1、绝密 启用前2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。2回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。3回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷一选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）已知集合，则（A） （B） （C） （D
2、）答案：D解析：集合A，集合B，所以，。（2）已知复数，其中为虚数单位，则复数所对应的点在（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限答案：D解析：，对应坐标为（2，1），在第四象限。（3）已知函数则的值为（A） （B） （C） （D）答案：C解析：426，选C。（4）设是所在平面内的一点，且，则与的面积之比是（A） （B） （C） （D）答案：B解析：依题意，得：CP2PA，设点P到AC之间的距离为h，则与的面积之比为=（5）如果函数的相邻两个零点之间的距离为，则的值为（A）3 （B）6 （C）12 （D）24答案：B解析：依题意，得：周期T，所以，6。（6）执行如图所示的
3、程序框图，如果输入，则输出的值为（A）6 （B）8 （C）10 （D）12答案：C解析：第一步：x9，k2；第二步：x21，k4；第三步：x45，k6；第四步：x93，k8；第五步：x189，k10；退出循环，故k10。（7）在平面区域内随机投入一点，则点的坐标满足的概率为（A） （B） （C） （D）答案：A解析：画出平面区域，如图，阴影部分符合，其面积为：，正方形面积为1，故所求概率为：（8）已知，若，则（A） （B） （C） （D）答案：B解析：因为，所以，=（9）如果，是抛物线：上的点，它们的横坐标依次为，是抛物线的焦点，若，则（A） （B） （C） （D）答案：A解析：由抛物线的焦点
4、为（1,0），准线为1，由抛物线的定义，可知，故（10）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（A） （B） （C） （D）答案：D解析：六棱柱的对角线长为：，球的体积为：V（11）已知下列四个命题：若直线和平面内的无数条直线垂直，则； ：若，则，；：若，则，；：在中，若，则 其中真命题的个数是（A）1 （B）2 （C）3 （D）4答案：B解析：p1错误，因为无数条直线不一定是相交直线，可能是平行直线；p2正确；p3错误，因为由，得x0，故错误；p4正确，注意前提条件是在中。（12）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面
5、体的三视图，则该四面体的表面积为（A） （B）（C） （D）答案：A解析：该几何体为如图中的三棱锥CA1C1E，ECEA1，A1C4，三角形EA1C的底边A1C上的高为：2，表面积为：S24244424第卷本卷包括必考题和选考题两部分第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答第22题第24题为选考题，考生根据要求做答二填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）函数的极小值为 答案：2解析：求导，得：，得，当=1时，函数f(x)取得极小值2。（14）设实数，满足约束条件 则的取值范围是 答案：解析：画出不等式表示的平面区域，在点（3，0）处，取得最小值6，在点（3,3）处取得最大值15。（
6、15）已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，点，且，则双曲线的离心率为 答案：解析：设F（c，0），又A（，0），由，得：（，b）（c，b）0，所以，有：，即，化为，可得离心率e。（16）在中，点在边上，,，则的长为 答案：5解析：因为BD2AD，设ADx，则BD2x，因为，所以，BC，在三角形ACD中，cosA，在三角形ABC中，cosA，所以，解得：5，所以，AD5。三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分12分）已知数列是等比数列，是和的等差中项.（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和.解析：解：（）设数列的公比为，因为，所以，1分因为是和的等差中项，所以2
7、分即，化简得因为公比，所以4分所以（）5分（）因为，所以所以7分则， . 9分得，10分 ，所以12分（18）（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间，内的频率之比为质量指标值0.0120.0040.0190.03015253545556575850频率组距（）求这些产品质量指标值落在区间内的频率；（）用分层抽样的方法在区间内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间内的概率解析：解：（）设区间内的频率为，则区间，内的频率分别为和1分依题意得，3分
8、解得所以区间内的频率为4分（）由（）得，区间，内的频率依次为，用分层抽样的方法在区间内抽取一个容量为6的样本，则在区间内应抽取件，记为，在区间内应抽取件，记为，在区间内应抽取件，记为6分设“从样本中任意抽取2件产品，这2件产品都在区间内”为事件M，则所有的基本事件有：，共15种8分事件M包含的基本事件有：，共10种10分所以这2件产品都在区间内的概率为12分（19）（本小题满分12分）ABCDO如图，四棱柱的底面是菱形，底面，（）证明：平面；（）若，求点到平面的距离解析：（）证明：因为平面，平面， 所以1分因为是菱形，所以2分因为，平面，所以平面3分（）解法一：因为底面是菱形，所以，4分所以的
9、面积为5分因为平面，平面，所以，6分因为平面，所以点到平面的距离等于点到平面ABCD的距离7分由（）得，平面因为平面，所以 因为，所以8分所以的面积为9分设点到平面的距离为，因为，所以10分所以所以点到平面的距离为12分ABCDOH解法二：由（）知平面， 因为平面，所以平面平面4分连接与交于点，连接，因为，所以为平行四边形又，分别是，的中点，所以为平行四边形所以6分因为平面与平面交线为，过点作于，则平面8分因为，平面，所以平面因为平面，所以，即为直角三角形10分所以 所以点到平面的距离为12分（20）（本小题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，左焦点为，点在椭圆上，直线
