1、2022精编复习题（二十五） 平面向量基本定理及坐标表示小题对点练点点落实对点练(一)平面向量基本定理1(2021珠海一模)如图，设O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，给出下列向量组：与；与；与；与.其中可作为该平面内其他向量的基底的是()AB CD解析：选B中，不共线；中，不共线中的两向量共线，因为平面内两个不共线的非零向量构成一组基底，所以选B.2(2021山西太原质检)在ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，则的值为()A. B. C.D1解析：选A设t，则()()，故选A.3(2021湖南四大名校联考)在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE
2、的延长线与CD交于点F.若a，b，则()A.ab B.abC.abD.ab解析：选C如图，根据题意，得(ab)，(ab)令t，则t()tab.由，令s，又(ab)，ab，所以ab，所以解方程组得把s代入即可得到ab，故选C.4(2021山东潍坊一模)若M是ABC内一点，且满足4，则ABM与ACM的面积之比为()A. B. C.D2解析：选A设AC的中点为D，则2，于是24，从而2，即M为BD的中点，于是.5(2021湖北黄石质检)已知点G是ABC的重心，过G作一条直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且x，y，则的值为()A. B. C2D3解析：选B由已知得M，G，N三点共线，(1)x(1
3、)y.点G是ABC的重心，()()，即得1，即3，通分变形得，3，.对点练(二)平面向量的坐标表示1(2021福州一模)已知向量a(2,4)，b(1,1)，则2ab()A(5,7)B(5,9) C(3,7)D(3,9)解析：选D2ab2(2,4)(1,1)(3,9)，故选D.2(2021河北联考)已知平面向量a(1,2)，b(2，m)，若ab，则2a3b()A(5，10)B(2，4)C(3，6)D(4，8)解析：选D由ab，得m40，即m4，所以2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8)3(2021吉林白城模拟)已知向量a(2,3)，b(1,2)，若manb与a2b共线，则()A.B2 CD2
4、解析：选C由向量a(2,3)，b(1,2)，得manb(2mn,3m2n)，a2b(4，1)由manb与a2b共线，得，所以，故选C.4(2021河南六市联考)已知点A(1,3)，B(4，1)，则与同方向的单位向量是()A. B.C.D.解析：选A因为(3，4)，所以与同方向的单位向量为.5设向量a(1，3)，b(2,4)，c(1，2)，若表示向量4a,4b2c,2(ac)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d()A(2,6)B(2,6)C(2，6)D(2，6)解析：选D设d(x，y)，由题意知4a(4，12)，4b2c(6,20)，2(ac)(4，2)，又4a4b2c2(ac)d0，所
5、以(4，12)(6,20)(4，2)(x，y)(0,0)，解得x2，y6，所以d(2，6)6(2021南昌二模)已知在平面直角坐标系xOy中，P1(3,1)，P2(1,3)，P1，P2，P3三点共线且向量与向量a(1，1)共线，若(1) ，则()A3B3C1D1解析：选D设(x，y)，则由a知xy0，于是(x，x)若(1)，则有(x，x)(3,1)(1)(1,3)(41,32)，即所以41320，解得1，故选D.7(2021河南中原名校联考)已知a(1,3)，b(m,2m3)，平面上任意向量c都可以唯一地表示为cab(，R)，则实数m的取值范围是()A(，0)(0，)B(，3)C(，3)(3，
6、)D3,3)解析：选C根据平面向量基本定理，得向量a，b不共线，a(1,3)，b(m,2m3)，2m33m0，m3.故选C.大题综合练迁移贯通1(2021皖南八校模拟)如图，AOB，动点A1，A2与B1，B2分别在射线OA，OB上，且线段A1A2的长为1，线段B1B2的长为2，点M，N分别是线段A1B1，A2B2的中点(1)用向量与表示向量；(2)求向量的模解：(1)，两式相加，并注意到点M，N分别是线段A1B1，A2B2的中点，得()(2)由已知可得向量与的模分别为1与2，夹角为，所以1，由()得| .2已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，设a，b，c，有3c， 2b，求：(1)3
7、ab3c；(2)满足ambnc的实数m，n；(3)M，N的坐标及向量的坐标解：由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)，(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得(3)设O为坐标原点，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)，M的坐标为(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N的坐标为(9,2)故(90，220)(9，18)3已知三点A(a,0)，B(0，b)，C(2,2)，其中a0，b0.(1)若O是坐标原点，且四边形OACB是平行四边形，试求a，b的值；(2)若A，B，C三点共线，试求ab的最小值解：(1)因为四边形OACB是平行四边形，所以，即(a，0)(2,2b)，解得(2)因为(a，b)，(2,2b)，由A，B，C三点共线，得，所以a(2b)2b0，即2(ab)ab，因为a0，b0，所以2(ab)ab2，即(ab)28(ab)0，解得ab8或ab0.因为a0，b0，所以ab8，即当且仅当ab4时，ab取最小值为8.