1、山东省泰安市2015届高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知全集U=1，2，3，4，5，A=1，2，5，B=2，3，5，则（UA）B等于（）A2，3B2，5C3D2，3，52（5分）设复数z1=1+i，z2=2+xi（xR），若z1z2R，则x=（）A2-B1-C1D23（5分）以下三个命题中：从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；老张身高176cm，他爷爷、父亲、儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm，因儿子的身
2、高与父亲的身高有关，用回归分析的方法得到的回归方程为，则预计老张的孙子的身高为180cm；设样本数据x1，x2，x10的均值和方差均为2，若yi=xi+m（m为非零实数，i=1，2，10）的均值和方差分别为22+m，2（）A0B1C2D34（5分）设命题p：若|=|=，且与的夹角是，则向量在方向上的投影是1；命题q：“x1”是“1”的充分不必要条件，下列判断正确的是（）Apq是假命题Bpq是真命题Cpq是真命题Dq为真命题5（5分）在平面直角坐标系xOy中，设直线l：kxy+1=0与圆C：x2+y2=4相交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAMB，若点M在圆C上，则实数k等于（）A
3、1B2C0D16（5分）函数的图象大致是（）ABCD7（5分）如图，A，B分别是射线OM，ON上的两点，给出下列向量：+2；+；+；+；，若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内（包括边界）的有（）ABCD8（5分）将函数f（x）=sinxcosx的图象向左平移个长度单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的单调递增区间是（）ABCD9（5分）已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则该椎体的俯视图可以是（）ABCD10（5分）已知函数f（x）=x4cosx+mx2+x（mR），若导函数f（x）在区间2，2上有最大值10，则导函数f（x）在区间2，2上的最小值为（）A12B10C8D6二
4、、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸的相应位置.11（5分）设抛物线上的一点P到x轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离为12（5分）若，则sin（+）=13（5分）在区间1，1上随机取一个数x，则sin的值介于与之间的概率为14（5分）已知a0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为0，则a=15（5分）某程序框图如图所示，则输出的S=三、解答题：本大题共6个小题满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.16（12分）已知a，b，c是ABC对边，且a+b=csinA+ccosA，为BC的中点，且AD=2
5、，求ABC最大值17（12分）口袋中有6个小球，其中4个红球，2个白球，从袋中任取2个小球（I）求所取2个小球都是红球的概率；（）求所取2个小球颜色不相同的概率18（12分）已知数列an，bn的各项均为正数，且对任意nN*，都有bn，an，bn+1成等差数列an，bn+1，an+1成等比数列，且b1=6，b2=12（I）求证：数列是等差数列；（）求an，bn19（12分）如图，三棱锥PABC中，PA底面ABC，D是AB的中点，AB=2DC，E是PA的中点，F是ACD的重心（I）求证：BC平面PAC；（II）求证：EF平面PBC20（13分）已知函数f（x）=ex+mx2，g（x）=mx+lnx
6、（I）求函数f（x）的单调区间；（II）当m=1时，试推断方程：是否有实数解21（14分）若双曲线y2=1过椭圆C：+=1（ab0）的焦点，且它们的离心率互为倒数（I）求椭圆C的标准方程；（）如图，椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2点M（1，0）的直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线A1P与A2Q的斜率别为k1，k2试问，是否存在实数m，使得k1+mk2=0？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由山东省泰安市2015届高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知全集U=1，2，
7、3，4，5，A=1，2，5，B=2，3，5，则（UA）B等于（）A2，3B2，5C3D2，3，5考点：交、并、补集的混合运算 专题：集合分析：直接利用补集与交集的运算得答案解答：解：U=1，2，3，4，5，A=1，2，5，UA=3，4，又B=2，3，5，（UA）B=3，42，3，5=3故选：C点评：本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础的计算题2（5分）设复数z1=1+i，z2=2+xi（xR），若z1z2R，则x=（）A2-B1-C1D2考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：直接由复数代数形式的乘法运算化简复数z1z2，然后由虚部为0即可求出x的值解答：解：z1z2=（
