1、2016-2017学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知全集U=R，集合A=x|x或x1，B=x|1x2，xZ，则图中阴影部分所表示的集合等于（）A1，2B1，0C0，1D1，22给定下列两个命题：p1：a，bR，a2ab+b20；p2：在三角形ABC中，AB，则sinAsinB则下列命题中的真命题为（）Ap1Bp1p2Cp1（p2）D（p1）p23在等差数列an中，已知a5+a10=12，则3a7+a9等于（）A30B24C18D124圆x2+y22x8y+13=0的圆心到直线
2、ax+y1=0的距离为1，则a=（）ABCD25已知，是两个平面，直线l，则“”是“l”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不要条件6平面四边形ABCD中，则四边形ABCD是（）A矩形B菱形C正方形D梯形7若x，y满足，则z=2x+y的最小值是（）AB8CD58若函数f（x）=x2+x+1在区间（，3）上单调递减，则实数a的取值范围为（）A（，）B（，+）C，+）D2，+）9将函数f（x）=sin（2x+）（）的图象向右平移（0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则的值为（）ABCD10函数f（x）=|2xlogx|1的零
3、点个数为（）A1B2C3D4二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11函数y=log2（x22x3）的定义域为12已知x0，y0，lg2x+lg8y=lg2，则+的最小值是13ABC是边长为2的正三角形，已知向量，满足=2， =2+，给出下列四个结论|=1，=1（4+）其中正确结论的序号是14（文）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是15定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1，f（x）为f（x）的导函数，已知函数y=f（x）的图象如图所示若两正数a，b满足f（2a+b）1，则的取值范围是三、解答题（本大题共6小题，满分75分）16已知f（x）=cosx（msinxco
4、sx）+sin2（+x）（m0）的最小值为2（）求函数f（x）的单调递增区间；（）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA=2ccosAacosB，求f（C）的取值范围17在四棱锥ABCDE中，底面BCDE为菱形，侧面ABE为等边三角形，且侧面ABE底面BCDE，O，F分别为BE，DE的中点，点P在AC上，且AP=AC（）求证：平面ACE平面AOF；（）求证：BP平面AOF18设正项数列an的前n项和为Sn，满足Sn+1=a2Sn+a1，S3=14（）求数列an的通项公式；（）设bn=an1，求+19已知一家电子公司生产某种电子产品的月固定成本为20万元，每生产1千件需另
5、投入5.4万元，设该公司一月内生产该电子产品x千件能全部销售完，每千件的销售收入为g（x）万元，且g（x）=（）写出月利润y（万元）关于月产量x（千件）的函数解析式；（）月产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获利润最大？并求出最大利润20已知函数f（x）=ex+mx3，曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为y=2（）求函数f（x）的单调区间；（）当x0时，若不等式（tx）ext+2恒成立，求实数t的最大整数值21已知椭圆E： +=1（ab0）的一个焦点与短轴的两个端点构成一个面积为1的直角三角形（）求椭圆E的方程（）设过点M（0，t）（t0）的直线l与椭圆E相交于A、B两点，
6、点M关于原点的对称点为N，若点N总在以线段AB为直径的圆内，求t的取值范围2016-2017学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知全集U=R，集合A=x|x或x1，B=x|1x2，xZ，则图中阴影部分所表示的集合等于（）A1，2B1，0C0，1D1，2【考点】Venn图表达集合的关系及运算【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为B（UA），然后根据集合的基本运算即可【解答】解：A=x|x或x1，全集U=R，UA=x|x1，B=1，0，1，2，由图象可知阴影部分对应
7、的集合为B（UA）=0，1故选：C2给定下列两个命题：p1：a，bR，a2ab+b20；p2：在三角形ABC中，AB，则sinAsinB则下列命题中的真命题为（）Ap1Bp1p2Cp1（p2）D（p1）p2【考点】复合命题的真假【分析】根据条件分别判断两个命题的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可【解答】解：a2ab+b2=（ab）2+b20，a，bR，a2ab+b20不成立，即命题p1为假命题在三角形ABC中，若AB，则ab，由正弦定理得sinAsinB成立，即命题p2为真命题则（p1）p2为真命题，其余为假命题，故选：D3在等差数列an中，已知a5+a10=12，则3a7+a9等于（）A
