1、第3课时等 比 数 列一、 填空题1. 等比数列an的公比大于1，a5a115，a4a26，则a3_答案：4解析：由a5a115，a4a26(q1)，得q2，a11，则a34.2. 设等比数列an的公比q，前n项和为Sn，则_答案：15解析：S4，a4a1q3，所以15.3. 在各项均为正数的等比数列an中，若log2a2log2a81，则a3a7_答案：2解析：由log2a2log2a81得log2(a2a8)1，所以a2a82，由等比数列性质可得a3a7a2a82.4. 已知等比数列an的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3依次成等差数列，若a11，则S5_ .答案：31解析：因为4a1
2、，2a2，a3依次成等差数列，4a24a1a3，所以4a1q4a1a1q2，所以q2.又a11，所以S531.5. 设Sn是等比数列an的前n项和，若a52a100，则的值是_答案：解析：当q1时，a5a100不合题意， 公比q1. q5，因而1q101.6. 我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯_盏答案：3解析：设塔的顶层共有灯x盏，则各层的灯数构成一个首项为x，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有：381，解得x3，即
3、塔的顶层共有灯3盏7. 设等比数列an的前n项和为Sn，若S37，S663，则a7a8a9_答案：448解析：由S37，S663，得a1a2a37，7a4a5a663，则a4a5a6(a1a2a3)q356，q38，a7a8a9(a4a5a6)q3568448.8. 已知等比数列an的前n项和为Sn，若S22a23，S32a33，则公比q的值为_答案：2解析： S22a23，S32a33， a1a1q3，a1(1q)a1q23， q22q0，q0，则公比q2.9. 在等比数列an中，已知a11，a48，设S3n为该数列的前3n项和，Tn为数列a的前n 项和若S3ntTn，则实数t的值为_答案：
4、7解析： a4a1q3q38， q2，S3n8n1.由题意知，数列a是首项为1，公比为8的等比数列，Tn(8n1)由S3ntTn，得t7.10. 在正项等比数列an中，若a4a32a22a16，则a5a6的最小值为_答案：48解析：设 a2a1x，等比数列的公比为q，则a4a3 xq2，a5a6 xq4.再由a4a32a22a16，得 xq262x， x0，q1. a5a6 xq4 66(44)48，当且仅当q222时，等号成立，故a5a6的最小值为48.二、 解答题11. 已知an是首项为a1，公比q为正数(q1)的等比数列，其前n项和为Sn，且5S24S4.(1) 求q的值(2) 设bnq
5、Sn，请判断数列bn能否为等比数列？若能，请求出a1的值；若不能，请说明理由解：(1) 由题意知，5S24S4， . a10，q0，且q1， 4q45q210，解得q.(2) Sn2a1a1， bnqSn2a1a1. 当且仅当2a10，即a1时，bn为等比数列， bn能为等比数列，此时a1.12. 已知等差数列an的公差d不为0，且ak1，ak2，akn，(k1k2kn)成等比数列，公比为q.(1) 若k11，k23，k38，求的值；(2) 当为何值时，数列kn为等比数列解：(1) 由已知可得a1，a3，a8成等比数列，所以(a12d)2a1(a17d)，整理可得，4d23a1d.因为d0，所
6、以.(2) 设数列kn为等比数列，则kk1k3.又ak1，ak2，ak3成等比数列，所以a1(k11)da1(k31)da1(k21)d2.整理，得a1(2k2k1k3)d(k1k3kk1k32k2)因为kk1k3，所以a1(2k2k1k3)d(2k2k1k3)因为2k2k1k3，所以a1d，即1.当1时，ana1(n1)dnd，所以aknknd.因为aknak1qn1k1dqn1，所以knk1qn1.所以q，数列kn为等比数列综上，当1时，数列kn为等比数列13. 已知等比数列an的公比q1，且满足a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中项(1) 求数列an的通项公式；(2) 若bnanlogan，Snb1b2bn，求使Snn2n162成立的正整数n的最小值解：(1) a32是a2，a4的等差中项， 2(a32)a2a4，代入a2a3a428，可得a38， a2a420， 解得或 q1， 数列an的通项公式为an2n.(2) bnanlogan2nlog2nn2n， Sn(12222n2n)，2Sn(122223(n1)2nn2n1)，得，Sn222232nn2n1n2n12n12n2n1. Snn2n162， 2n1262， n16，n5， 使Snn2n162成立的正整数n的最小值为6.