1、广西桂林市、崇左市、防城港市2013届高考第一次联合模拟考试数学试卷（理科）第卷注意事项：第卷共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果事件A、B互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互独立，那么P（AB）P（A）P（B）如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率（k=0，1，2，n）球的表面积公式S4R，其中R表示球的半径球的体积公式V，其中R表示球的半径一、选择题 1. 已知集合Ax|x|2，xR，Bx2，xZ，则ABA. （0，2）B. 0，2C. 0，2D. 0，1
2、，2 2. 若（a+4i）i=b+i（a，bR），i为虚数单位，则a+bA. 3B. 5C. 3D. 5 3. 函数f（x）3+sinx，x0，1）的反函数的定义域是A. 0，1）B. 1，3+sin1）C. 0，4）D. 0，+ ） 4. 设S是等差数列a的前n项和，S=3（a+a），则的值为A. B. C. D. 5. 已知函数y=2sin（2x+）（|0）的一条渐近线与直线2xy+3=0垂直，则该双曲线的准线方程为A. x=B. x=C. x=D. x= 7. 设（xb）=b+bx+bx+bx，如果b+b=6，则实数b的值为A. B. C. 2D. 2 8. 在ABC中，D为BC边上的点
3、，=+，则的最大值为A. 1B. C. D. 9. 已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SA平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，BAC=60，则球O的表面积为A. 4B. 12C. 16D. 64 10. 定义在R上的函数y=f（x）是增函数，且函数y=f（x3）的图象关于点（3，0）成中心对称，若s，t满足f（s2s） f（2tt），则A. stB. s0恒成立，求a的取值范围. 21. （本小题满分12分） 如图，已知椭圆C：+=1（ab0）的左、右焦点分别为F、F，A是椭圆C上的一点，AFFF，O是坐标原点，OB垂直AF于B，且OF=3OB. （）求椭圆C的离心率；（）求
4、t（0，b），使得命题“设圆x+y=t上任意点M（x，y）处的切线交椭圆C于Q、Q两点，那么OQOQ”成立. 22. （本小题满分12分） 已知各项均为正数的数列a满足a=2a+aa，且a+a=2a+4，其中nN. （）若b=，求数列b的通项公式；（）证明：+（n2）.【试题答案】评分说明： 1. 第一题选择题，选对得分，不选、错选或多选一律得0分. 2. 第二题填空题，不给中间分. 3. 解答与证明题，本答案给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则. 4. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变
5、该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分. 5. 解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 6. 只给整数分数.一、选择题题号123456789101112答案DCBDABADCCDC二、填空题13. x+y2=014. 15. （4，2）16. 三、解答与证明题 17. （本小题满分10分）解：由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC.2分因为0A0.从而sinC=cosC.又cosC0，所以tanC=1，故C=.5分由a+b=4（a+b）8，得（a2）+（b2）=0，则a=
6、2，b=2.7分又由余弦定理得c=a+b2abcosC=84，9分所以c=.10分 18. （本小题满分12分） 解：（）设“甲、乙两位专家恰好排在前两位出场”为事件A，则 P（A）=.3分 答：甲、乙两位专家恰好排在前两位出场的概率为.4分 （）的可能取值为0，1，2，3，4.5分P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=，P（=4）=.9分的分布列为01234P10分E=0+1+2+3+4=.12分19. （本小题满分12分）（）证明：取AC的中点O，连结OA，OB，BA，则，2分.4分AC面BOA.5分BA面BOA，ACBA.6分（）解法一：面AACC面ABC，AOAC，AO
7、面ABC.7分过点O作OHAB于H，连结AH，则AHAB，AHO为所求二面角的平面角.9分在等边ABC中，OH=，AH=. cosAHO=.11分侧面AABB与底面ABC所成的二面角为arccos.12分解法二：以O为坐标原点，OB，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，7分则A（0，2，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），C（0，4，2），设n=（x，y，z）是面AABB的一个法向量，则n，n，=（0，2，2）， =（2，2，0），8分 取x=1，得n=（1，）.9分易知平面ABC的法向量为m=（0，0，1），10分所以cos=.11分 侧面AA
8、BB与底面ABC所成的二面角为arccos.12分 20. （本小题满分12分）解：（）若a=1，则f（x）=x|x1|lnx.当x1，e时，f（x）=xxlnx，f（x）=2x1=0，所以f（x）在1，e上单调递增，f（x）=f（e）=ee1.4分（）函数f（x）的定义域为（0，+）. 由f（x）0，得|xa|.* （i）当x（0，1）时，|xa|0， 1时，不等式*恒成立等价于ax+恒成立.令h（x）=x，则h（x）=.因为x1，所以h（x）0，从而h（x）1.因为ax恒成立等价于a0在x（1，+）上恒成立，e（x）在x（1，+）上无最大值.11分综上所述，满足条件的a的取值范围是（，1）
9、.12分 21. （本小题满分12分）解：（）解法一：由题设AFFF及F（c，0），F（c，0），不妨设点A（c，y），其中y0，由于点A在椭圆上，有+=1，+=1，解得y=，从而得到A.1分直线AF的方程为y=（x+c），整理得bx2acy+bc=0.2分由题设，原点O到直线AF的距离为|OF|，即=，3分将c=ab代入原式并化简得a=2b，即a=b.e=.即椭圆C的离心率为.4分解法二：点A的坐标为.1分过点O作OBAF，垂足为B，易知FBCFFA，故=.2分由椭圆定义得|AF|+|AF|=2a，又|BO|=|OF|，所以=.3分解得|FA|=，而|FA|=，得=.e=.即椭圆C的离心率为
10、.4分（）圆x+y=t上的任意点M（x，y）处的切线方程为xx+yy=t.5分 当t（0，b）时，圆x+y=t上的任意点都在椭圆内，故此圆在点A处的切线必交椭圆于两个不同的点Q、Q，因此点Q（x，y），Q（x，y）的坐标是方程组的解.6分（1）当y0时，由式得y=.代入式，得x+2=2b，即（2x+y）x4txx+2t2by=0.7分于是x+x=，xx=，yy= =.若QQQQ，则xx+ yy=+=0.所以，3t2b（x+y）=0.8分在区间（0，b）内，此方程的解为t=b.9分（2）当y=0时，必有x0，同理求得在区间（0，b）内的解为t=b.10分另一方面，当t=b时，可推出xx+ yy=0，从而QQQQ.11分综上所述，t=b（0，b）使得所述命题成立.12分22. （本小题满分12分）解：（）因为a=2a+aa，即（a+a）（2aa）=0.1分又a0，所以有2aa=0，即2a=a所以数列是公比为2的等比数列，3分由得，解得。从而，数列a的通项公式为a=2（nN），即：b=（nN）. 5分（）构造函数f（x）=（bx）（x0），则f（x）=+=，当0x0，xb时，f（x）0，i=1，2，3n），取“=”的条件是x=b（i=1，2，3n），所以+（b+b+bnx），9分令x=，则+，所以+，11分即+（n2）.12分