分别为
7、12FF、,且在第一象限的交点为 P，椭圆1C 与双曲线2C 离心率分别为12,e e，若1223F PF，2(2,7)e，则1e _.（答案要填区间）试卷第 3页，共 4 页三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，其中 17 题满分 10 分，其余解答题均为 12 分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤)17在ABC中，已知4A，2 5cos5B(1)求cosC；(2)已知 D 是 AB 的中点，2 5BC，求CD 长18已知12,a a 是方程212270 xx两个根，数列 na是递增的等差数列，数列 nb的前 n 项和为nS，且11()2nnSb nN (1)求 ,nnba的
8、通项公式；(2)记nnncab，求数列 nc的前 n 项和nT 19如下图，在直三棱柱111A B CABC中，1,2,4ABAC ABACAA，D 是 BC 的中点.求证：(1)11/A BADC平面；(2)直线11B C 与平面1ADC 所成角的余弦值试卷第 4页，共 4 页20如图，已知椭圆222:1xCya 上顶点为 A,右焦点为 F，直线 AF 与圆22:6270Mxyxy相切，其中1a .(1)求椭圆的方程；(2)不过点 A 的动直线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点，且 APAQ,证明：动直线l 过定点，并且求出该定点坐标21 2019 年 12 月以来，湖北武汉市发现多起病毒性
9、肺炎病例，并迅速在全国范围内开始传播，专家组认为，本次病毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒，该病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染.我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者.已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为 01pp，某位患者在隔离之前，每天有 a 位密切接触者，其中被感染的人数为(),0.aXaNX，假设每位密切接触者不再接触其他患者.（1）求一天内被感染人数为 X 的概率 P X与 a、p 的关系式和随机变量 X 的数学期望；（2）该病毒在进入人体后有 14 天的潜伏期，在这 14 天的潜伏期内患者无任何
10、症状，为病毒传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第二天又有 2 位密切接触者，从某一名患者被感染，按第 1 天算起，第 n天新增患者的数学期望记为)2(nE n.（i）求数列nE的通项公式，并证明数列nE为等比数列；（ii）若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率ln 123 ppp，当 p 取最大值时，计算此时 p 所对应的6E 值和此时 p 对应的6E 值，根据计算结果说明戴口罩的必要性（取10a）（结果保留整数，参考数据：12ln51.6,ln31.1,ln 20.7,0.3,0.733）22已知函数2()2ln()f xxxax aR(1)讨论函数()f x 的单调性；
11、(2)若函数()f x 有两个极值点1212,()x xxx，不等式12()f xmx恒成立，求实数 m 的取值范围2020 年高二数学第一次月考考试参考答案及评分标准一、选择题1B 2.D 3.A 4.A 5.C 6.A 7.A 8.A 9.B 10.C 11.C 12 D10 题解析：2()(1).1(2)2(3)333E XP XP XP Xpp 1()1.75(0,)(1)2E Xpp注11 题解析：利用导数，求出过，的切线方程，之后联立:48,22(1,4)pQlyxlxA 12 题解析：结合条件，构造111()(),()()0222g xf xxg xfx()g xR在 上为增函数
12、，23(2cos)2sin 22xfx 又1(2cos)cos02fxx,(2cos)(1)0,2cos1gxgx从而(,)3 3xx 结合题目中 的范围，所以二、填空题 13 514.0.135915.0.1816.7 2 5(,)33三、解答题17.解析(1)10coscos()(coscossinsin)10CABABAB 5 分(2)3 10(1)sin10C 由知，另外由正弦定理：6sinsinBCABABAC7 分22210(2 5)32(2 5)(3)()5,510BCDCD中，由余弦定理：CD10 分18.解析：(1)253.92,21.3naadan分当-1-11121122
13、nnnnnsbsb 时，由得，从而11111223nnnnnbbbbb1221,33nnnbb时，6 分(2)由（1），可知4222,233nnnnnncT.12 分（酌情给分）19.解析：略(1)6 分(2)13 12 分20 解析：(1)2213xy 4 分(2)证明：,0APAQAP AQ.易知直线 AP 与坐标轴不垂直，设:1AP ykx，1:1AQ yxk 将1ykx 代入椭圆 C 的方程，整理得：22(1 3)60kxkx，从而：2266(,1)1 31 3kkPkk，从而同理，把 k 用1k代，得到2263(,)33kkQkk，所以214PQkKk，从而2111(0,).1242
14、2kPQyxk方程为：，过定点分21.解析：（1）()(1)XXa XaP XC pp；EXap.（2）（i）2(1)nnEapap，证明见解析；（ii）16，6480，戴口罩很有必要.【分析】（1）由题意，被感染人数服从二项分布：(,)XB a p，则可求出概率及数学期望；（2）（i）根据第n 天被感染人数为1(1)nap，及第1n 天被感染人数为2(1)nap，作差可得可得，122(1)(1)(1)nnnnEapapapap，可证，（ii）利用导数计算此时 p 所对应的6E 值和此时 p 对应的6E 值，根据计算结果说明戴口罩的必要性.【详解】：（1）由题意，被感染人数服从二项分布：(,)
15、XB a p，则()(1)XXa XaP XC pp,(0)Xa，X 的数学期望 EXap.4 分（2）（i）第n 天被感染人数为1(1)nap，第1n 天被感染人数为2(1)nap，由题目中均值的定义可知，122(1)(1)(1)nnnnEapapapap则11nnEapE ，且2Eap.nE是以 ap 为首项，1ap为公比的等比数列.6分（ii）令2()ln(1)3f ppp，则1221()133(1)pfppp.()f p在1(0,)2 上单调递增，在 1(,1)2上单调递减.max1311()()lnln3ln 21.1 0.70.30.12233f pf.则当10a，210(1 10
16、)nnEpp.4610 0.1(1 10 0.1)=16E .4610 0.5(1 10 0.5)=6480E.66EE戴口罩很有必要.12 分22 解析：(1)222()22(0)axxafxxxxx 114 80,()0,()2aafxf x 时，单调增；124 80,2aa 时，即1211-1-211 2()0=,(0)22aafxxxx由0,a 若由2()0;fxxx由2()00;fxxx()f x在2(0,)x单调递增，在2(,)x 单调递减1210,0,02axx若由21()00;fxxxxx或者由21()0;fxxxx()f x在12(0,),(,)xx 单调递增，在12(,)x x单调递减.6 分(2)因为函数 f(x)有两个极值点，从而由(1)可知：121 210,1,22aaxxx x1122()()f xf xmxmx 21111111221()2ln112ln1f xxxaxmxxxxxx 容易知：11(0,)2x，设函数11()12 ln(0)12g xxxxxx 从而22111()122ln12ln0(0)(1)(1)2g xxxxxx 1()(0,)2g x在区间单调递减，所以13()()ln222g xg，所以 m的取值范围为3ln 22（-,-.12 分