8、1+i）（2+xi）=2x+（2+x）i，z1z2R，2+x=0即x=2故选：A点评：本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题3（5分）以下三个命题中：从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；老张身高176cm，他爷爷、父亲、儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm，因儿子的身高与父亲的身高有关，用回归分析的方法得到的回归方程为，则预计老张的孙子的身高为180cm；设样本数据x1，x2，x10的均值和方差均为2，若yi=xi+m（m为非零实数，i=1，2，10）的均值和方差分别为22+m，2（）A0
9、B1C2D3考点：回归分析的初步应用 专题：应用题；概率与统计分析：根据抽样方法的定义和特点即可判断；求出线性回归方程，可得结论；利用均值和方差的公式即可判断出正误解答：解：由抽样方法的定义可知为系统抽样，故错；=173，=176，b=1，a=3，得线性回归方程y=x+3，当x=182时，y=185，故不正确；设样本数据x1，x2，x10的均值和方差均为2，若yi=xi+m（m为非零实数，i=1，2，10）的均值和方差分别为2+m，2，故不正确，故选：A点评：本题考查了两个随机变量的线性相关性、抽样方法、均值和方差，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4（5分）设命题p：若|=|=，且与的夹角
10、是，则向量在方向上的投影是1；命题q：“x1”是“1”的充分不必要条件，下列判断正确的是（）Apq是假命题Bpq是真命题Cpq是真命题Dq为真命题考点：复合命题的真假 专题：简易逻辑分析：首先利用向量的数量积判断出命题p是真命题，进一步判断出命题q是假命题，最后判断出结论解答：解：命题p：若|=|=，且与的夹角是，则向量在方向上的投影是|cos=1所以：命题P是假命题命题q：“x1”可以得到：“1”，但的解集是：x|x1或x0所以：“x1”是“1”的充分不必要条件所以：命题q是真命题所以pq是真命题故选：C点评：本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，四种命题的应用，简易逻辑中且是命题和或是命
11、题的应用5（5分）在平面直角坐标系xOy中，设直线l：kxy+1=0与圆C：x2+y2=4相交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAMB，若点M在圆C上，则实数k等于（）A1B2C0D1考点：直线与圆相交的性质 专题：直线与圆分析：由已知得四边形OAMB为菱形，弦AB的长为2，又直线过定点N（0，1），且过N的弦的弦长最小值为2，由此能求出结果解答：解：四边形OAMB为平行四边形，四边形OAMB为菱形，OAM为等边三角形，且边长为2，解得弦AB的长为2，又直线过定点N（0，1），且过N的弦的弦长最小值为2，此时此弦平行x轴，即k=0故选：C点评：本题考查满足条件的实数值的求法，是中档
12、题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用6（5分）函数的图象大致是（）ABCD考点：指数函数的图像变换 专题：函数的性质及应用分析：分别根据函数的定义域，单调性，取值符号进行排除判断解答：解：要使函数有意义，则3x10，解得x0，函数的定义域为x|x0，排除A当x0时，y0，排除B当x+时，y0，排除D故选C点评：本题考查函数的图象的判断，注意函数的值域，函数的图形的变换趋势，考查分析问题解决问题的能力7（5分）如图，A，B分别是射线OM，ON上的两点，给出下列向量：+2；+；+；+；，若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内（包括边界）的有（）ABCD考点：向量加减混合运算及其几何意
13、义 专题：平面向量及应用分析：根据题意，判断向量的线性运算结果，对题目中的结论逐一验证即可解答：解：过A作ON的平行线AC，并且使得AC=2OB，根据向量加法的三角形法则，得到和向量的终点不在阴影OAB里，如图1所示，不满足条件；取OA的中点D，过D作DE平行于ON，使得DE=OB，过D且与ON平行的线交AB于F，DF=OBDEDF，F在阴影AOB里，如图2所示，满足条件；在OA上取点H，使得AH=OA，过H作OB的平行线交AB于I，则HI=OBOB，+对应的终点J在阴影OAB外，如图3所示，不满足条件，同理，+对应的终点在阴影OAB内，满足条件；对应的终点Z不在阴影OAB内，如图5所示，不满
14、足条件；综上，满足条件的是故选：B点评：本题考查了平面向量的加法与减法的几何意义的应用问题，解题时应画出图形，结合图形进行解答，是基础题目8（5分）将函数f（x）=sinxcosx的图象向左平移个长度单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的单调递增区间是（）ABCD考点：二倍角的正弦；复合三角函数的单调性 专题：三角函数的图像与性质分析：由二倍角的正弦函数公式即可求得f（x），根据三角函数图象变换的规律可求g（x），由余弦函数的图象和性质即可求得g（x）的单调递增区间解答：解：f（x）=sinxcosx=sin2x，g（x）=sin2（x+）=cos2x，2k2x2k，kZ可解得g（x）的单
15、调递增区间是：x，故选：A点评：本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，复合三角函数的单调性，三角函数图象变换的规律的应用，属于基础题9（5分）已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则该椎体的俯视图可以是（）ABCD考点：简单空间图形的三视图 专题：空间位置关系与距离分析：由已知中锥体的正视图和侧视图，可得锥体的高为，结合锥体的体积为，可得其底面积为2，进而可得答案解答：解：锥体的正视图和侧视图均为边长为2的等边三角形，故锥体的高为，又锥体的体积为，故锥体的底面面积为2，A中图形的面积为4，不满足要求；B中图形的面积为，不满足要求；C中图形的面积为2，满足要求；D中图形的面积为，不满足要求；故
