1、第5课时数列的综合应用一、 填空题1. 在等差数列an中，满足3a47a7，且a10，Sn是数列an的前n项和，若Sn取得最大值，则n_答案：9解析：设公差d，由题设知3(a13d)7(a16d)，得da10，解不等式an0，即a1(n1)0，解得n，则n9时，an0，同理可得n10时，an0，故当n9时，Sn取得最大值2. 在等比数列an中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则_答案：32解析： a1，a3，2a2成等差数列， 2a3a12a2，即a3a12a2.设等比数列an的公比为q且q0，则a3a1q2，a2a1q， a1q2a12a1q， q212q，解得q1或1(舍)，
2、q2(1)232.3. 在数列an中，Sn是其前n项和，且Sn2an1，则数列的通项公式an_答案：an2n1解析：依题意得Sn12an11，Sn2an1，两式相减得Sn1Sn2an12an，即an12an.又S12a11a1，所以a11，所以数列an是以a11为首项，2为公比的等比数列，所以an2n1.4. 等差数列an的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则an前6项的和为_答案：24解析：设等差数列的公差为d，由a2，a3，a6成等比数列可得aa2a6，即(12d)2(1d)(15d)，整理可得d22d0.因为公差不为0，所以d2，数列的前6项和为S66a1d61(2)2
3、4.5. 设等比数列an的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列，且a2a54，则a8的值为_答案：2解析： 等比数列an的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列，且a2a54， q1，解得a1q8，q3， a8a1q7(a1q)(q3)282.6. 在等差数列an中，已知首项a10，公差d0.若a1a260，a2a3100，则5a1a5的最大值为_答案：200解析：由a1a260，a2a3100得2a1d60，2a13d100，a10，d0.由线性规划的知识得5a1a56a14d，过点(20，20)时，取最大值为200.7. 设正项数列an的前n项和是Sn，an和都是等差数列，则
4、的最小值是_答案：21解析：由题设知Snnn2.又为等差数列，从而a1，从而ana1(n1)dd，Snn2， .令2n1t(t1)，原式21，从而当t21，即n11时，原式取到最小值21.8. 中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”问此人第4天和第5天共走了_里答案：36解析：由题意知，此人每天走的里数构成公比为的等比数列，设等比数列的首项为a1，则有378，解得a1192，所
5、以a419224，a52412，a4a5241236，所以此人第4天和第5天共走了36里9. 已知an，bn均为等比数列，其前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的nN*，总有，则_答案：9解析：设an，bn的公比分别为q，q， ， 当n1时，a1b1.当n2时，.当n3时，7， 2q5q3，7q27qq2q60，解得q9，q3， 9.10. 现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10 cm，最下面的三节长度之和为114 cm，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n_答案：16解析：设每节竹竿的长度对应的数列为an，公差为d(d0)由题意知a110，anan1
6、an2114，aa1an.由anan1an2114，得3an1114，解得an138， (a15d)2a1(an1d)，即(105d)210(38d)，解得d2，an1a1(n2)d38，即102(n2)38，解得n16.二、 解答题11. 设数列an的前n项和为Sn，满足2Snan12n11，且a1，a25，a3成等差数列(1) 求a1，a2的值；(2) 求证：数列an2n是等比数列，并求数列an的通项公式(1) 解：由已知，得2a1a23，2(a1a2)a37，又a1，a25，a3成等差数列，所以a1a32a210，解，得a11，a25.(2) 证明：由已知，nN*时，2(Sn1Sn)an
7、2an12n22n1，即an23an12n1，即an13an2n(n2)，由(1)得，a23a12， an13an2n(nN*)，从而有an12n13an2n2n13an32n3(an2n)又a120， an2n0， 3， 数列an2n是等比数列，且公比为3， an2n(a12)3n13n，即an3n2n.12. 商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定，由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2017年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费偿还建行贷款形式(年利率5%，按复利计算)，公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元，其余部分全部用
8、于年底还建行贷款(1) 若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款？(2) 若公寓管理处要在2025年年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元(精确到元)？(参考数据：lg 1.734 30.239 1，lg 1.050.021 2，1.0581.477 4)解：(1) 设公寓投入使用后n年可偿还全部贷款，则公寓每年收费总额为1 000800800 000(元)80万元，扣除18万元，可偿还贷款62万元依题意有621(15%)(15%)2(15%)n1500(15%)n1，化简得62(1.05n1)251.05n1， 1.05n1.734 3.两边取对数并整理
9、得n11.28， 当取n12时，即到2029年底可全部还清贷款(2) 设每生每年的最低收费标准为x元，因到2025年底公寓共使用了8年，依题意有1(15%)(15%)2(15%)7500(15%)9.化简得(0.1x18)5001.059，解得x992， 每生每年的最低收费标准为992元13. 已知数列an，bn满足2Sn(an2)bn，其中Sn是数列an的前n项和(1) 若数列an是首项为，公比为的等比数列，求数列bn的通项公式；(2) 若bnn，a23，求数列an的通项公式；(3) 在(2)的条件下，设cn，求证：数列cn中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积(1) 解：因为an2，S
10、n，所以bn.(2) 解：若bnn，则2Snnan2n，所以2Sn1(n1)an12(n1)，两式相减得2an1(n1)an1nan2，即nan(n1)an12.当n2时，(n1)an1(n2)an2，两式相减得(n1)an1(n1)an12(n1)an，即an1an12an.由2S1a12，得a12，又a23，所以数列an是首项为2，公差为321的等差数列，故数列an的通项公式是ann1.(3) 证明：由(2)得cn，对于给定的nN*，若存在k，tn，k，tN*，使得cnckct，只需，即1，即，则t，取kn1，则tn(n2)，所以对数列cn中的任意一项cn，都存在cn1和cn22n，使得cncn1cn22n.