8、30B24C18D12【考点】等差数列的通项公式【分析】由等差数列的性质得2a1+13d=12，再由3a7+a9=4a1+26d，能求出结果【解答】解：等差数列an中，a5+a10=12，2a1+13d=12，3a7+a9=4a1+26d=2（2a1+13d）=24故选：B4圆x2+y22x8y+13=0的圆心到直线ax+y1=0的距离为1，则a=（）ABCD2【考点】圆的一般方程；点到直线的距离公式【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案【解答】解：圆x2+y22x8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y1=0的距离d=1，解得：a=，故选：A5已知，是两个平
9、面，直线l，则“”是“l”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】利用面面垂直的判定定理即可判断出结论【解答】解：l，直线l，反之不成立“”是“l”的必要不充分条件故选：C6平面四边形ABCD中，则四边形ABCD是（）A矩形B菱形C正方形D梯形【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算【分析】根据，得线段AB、CD平行且相等，所以四边形ABCD是平行四边形再由，得对角线AC、BD互相垂直，即可得到四边形ABCD是菱形【解答】解：，即，可得线段AB、CD平行且相等四边形ABCD是平行四边形又，即，四边形ABCD的
10、对角线互相垂直因此四边形ABCD是菱形故选：B7若x，y满足，则z=2x+y的最小值是（）AB8CD5【考点】简单线性规划【分析】画出满足约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，判断目标函数经过的点，可得最优解【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示：目标函数z=2x+y，平移目标函数，当目标函数经过可行域的点A时，取得最小值，可得A（2，1）故在A（2，1）处目标函数达到最小值：5故选：D8若函数f（x）=x2+x+1在区间（，3）上单调递减，则实数a的取值范围为（）A（，）B（，+）C，+）D2，+）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】求出函数f（x）的导数，问题转化为ax+在（，
11、3）恒成立，令g（x）=x+，x（，3），根据函数的单调性求出a的范围即可【解答】解：函数f（x）=x2+x+1，f（x）=x2ax+1，若函数f（x）在区间（，3）上递减，故x2ax+10在（，3）恒成立，即ax+在（，3）恒成立，令g（x）=x+，x（，3），g（x）=，令g（x）0，解得：x1，令g（x）0，解得：x1，g（x）在（，1）递减，在（1，3）递增，而g（）=，g（3）=，故a故选：C9将函数f（x）=sin（2x+）（）的图象向右平移（0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则的值为（）ABCD【考点】函数y=Asin（x+）的
12、图象变换【分析】根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+）（）的图象向右平移（0）个单位长度后，得到函数g（x）=sin2（x）+=sin（2x2+）的图象，由于f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），sin=，sin（2+）=，=，2+=，=，故选：D10函数f（x）=|2xlogx|1的零点个数为（）A1B2C3D4【考点】函数零点的判定定理【分析】由f（x）=0，转化为老公函数的交点，作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论【解答】解：f（x）=|2xlogx|1，由f（x）=0得|=2x，作出y=|，y=2x的图象，由图象可
13、知两个图象的交点个数为2个，故选：B二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11函数y=log2（x22x3）的定义域为（3，+）（，1）【考点】对数函数的定义域【分析】根据对数的定义得到负数和0没有对数得到一个一元二次不等式，求出解集即可得到函数的定义域【解答】解：由题意得：x22x30即（x3）（x+1）0x3或x1函数y=log2（x22x3）的定义域为（3，+）（，1）故答案为（3，+）（，1）12已知x0，y0，lg2x+lg8y=lg2，则+的最小值是4【考点】基本不等式在最值问题中的应用；对数的运算性质【分析】由对数的运算性质，lg2x+lg8y=lg2x+lg23y
14、=（x+3y）lg2，结合题意可得，x+3y=1；再利用1的代换结合基本不等式求解即可【解答】解：lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，又由lg2x+lg8y=lg2，则x+3y=1，进而由基本不等式的性质可得，=（x+3y）（）=2+2+2=4， 当且仅当x=3y时取等号，故答案为：413ABC是边长为2的正三角形，已知向量，满足=2， =2+，给出下列四个结论|=1，=1（4+）其中正确结论的序号是【考点】平面向量数量积的运算【分析】先画出图形，由条件即可得出，从而判断出错误，求得，进行数量积的运算即可求出的值，然后可求得，这样即可判断正确【解答】解：如图，根据条件