16、选：C点评：本题考查的知识点是简单几何体的三视图，难度不大，属于基础题10（5分）已知函数f（x）=x4cosx+mx2+x（mR），若导函数f（x）在区间2，2上有最大值10，则导函数f（x）在区间2，2上的最小值为（）A12B10C8D6考点：利用导数求闭区间上函数的最值；导数的运算 专题：函数的性质及应用；导数的综合应用分析：先求导数，然后分析发现导数是由一个奇函数和常数的和，然后利用函数的奇偶性容易解决问题解答：解：由已知得f（x）=4x3cosxx4sinx+2mx+1，令g（x）=4x3cosxx4sinx+2mx是奇函数，由f（x）的最大值为10知：g（x）的最大值为9，最小值为
17、9，从而f（x）的最小值为9+1=8故选C点评：本题考查了导数的计算、奇函数的最值的性质属于常规题，难度不大二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸的相应位置.11（5分）设抛物线上的一点P到x轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离为5考点：抛物线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由题意可得点P的纵坐标为4，由抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线x=1的距离，由此求得结果解答：解：由于抛抛物线上的一点P到x轴的距离是4，故点P的纵坐标为4再由抛物线的准线为y=1，以及抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线
18、的距离，故点P到该抛物线焦点的距离是4（1）=5，故答案为：5点评：本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题12（5分）若，则sin（+）=考点：运用诱导公式化简求值 专题：计算题；三角函数的求值分析：由的范围可得sin0，cos0，由诱导公式及同角三角函数关系式即可求值解答：解：（，），cos=，sin（+）=sin=故答案为：点评：本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题13（5分）在区间1，1上随机取一个数x，则sin的值介于与之间的概率为考点：几何概型 专题：概率与统计分析：根据三角函数的运算求出的等价条件，利用几何概型的概率公式进行求
19、解解答：解：由，解得，即x1，其区间长度为，由几何概型公式知所求概率为故答案为：点评：本题主要考查几何概型的概率公式，利用条件求出三角函数成立的等价条件是解决本题的关键将几何概型转化为对应的长度，面积和体积，然后利用它们之间的关系进行求值即可14（5分）已知a0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为0，则a=1考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定a的值即可解答：解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点B
20、时，直线y=2x+z的截距最小，此时z最小为0，即2x+y=0由，解，即B（1，2），点B也在直线y=a（x3）上，即2=2a，解得a=1故答案为：1点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法15（5分）某程序框图如图所示，则输出的S=26考点：循环结构 专题：图表型分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S值模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环 S k循环前/1 1第一圈 是 21+2=4 2第二
21、圈 是 24+3=11 3第三圈 是 211+4=26 4第四圈 否故最终的输出结果为：26故答案为：26点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题三、解答题：本大题共6个小题满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.16（12分）已知a，b，c是ABC对边，且a+b=csinA+ccosA，为BC的中点，且AD=2，求ABC最大值考点：余弦定理的应用；正弦定理的应用 专题：解三角形分析：由正弦定理及三角函数恒等变换化简已知等式可得sin（C）=，又结合C（0，），即可求得角C的值，由余弦定理结合已知可
22、得，又由三角形面积公式可得SABC=absinC=2从而解得ABC面积的最大值解答：解：由正弦定理可得：sinA+sinB=sinCsinA+sinCcosA，又A+B+C=，sinA+sin（A+C）=sinCsinA+sinCcosA3分整理可得：1+cosC=sinC，即：sinCcosC=1，有：sin（C）=，6分又C（0，），C（，），C=，C=7分由余弦定理可得：AD2=CA2+CD2+2CACDcosC=CA2+CD2CACD=b2+=ab=，10分，11分又SABC=absinC=ABC面积的最大值是212分点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基
23、本知识的考查17（12分）口袋中有6个小球，其中4个红球，2个白球，从袋中任取2个小球（I）求所取2个小球都是红球的概率；（）求所取2个小球颜色不相同的概率考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率 专题：概率与统计分析：将4个红球依次编号为1，2，3，4；2个白球的依次编号为5，6，任取2个球，一一列举出所有得基本事件，（）用A表示”都是红球“这一事件，则A中的基本事件共6个，根据概率公式计算即可，（）用B表示”颜色不相同的球“这一事件，则B所包含的事件共8个，根据概率公式计算即可解答：解：（）将4个红球依次编号为1，2，3，4；2个白球的依次编号为5，6，任取2个球，基本事件为（1，2），