10、与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于点，（）求椭圆的方程；（）在轴上是否存在点，使得无论非零实数怎样变化，总有为直角？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由解析：（）解法一：设椭圆的方程为，因为椭圆的左焦点为，所以1分设椭圆的右焦点为，已知点在椭圆上，由椭圆的定义知，所以2分所以，从而3分所以椭圆的方程为4分解法二：设椭圆的方程为，因为椭圆的左焦点为，所以 1分因为点在椭圆上，所以 2分由解得，3分所以椭圆的方程为4分（）解法一：因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为5分因为直线与椭圆交于两点，设点（不妨设），则点联立方程组消去得所以，6分所以直线的方程为7分因为直线与轴交于点，令得，即点8分同
11、理可得点9分假设在轴上存在点，使得为直角，则10分即，即11分解得或 故存在点或，无论非零实数怎样变化，总有为直角 12分解法二： 因为椭圆的左端点为，则点的坐标为5分因为直线与椭圆交于两点，设点，则点所以直线的方程为6分因为直线与轴交于点，令得，即点7分同理可得点8分假设在轴上存在点，使得为直角，则即，即 （）9分因为点在椭圆上，所以，即10分将代入（）得11分解得或故存在点或，无论非零实数怎样变化，总有为直角 12分解法三：因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为5分因为直线与椭圆交于两点，设点（），则点6分所以直线的方程为7分因为直线与轴交于点，令得，即点8分同理可得点9分假设在轴上存在点，使得
12、为直角，则10分即，即11分解得或故存在点或，无论非零实数怎样变化，总有为直角 12分（21）（本小题满分12分）已知函数.（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，证明：.解析：（）解：当时，所以1分所以，. 2分所以曲线在点处的切线方程为即.3分（）证法一：当时，.要证明，只需证明.4分以下给出三种思路证明.思路1：设，则.设，则，所以函数在上单调递增6分因为，所以函数在上有唯一零点，且.8分因为时，所以，即.9分当时，；当时，.所以当时，取得最小值10分故综上可知，当时，.12分思路2：先证明5分设，则因为当时，当时，所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增所以所以（当且仅当时取等号
13、）7分所以要证明， 只需证明8分下面证明设，则当时，当时，所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增所以所以（当且仅当时取等号）10分由于取等号的条件不同，所以综上可知，当时，.12分（若考生先放缩，或、同时放缩，请参考此思路给分！）思路3：先证明.因为曲线与曲线的图像关于直线对称，设直线与曲线，分别交于点，点，到直线的距离分别为，则其中，设，则因为，所以所以在上单调递增，则所以设，则因为当时，；当时，所以当时，单调递减；当时，单调递增所以所以所以综上可知，当时，.12分证法二：因为，要证明，只需证明.4分以下给出两种思路证明.思路1：设，则.设，则所以函数在上单调递增6分因为，所以函数在上有
14、唯一零点，且.8分因为，所以，即9分当时，；当时，.所以当时，取得最小值10分故综上可知，当时，12分思路2：先证明，且5分设，则因为当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增所以当时，取得最小值所以，即（当且仅当时取等号）7分由，得（当且仅当时取等号）8分所以（当且仅当时取等号）9分再证明因为，且与不同时取等号，所以综上可知，当时，12分请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分做答时请写清题号（22）（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲FCDOABE如图所示，内接于，直线与相切于点，交的延长线于点，过点作交的延长线于点（）求证：；（）若直线与相切于点
15、，且，求线段的长解析：（）证明：因为是的切线，所以（弦切角定理）1分FCDOABE因为，所以2分所以因为（公共角），所以3分所以即4分（）解：因为是的切线，是的割线，所以 （切割线定理）5分因为，所以，7分由（）知，所以8分因为，所以 9分所以所以 10分（23）（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，.（）求曲线的直角坐标方程；（）在曲线上求一点，使它到直线：（为参数，）的距离最短，并求出点的直角坐标.解析：（）解：由，可得1分因为，2分所以曲线的普通方程为（或） 4分（）解法一：因为直线的参数方程为
16、（为参数，），消去得直线的普通方程为 5分因为曲线：是以为圆心，1为半径的圆，设点，且点到直线：的距离最短，所以曲线在点处的切线与直线：平行即直线与的斜率的乘积等于，即7分因为，解得或所以点的坐标为或9分由于点到直线的距离最短，所以点的坐标为10分解法二：因为直线的参数方程为（为参数，），消去得直线的普通方程为5分因为曲线是以为圆心，1为半径的圆，因为点在曲线上，所以可设点7分所以点到直线的距离为 8分因为，所以当时，9分此时，所以点的坐标为10分（24）（本小题满分10分）选修45：不等式选讲设函数 （）当时，求不等式的解集； （）若对任意，不等式的解集为空集，求实数的取值范围 解析：（）解
17、：当时，等价于1分当时，不等式化为，无解；当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，解得3分综上所述，不等式的解集为4分（）因为不等式的解集为空集，所以5分以下给出两种思路求的最大值.思路1：因为 ，当时， 当时， 当时，所以7分思路2：因为 ，当且仅当时取等号所以7分因为对任意，不等式的解集为空集，所以8分以下给出三种思路求的最大值.思路1：令，所以当且仅当，即时等号成立所以所以的取值范围为10分思路2：令，因为，所以可设 ，则， 当且仅当时等号成立所以的取值范围为10分思路3：令，因为，设则xyO问题转化为在的条件下，求的最大值利用数形结合的方法容易求得的最大值为，此时所以的取值范围为10分