1、BS版九年级下第二章二次函数阶段核心归类二次函数的图象和性质的九种常见类型 4提示：点击进入习题答案显示671235B见习题见习题见习题见习题8见习题见习题见习题提示：点击进入习题答案显示109见习题 见习题 1【中考德州】函数 yax22x1 和 yaxa(a 是常数，且 a0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()B2【中考南通】在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 yx22(k1)xk252k(k 为常数)(1)若抛物线经过点(1，k2)，求 k 的值；解：把点(1，k2)的坐标代入 yx22(k1)xk252k，得 k2122(k1)k252k，解得 k23.(2)若抛物线经过点(
2、2k，y1)和点(2，y2)，且 y1y2，求 k 的取值范围；解：把点(2k，y1)的坐标代入 yx22(k1)xk252k，得 y1(2k)22(k1)2kk252kk232k.把点(2，y2)的坐标代入 yx22(k1)xk252k，得y2222(k1)2k252kk2132 k8.y1y2，k232kk2132 k8，解得 k1.(3)若将抛物线向右平移 1 个单位长度得到新抛物线，当 1x2时，新抛物线对应的函数有最小值32，求 k 的值解：yx22(k1)xk252k(xk1)212k1.将抛物线向右平移 1 个单位长度得到新抛物线 y(xk)212k1.当 k1 时，1x2 对应
3、的新抛物线部分位于对称轴右侧，y 随 x 的增大而增大，x1 时，y 最小(1k)212k1k252k32，解得 k11，k232，都不符合题意，舍去；当 1k2 时，y 最小12k1，12k132，解得k1；当 k2 时，1x2 对应的新抛物线部分位于对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小，x2 时，y 最小(2k)212k1k292k332，解得 k13，k232(舍去)，综上，k1 或 k3.3已知抛物线 y12x2bxc 经过点(1，0)，0，32.(1)求该抛物线的函数表达式；解：把点(1，0)和0，32 的坐标分别代入 y12x2bxc，得12bc0，c32，解得b1，c32.该抛
4、物线的函数表达式为 y12x2x32.(2)将抛物线 y12x2bxc 平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式解：y12x2x3212(x1)22，顶点坐标为(1，2)将抛物线 y12x2x32平移，使其顶点恰好落在原点的一种平移方法：先向右平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度(平移方法不唯一)平移后的函数表达式为 y12x2.4【2020陕西】如图，抛物线 yx2bxc 经过点(3，12)和(2，3)，与两坐标轴的交点分别为 A，B，C，它的对称轴为直线 l.(1)求该抛物线的表达式；解：将点(3，12)和(2，3)的坐标代入抛物线的表达式得1293
5、bc，342bc，解得b2，c3.故抛物线的表达式为 yx22x3.(2)P 是该抛物线上的点，过点 P 作 l 的垂线，垂足为 D，E 是 l上的点要使以 P，D，E 为顶点的三角形与AOC 全等，求满足条件的点 P，点 E 的坐标解：抛物线的对称轴为直线 x1，令 y0，则 x3 或 1，令 x0，则 y3，故点 A，B 的坐标分别为(3，0)，(1，0)；点 C(0，3)，故 OAOC3，PDEAOC90，当 PDDE3 时，以 P，D，E 为顶点的三角形与AOC 全等，设点 P(m，n)，当点 P 在抛物线的对称轴的右侧时，m(1)3，解得 m2，故 n222235，故点 P(2，5)
6、，故点 E(1，2)或(1，8)；当点 P 在抛物线的对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点 P(4，5)，此时点 E 的坐标为(1，2)或(1，8)，综上，点 P 的坐标为(2，5)或(4，5)；点 E 的坐标为(1，2)或(1，8)5【2020威海】已知，在平面直角坐标系中，抛物线 yx22mxm22m1 的顶点为 A，点 B 的坐标为(3，5)，如图所示(1)求抛物线过点 B 时顶点 A 的坐标；解：抛物线 yx22mxm22m1 过点 B(3，5)，把 B(3，5)的坐标代入 yx22mxm22m1，整理得 m24m30，解得 m11，m23.当 m1 时，yx22x2(x1)21，
7、其顶点 A 的坐标为(1，1)；当 m3 时，yx26x14(x3)25，其顶点 A 的坐标为(3，5)；综上，顶点 A 的坐标为(1，1)或(3，5)(2)点 A 的坐标记为(x，y)，求 y 与 x 的函数表达式；解：yx22mxm22m1(xm)22m1，顶点 A 的坐标为(m，2m1)点 A 的坐标记为(x，y)，xm.y2x1.(3)已知 C 点的坐标为(0，2)，当 m 取何值时，抛物线 yx22mxm22m1 与线段 BC 只有一个交点解：由(2)可知，抛物线的顶点在直线 y2x1 上运动，且形状不变，由(1)知，当 m1 或 3 时，抛物线过 B(3，5)，把 C(0，2)的坐