15、：；，；=；正确的序号为：故答案为：14（文）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是80【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知该几何体为上部是一四棱锥，高为3，下部为正方体，边长为4的组合体分别求得体积再相加【解答】解：由三视图可知该几何体为上部是一四棱锥，下部为正方体的组合体四棱锥的高h1=3，正方体棱长为4V正方体=Sh2=424=64V四棱锥=Sh1=16所以V=64+16=80故答案为：8015定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1，f（x）为f（x）的导函数，已知函数y=f（x）的图象如图所示若两正数a，b满足f（2a+b）1，则的取值范围是【考点】简单线性规划的
16、应用；导数的运算；利用导数研究函数的单调性【分析】先根据导函数的图象判断原函数的单调性，从而确定a、b的范围，最后利用不等式的性质得到答案【解答】解：由图可知，当x0时，导函数f（x）0，原函数单调递增，两正数a，b满足f（2a+b）1，又由f（4）=1，即f（2a+b）4，即2a+b4，又由a0b0；点（a，b）的区域为图中阴影部分，不包括边界，的几何意义是区域的点与A（2，2）连线的斜率，直线AB，AC的斜率分别是，3；则（，3）；故答案为：（）三、解答题（本大题共6小题，满分75分）16已知f（x）=cosx（msinxcosx）+sin2（+x）（m0）的最小值为2（）求函数f（x）的
17、单调递增区间；（）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA=2ccosAacosB，求f（C）的取值范围【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用【分析】（）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为f（x）=sin（2x），其中tan=，由其最小值为2，可得m，进而可求，求得函数解析式，利用正弦函数的单调性即可得解（）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinC=2sinCcosA，结合sinC0，可求A=，由范围C（0，），可得2C的范围，利用正弦函数的性质即可得解【解答】（本题满分为12分）解：（）f（x）=cosx（msinxcosx）+sin2（+x
18、）=msinxcosxcos2x+sin2x=msin2xcos2x=sin（2x），其中tan=，由其最小值为2，可得： =2，解得：m2=12，m0，可得：m=2，tan=，=，f（x）=2sin（2x），令2k2x2k+，kZ，解得：kxk+，kZ，函数f（x）的单调递增区间为：k，k+，kZ6分（）bcosA=2ccosAacosB，即bcosA+acosB=2ccosA，由正弦定理可得sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosA，可得：sinC=2sinCcosA，C为三角形内角，sinC0，cosA=，可得A=，C（0，），可得：2C（，），sin（2C）（，1，f（C）
19、=2sin（2C）（1，212分17在四棱锥ABCDE中，底面BCDE为菱形，侧面ABE为等边三角形，且侧面ABE底面BCDE，O，F分别为BE，DE的中点，点P在AC上，且AP=AC（）求证：平面ACE平面AOF；（）求证：BP平面AOF【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定【分析】（I）连结BD，由菱形性质得出CEBD，又AO平面BCDE，故AOCE，由中位线性质得BDEF，故而CE平面AOF，所以平面AOF平面ACE；（）设CE 与BD，OF 的交点分别为M，N，连结AN，PM则当平面BPM平面AOF时，BP平面AOF【解答】证明：（）连结BD，因为四边形BCDE 为菱形，所
20、以CEBD因为O，F 分别为BE，DE 的中点，所以OFBD，所以CEOF由（）可知，AO平面BCDE因为CE平面BCDE，所以AOCE因为AOOF=O，所以CE平面AOF又因为CE平面ACE，所以平面AOF平面ACE（）设CE 与BD，OF 的交点分别为M，N，连结AN，PM因为四边形BCDE 为菱形，O，F 分别为BE，DE 的中点，所以=设P为AC上靠近A点的三等分点，则=，所以PMAN因为AN平面AOF，PM平面AOF，所以PM平面AOF由于BDOF，OF平面AOF，BD平面AOF，所以BD平面AOF，即BM平面AOF因为BMPM=M，所以平面BMP平面AOF因为BP平面BMP，所以B
