1、课时作业(二十三)1已知实数x，y满足1(a0，b0)，则下列不等式中恒成立的是()A|y|x|C|y|x Dy0，b0)，其图象为双曲线，当x0时，yx；当x0时，yx，则y|x|，所以y0为常数，动点M(x，y)(y0)分别与两定点F1(a，0)，F2(a，0)的连线的斜率之积为定值，若点M的轨迹是离心率为的双曲线，则的值为()A2 B2C3 D.答案A解析点M的轨迹方程为，整理得1(0)，c2a2(1)，13，2.故选A.3如图，已知椭圆1(ab0)长轴长为4，离心率为.过点(0，2)的直线l交椭圆于A，B两点，交x轴于P点，点A关于x轴的对称点为C，直线BC交x轴于Q点(1)求椭圆方程
2、；(2)探究：|OP|OQ|是否为常数？解析(1)由题意得解得a2，b，c1，所以椭圆方程为1.(2)直线l方程为ykx2，则P的坐标为(，0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(x1，y1)，直线BC方程为，令y0，得Q的横坐标为x.由得(34k2)x216kx40，得代入得x2k，得|OP|OQ|xPxQ|2k4.|OP|OQ|为常数4.4已知点B(1，0)，C(1，0)，P是平面上一动点，且满足|.(1)求点P的轨迹C的方程；(2)已知点A(m，2)在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且ADAE，判断：直线DE是否过定点？试证明你的结论解析(1)设P(x，y)，代入|，
3、得1x，化简得y24x.(2)将A(m，2)代入y24x，得m1.点A的坐标为(1，2)设直线DE的方程为xmyt代入y24x，得y24my4t0.设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则y1y24m，y1y24t，(4m)216t0.(*)(x11)(x21)(y12)(y22)x1x2(x1x2)1y1y22(y1y2)4()y1y22(y1y2)5y1y22(y1y2)5(4t)2(4m)50.化简得t26t94m28m4，即(t3)24(m1)2，t32(m1)t2m5或t2m1，代入(*)式检验知只有t2m5满足0.直线DE的方程为xm(y2)5.直线DE过定点(5，2)5.如图，已
4、知椭圆1的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4(1)一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A，B和C，D.(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，证明k1k21；(3)是否存在常数，使得|AB|CD|AB|CD|恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由解析(1)由题意知，椭圆离心率为，得ac，又2a2c4(1)，可解得a2，c2，所以b2a2c24，所以椭圆的标准方程为1，所以椭圆的焦点坐标为(2，0)，因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的
5、焦点，所以该双曲线的标准方程为1.(2)证明：设点P(x0，y0)，则k1，k2，所以k1k2.又点P(x0，y0)在双曲线上，所以有1，即y02x024，所以k1k21.(3)假设存在常数，使得|AB|CD|AB|CD|恒成立，则由(2)知k1k21，所以设直线AB的方程为yk(x2)，则直线CD的方程为y(x2)由方程组消去y，得(2k21)x28k2x8k280，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由韦达定理，得x1x2，x1x2.所以|AB|.同理可得|CD|.又因为|AB|CD|AB|CD|，所以有.所以存在常数，使得|AB|CD|AB|CD|恒成立6已知椭圆C：1(ab0)的离
6、心率为，点(2，)在C上(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值解析(1)由解得a28，b24，故椭圆C的方程为1.(2)证明：由题设直线l：ykxm(k0，m0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(12k2)x24kmx2m280，x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)2m，得AB中点M(，)，则直线OM与直线l斜率乘积为kk，即为定值1椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.(1)求椭圆C的方程；(2)
7、点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2.设F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m，0)，求m的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2.若k0，试证明为定值，并求出这个定值解析(1)由于c2a2b2，将xc代入椭圆方程1，得y，由题意知1，即a2b2.又e，所以a2，b1.所以椭圆C的方程为y21.(2)设P(x0，y0)(y00)又F1(，0)，F2(，0)，所以直线PF1，PF2的方程分别为lPF1：y0x(x0)yy00，lPF2：y0x(x0)yy00.由题意知.由于点P
8、在椭圆上，所以y021，所以.因为m，2x02，可得.所以mx0.因此m.(3)证明：设P(x0，y0)(y00)，则直线l的方程为yy0k(xx0)联立整理得(14k2)x28(ky0k2x0)x4(y022kx0y0k2x021)0.由题意知0，即(4x02)k22x0y0k1y020.又y021，所以16y02k28x0y0kx020，故k.由(2)知，所以()()8.因此为定值，这个定值为8.2设椭圆E：1的焦点在x轴上(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1PF1Q.证明：当a变
9、化时，点P在某定直线上解析(1)因为焦距为1，所以2a21，解得a2.故椭圆E的方程为1.(2)证明：设P(x0，y0)，F1(c，0)，F2(c，0)，其中c.由题设知x0c，则直线F1P的斜率kF1P，直线F2P的斜率kF2P.故直线F2P的方程为y(xc)当x0时，y，即点Q坐标为(0，)因此，直线F1Q的斜率为kF1Q.由于F1PF1Q，所以kF1PkF1Q1.化简得y02x02(2a21)将代入椭圆E的方程，由于点P(x0，y0)在第一象限，解得x0a2，y01a2，即点P在定直线xy1上3已知A，B，C是椭圆W：y21上的三个点，O是坐标原点(1)当点B是W的右顶点，且四边形OAB
10、C为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由解析(1)椭圆W：y21的右顶点B的坐标为(2，0)因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分所以可设A(1，m)，代入椭圆方程得m21，即m.所以菱形OABC的面积是|OB|AC|22|m|.(2)四边形OABC不可能为菱形，理由如下：假设四边形OABC为菱形因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为ykxm(k0，m0)由消去y并整理，得(14k2)x28kmx4m240.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则，km.所以AC的中点为M(，)因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为.因为k()1，所以AC与OB不垂直所以OABC不是菱形，与假设矛盾所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形