24、（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的，用A表示”都是红球“这一事件，则A中的基本事件共6个，所以P（A）=；（）用B表示”颜色不相同的球“这一事件，则B所包含的事件共8个，所以P（B）=点评：本题考查了古典概率的问题，关键是不重不漏的列举出所有得基本事件，属于基础题18（12分）已知数列an，bn的各项均为正数，且对任意nN*，都有bn，an，bn+1成等差数列an，bn+1，an+1成等比数列，且b1=6，b2=12（I）
25、求证：数列是等差数列；（）求an，bn考点：等差数列与等比数列的综合 专题：等差数列与等比数列分析：（I）由等差数列和等比数列的性质，结合等差数列的中项，即可证明数列是等差数列；（）运用等差数列的通项公式，求出，可得an，再由（）中的结论，即可得到bn解答：（I）证明：an，bn+1，an+1成等比数列bn+12=anan+1，（nN*）bn+1=，bn=，（n2）bn，an，bn+1成等差数列，2an=bn+bn+1，（nN*）2an=+=（+），（n2）2=+，（n2），数列是等差数列（）解：b1=6，b2=12，2a1=b1+b2=18，即a1=9，a2=16，数列的公差d=43=1，=
26、+（n1）d=n+2，即有an=（n+2）2，又n2时，bn=（n+1）（n+2），又b1=6适合上式bn=（n+1）（n+2）点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用19（12分）如图，三棱锥PABC中，PA底面ABC，D是AB的中点，AB=2DC，E是PA的中点，F是ACD的重心（I）求证：BC平面PAC；（II）求证：EF平面PBC考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（I）利用线面垂直的判定定理，只要证明BC分别于PA，AC垂直即可；（II）要证EF平面PBC，只要证平面EGD平面
27、PBC，利用已知以及面面平行的判定定理，只要证明两个平面的两条相交直线分别平行即可解答：证明：（I）在ABC中，D为AB边上的中点，且AB=2CD，AD=DC=DB，故DCA=DAC，DCB=DBC，ACB=90，BCAC，又PA底面ABC，BC平面ABC，PABC，BC平面PAC；（II）连接DF，并延长交AC于G，连接ED，F为ACD的重心，G为AC的中点，连接EG，E为PA中点，在PAC中，EGPC，同理可得EDPB，又EGED=E，PCPB=P，平面EGD平面PBC，又EF平面EDGEF平面PBC点评：本题考查了线面垂直和面面平行的判定定理和性质定理的运用；关键是转化为线线关系进行证明
28、20（13分）已知函数f（x）=ex+mx2，g（x）=mx+lnx（I）求函数f（x）的单调区间；（II）当m=1时，试推断方程：是否有实数解考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用分析：（I）求导f（x）=ex+m，从而讨论m以确定导数的正负，从而确定函数的单调性；（II）当m=1时，g（x）=x+lnx，（x0）；再求导g（x）=1+，从而求得|g（x）|1；再令h（x）=，则h（x）=；从而求得h（x）h（e）=1；从而判断解答：解：（I）f（x）=ex+mx2，f（x）=ex+m，当m0时，f（x）0；函数f（x）的单调增
29、区间为R；当m0时，由f（x）0解得，xln（m）；由f（x）0解得，xln（m）；故函数f（x）的单调增区间为ln（m），+），单调减区间为（，ln（m）；（II）当m=1时，g（x）=x+lnx，（x0）；g（x）=1+，故g（x）在x=1处取得极大值，故g（x）g（1）=1；故|g（x）|1；令h（x）=，则h（x）=；故h（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+）上是减函数；故h（x）在x=e处取得最大值；h（x）h（e）=1；故方程没有实数解点评：本题考查了方程的根与函数的关系应用及导数的综合应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题21（14分）若双曲线y2=1过椭圆C：+=1
30、（ab0）的焦点，且它们的离心率互为倒数（I）求椭圆C的标准方程；（）如图，椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2点M（1，0）的直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线A1P与A2Q的斜率别为k1，k2试问，是否存在实数m，使得k1+mk2=0？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）求得双曲线的离心率，由题意可得椭圆的离心率，代入椭圆的焦点，可得c，再由离心率公式和a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；（）假设存在实数m，使得k1+mk2=0讨论直线l的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的
31、斜率公式，化简整理，即可得到m的值，进而判断存在解答：解：（）双曲线y2=1的离心率为=，它们的离心率互为倒数，可得椭圆的离心率为e=，由题意可得c2=8，即c=2，则a=3，b=1，则有椭圆方程为+y2=1；（）假设存在实数m，使得k1+mk2=0当直线l的斜率不存在时，P（1，），Q（1，），A1（3，0），A2（3，0），则k1=，k2=，则m=；当直线l的斜率存在时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l：y=k（x1），代入椭圆方程可得，（1+9k2）x218k2x+9k29=0，x1+x2=，x1x2=，则m=，故存在m=，满足题意点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式和化简整理的运算求解能力，属于中档题