8、标代入 yx22mxm22m1，整理得 m22m12，解得 m1 或3，当 m1 或3 时，抛物线经过点 C(0，2)，如图，当 m3 或 3 时，抛物线与线段 BC 只有一个交点(即线段 CB 的端点)，当 m1 时，抛物线同时过点 B，C，不合题意，综上可得，m 的取值范围是3m3 且 m1.6【2020伊春】如图，已知二次函数 yx2(a1)xa 与 x轴交于 A，B 两点(点 A 位于点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C，已知BAC 的面积是 6.(1)求 a 的值；解：yx2(a1)xa，令 x0，则 ya，C(0，a)令 y0，即x2(a1)xa0，解得 x1a，x21.由图象知
9、 a0，A(a，0)，B(1，0)SABC6，12(1a)(a)6，解得 a3(a4 舍去)(2)在抛物线上是否存在一点 P，使 SABPSABC若存在，请求出 P 点的坐标，若不存在，请说明理由解：a3，C(0，3)SABPSABC.P 点的纵坐标为3.把 y3 代入 yx22x3 得x22x33，解得 x0(舍去)或x2，把y3代入yx22x3得x22x33，解得 x1 7或 x1 7，P 点的坐标为(2，3)或(1 7，3)或(1 7，3)7【2020天水】如图，抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，且点 A 的坐标为 A(2，0)，点 C 的
10、坐标为 C(0，6)，对称轴为直线 x1.点 D 是抛物线上一个动点，设点 D 的横坐标为 m(1m4)，连接 AC，BC，DC，DB(1)求抛物线的函数表达式；解：由题意得 b2a1，4a2bc0，c6，解得a34，b32，c6.抛物线的函数表达式为 y34x232x6.(2)当BCD 的面积等于AOC 的面积的34时，求 m 的值；解：过点 D 作 DEx 轴于点 E，交 BC 于点 G，过点 C 作 CFED 交 ED 的延长线于点 F，如图，点 A 的坐标为(2，0)，点 C 的坐标为(0，6)，OA2，OC6.SAOC12OAOC12266.SBCD34SAOC34692.当 y0
11、时，34x232x60，解得 x12，x24，点 B 的坐标为(4，0)设直线 BC 的函数表达式为 ykxn，则04kn，6n，解得k32，n6.直线 BC 的函数表达式为 y32x6.点 D 的横坐标为 m(1m4)，点 D 的坐标为m，34m232m6，点 G 的坐标为m，32m6，DG34m232m632m6 34m23m，CFm，BE4m，SBCDSCDGSBDG12DGCF12DGBE12DG(CFBE)1234m23m(m4m)32m26m，32m26m92，解得 m11(不合题意，舍去)，m23，m 的值为 3.(3)在(2)的条件下，若点 M 是 x 轴上一动点，点 N 是抛
12、物线上一动点，试判断是否存在这样的点 M，使得以点 B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由解：存在以点 B，D，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，点M 的坐标为(8，0)或(0，0)或(14，0)或(14，0)6 8【2020连云港】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 ymx(x0)的图象经过点 A4，32，点 B 在 y 轴的负半轴上，AB 交 x 轴于点 C，C 为线段 AB 的中点(1)m_，点 C 的坐标为_；(2，0)【点拨】反比例函数 ymx(x0)的图象经过点 A4，32，m4326，AB 交 x 轴于点 C，
13、C 为线段 AB 的中点C(2，0)(2)若点 D 为线段 AB 上的一个动点，过点 D 作 DEy 轴，交反比例函数的图象于点 E，求ODE 面积的最大值解：设直线 AB 的表达式为 ykxb，把 A4，32，C(2，0)的坐标代入得4kb32，2kb0，解得k34，b32，直线 AB 的表达式为 y34x32.点 D 为线段AB上的一个动点，设Dx，34x32(0 x4)，DEy轴，Ex，6x.SODE12x6x34x32 38x234x338(x1)2278.当 x1 时，ODE 的面积有最大值，最大值为278.9【2020临沂】已知抛物线 yax22ax32a2(a0)(1)求这条抛物
14、线的对称轴；解：抛物线 yax22ax32a2a(x1)22a2a3，抛物线的对称轴为直线 x1.(2)若该抛物线的顶点在 x 轴上，求其表达式；解：抛物线的顶点在 x 轴上，2a2a30，解得 a32或 a1，抛物线的表达式为 y32x23x32或 yx22x1.解：抛物线的对称轴为直线 x1，Q(3，y2)关于直线 x1 的对称点的坐标为(1，y2)，当 a0，1m3 时，y1y2；当 a0，m1 或 m3 时，y1y2.(3)设点 P(m，y1)，Q(3，y2)在抛物线上，若 y1y2，求 m 的取值范围10【2020杭州】在平面直角坐标系中，设二次函数 y1x2bxa，y2ax2bx1
15、(a，b 是实数，a0)(1)若函数 y1 的对称轴为直线 x3，且函数 y1的图象经过点(a，b)，求函数 y1 的表达式解：由题意，得b23，解得 b6，函数 y1 的图象经过(a，6)，a26aa6，解得 a2 或 a3，函数 y1x26x2 或 y1x26x3.(2)若函数 y1 的图象经过点(r，0)，其中 r0，求证：函数 y2 的图象经过点1r，0.证明：函数 y1 的图象经过点(r，0)，其中 r0，r2bra0，1brar20，即 a1r2b1r10，1r是方程 ax2bx10 的根，即函数 y2 的图象经过点1r，0.解：由题意得 a0，m4ab24，n4ab24a.mn0，4ab244ab24a0.(4ab2)(a1)0.a10，4ab20.mn0.(3)设函数 y1 和函数 y2 的最小值分别为 m 和 n，若 mn0，求m，n 的值