21、P平面AOF18设正项数列an的前n项和为Sn，满足Sn+1=a2Sn+a1，S3=14（）求数列an的通项公式；（）设bn=an1，求+【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（I）Sn+1=a2Sn+a1，S3=14可得n=1时，a1+a2=+a1，a20，解得a1n=2时，2+a2+a3=+2=14，解得a2，可得Sn+1=2Sn+2，利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出（II）bn=an1=2n1，可得=利用“裂项求和”方法即可得出【解答】解：（I）Sn+1=a2Sn+a1，S3=14n=1时，a1+a2=+a1，a20，解得a1=2n=2时，2+a2+a3=+2=14，解得a2=4
22、，Sn+1=2Sn+2，n2时，Sn=2Sn1+2，可得：an+1=2an（n=1时也成立）数列an是等比数列，首项与公比都为2，an=2n（II）bn=an1=2n1，=+=+=119已知一家电子公司生产某种电子产品的月固定成本为20万元，每生产1千件需另投入5.4万元，设该公司一月内生产该电子产品x千件能全部销售完，每千件的销售收入为g（x）万元，且g（x）=（）写出月利润y（万元）关于月产量x（千件）的函数解析式；（）月产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获利润最大？并求出最大利润【考点】函数模型的选择与应用【分析】（）根据年利润=年销售收入年总成本，可得年利润y（万元）关于年产
23、量x（万件）的函数关系式；（）由（）的解析式，我们求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到结果【解答】解：（）当0x10时，y=x（13.5x2）205.4x=8.1xx320，当x10时，y=（）x205.4x=1482（+2.7x），y=，（）当0x10时，y=8.1x2，令y=0可得x=9，x（0，9）时，y0；x（9，10时，y0，x=9时，ymax=28.6万元；当x10时，y=1482（+2.7x）148120=22（万元）（当且仅当x=时取等号）综合知：当x=9时，y取最大值故当年产量为9万件时，服装厂在这一高科技电子产品的生产
24、中获年利润最大20已知函数f（x）=ex+mx3，曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为y=2（）求函数f（x）的单调区间；（）当x0时，若不等式（tx）ext+2恒成立，求实数t的最大整数值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）由条件，曲线在（0，f（0）处的切线斜率k=0，即f（0）=1+a=0，可得a=1，f（x）=ex1，再通过解不等式即可求出单调区间；（）利用转化思想，x0时，不等式（mx）exm+2等价于t，然后构造新函数，记g（x），根据（1）的结论可得存在x0（1，2），使得g（x0）=0，且g（x）min=g（x0），再通过化简运
25、算可得g（x）min=x0+1，由x0（1，2），即可求出t的最大整数值【解答】解：（）函数f（x）的定义域为（，+），f（x）=ex+m，由条件，f（0）=1+m=0，得m=1，则f（x）=ex1由f（x）=ex10得x0，由f（x）0得x0，故函数f（x）的单调递增区间为（0，+），单调递减区间为（，0）（）x0时，不等式（tx）ext+2等价于：t，令g（x）=，g（x）=，由（1）得u（x）=exx3在（0，+）上单调递增，又u（1）0，u（2）0，g（x）在（0，+）上有唯一零点x0，且1x02，当x（1，x0）时，g（x）0，当x（x0+）时，g（x）0，g（x）min=g（x0）
26、，由g（x0）=0得ex0=x0+3，g（x）min=g（x0）=x0+1，1x02，2g（x0）3，tg（x0），t的最大整数值为221已知椭圆E： +=1（ab0）的一个焦点与短轴的两个端点构成一个面积为1的直角三角形（）求椭圆E的方程（）设过点M（0，t）（t0）的直线l与椭圆E相交于A、B两点，点M关于原点的对称点为N，若点N总在以线段AB为直径的圆内，求t的取值范围【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由题意列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆E的方程；（2）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=0，|AB|=2，点M在椭圆内，由，得（2k2+1）x2+4ktx+2t22=0，由此利用
27、根的判别式、韦达定理、弦长公式、由此能求出t的取值范围【解答】解：（1）由题意，解得a=，b=c=1椭圆E的方程为；（2）当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为x=0，此时，A，B为椭圆的上下顶点，且|AB|=2，点N总在以线段AB为直径的圆内，且t0，0t1，点M在椭圆内，由方程组，得（2k2+1）x2+4ktx+2t22=0，直线l与椭圆E有两个公共点，=（4kt）24（2k2+1）（2t22）0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，设AB的中点G（x0，y0），则=，G（，），|NG|=，|AB|=2，点N总位于以线段AB为直径的圆内，|NG|对于kR恒成立，化简，得2t2k4+7t2k2+3t22k4+3k2+1，整理，得t2，而g（k）=11=，当且仅当k=0时，等号成立，t2，由t0，解得0t，t的取值范围是（0，）2017年2月27日