1、32复数代数形式的四则运算32.1复数代数形式的加减运算及其几何意义考点学习目标核心素养复数加法、减法的运算掌握复数代数形式的加法、减法运算法则数学运算复数加法的几何意义理解复数代数形式的加法、减法运算的几何意义直观想象 问题导学预习教材P107P108，并思考下列问题：1复数的加、减法运算法则是什么？运算律有哪些？2复数的加、减法的几何意义是什么？1复数加减法的运算法则及加法运算律(1)加减法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)是任意两个复数，则z1z2(ac)(bd)i，z1z2(ac)(bd)i(2)加法运算律对任意z1，z2，z3C，交换律：z1z2z2z1结合律：(z1z2
2、)z3z1(z2z3)名师点拨 两个复数相加就是这两个复数的实部与实部相加，虚部与虚部相加对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形2复数加减法的几何意义如图所示，设复数z1，z2对应的向量分别为，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1z2对应的向量是，与z1z2对应的向量是. 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个虚数的和或差可能是实数()(2)若复数z1，z2满足z1z20，则z1z2.()(3)在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部()(4)复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形()(5)复数的减法不满足结合律，即(z1z2)z3z1(z2z3)可能
3、不成立()答案：(1)(2)(3)(4)(5) (62i)(3i1)()A33iB.55iC7iD55i答案：B 若复数z满足z(34i)1，则z的虚部是()A2B4C3D4答案：B 已知i为虚数单位，设复数z满足zi3，则|z|()A3B4C.D10答案：C复数的加减法运算 (1)计算：(56i)(2i)(34i)；(2)设z1x2i，z23yi(x，yR)，且z1z256i，求z1z2.【解】(1)原式(523)(614)i11i.(2)因为z1x2i，z23yi，z1z256i，所以(3x)(2y)i56i，所以所以所以z1z2(22i)(38i)(23)2(8)i110i.解决复数加减
4、运算的思路两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减) 复数(12i)(34i)(53i)对应的点在()A第一象限B.第二象限C第三象限D第四象限解析：选A.复数(12i)(34i)(53i)(135)(243)i9i，其对应的点为(9，1)，在第一象限复数加减法的几何意义 已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，32i，24i.(1)求表示的复数；(2)求表示的复数【解】(1)因为，所以表示的复数为(3
5、2i)，即32i.(2)因为，所以表示的复数为(32i)(24i)52i.1若本例条件不变，试求点B所对应的复数解：因为，所以表示的复数为(32i)(24i)16i.所以点B所对应的复数为16i.2若本例条件不变，求对角线AC，BO的交点M对应的复数解：由题意知，点M为OB的中点，则，由互动探究1中点B坐标为(1，6)得点M坐标为，所以点M对应的复数为3i.复数加减法几何意义的应用技巧(1)复数的加减运算可以转化为点的坐标或向量运算(2)复数的加减运算转化为向量运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则 1在复平面内，对应的复数分别为12i，23i，则对应的复数为()A15iB15iC34iD
6、34i解析：选A.因为，所以对应的复数为23i(12i)15i.2在复平面内，A，B，C，三点分别对应复数1，2i，12i.(1)求，对应的复数；(2)判断ABC的形状解：(1)A，B，C三点分别对应复数1，2i，12i.所以，对应的复数分别为1，2i，12i(O为坐标原点)，所以(1，0)，(2，1)，(1，2)所以(1，1)，(2，2)， (3，1)即对应的复数为1i，对应的复数为22i，对应的复数为3i.(2)因为|，|，|，所以|2|210|2.又因为|，所以ABC是以角A为直角的直角三角形1(63i)(3i1)(22i)的结果为()A53iB.35iC78iD72i解析：选C.(63
7、i)(3i1)(22i)(612)(332)i78i.2已知复数z1(a22)3ai，z2a(a22)i，若z1z2是纯虚数，那么实数a的值为_解析：由z1z2a22a(a23a2)i是纯虚数，得a2.答案：23已知复数z12i，z212i.(1)求z1z2；(2)在复平面内作出复数z1z2所对应的向量解：(1)由复数减法的运算法则得z1z2(2i)(12i)1i.(2)在复平面内作复数z1z2所对应的向量，如图中.A基础达标1已知复数z113i，z23i(i为虚数单位)在复平面内，z1z2对应的点在()A第一象限B.第二象限C第三象限D第四象限解析：选B.因为z113i，z23i，所以z1z
8、222i，故z1z2在复平面内对应的点(2，2)在第二象限2若z12i，z23ai(aR)，且在复平面内z1z2所对应的点在实轴上，则a的值为()A3B2C1D1解析：选D.z1z22i3ai(23)(1a)i5(1a)i.因为在复平面内z1z2所对应的点在实轴上，所以1a0，所以a1.3在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为1i和43i，则该平行四边形的对角线AC的长度为()A.B5C2D10解析：选B.依题意，对应的复数为(43i)(1i)34i，因此AC的长度即为|34i|5.4复数z1a4i，z23bi，若它们的和z1z2为实数，差z1z2为纯虚数，则a，b的值为()Aa3，
9、b4Ba3，b4Ca3，b4Da3，b4解析：选A.因为z1z2(a3)(4b)i为实数，所以4b0，b4.因为z1z2(a4i)(3bi)(a3)(4b)i为纯虚数，所以a3且b4.故a3，b4.5设f(z)|z|，z134i，z22i，则f(z1z2)()A.B5C.D5解析：选D.因为z1z255i，所以f(z1z2)f(55i)|55i|5.6已知复数z满足z(12i)5i，则z_解析：z(5i)(12i)43i.答案：43i7已知复数z12ai，z2ai(aR)，且复数z1z2在复平面内对应的点位于第二象限，则a的取值范围是_解析：因为复数z1z22aiai(2a)(a1)i在复平面
10、内对应的点位于第二象限，所以解得a2.答案：(2，)8若复数z113i，z22ai，且z1z2b8i，z2z13ci，则实数a_，b_，c_解析：z1z2(12)(3a)i1(3a)ib8i，z2z1(21)(a3)i3(a3)i3ci，所以解得答案：5129计算：(1)(2i)(65i)(43i)(1i)；(2)(12i)(23i)(34i)(45i)(2 0162 017i)(2 0172 018i)解：(1)法一：原式(2i)(64)(53)i(1i)(2i)(22i)(1i)i(1i)1.法二：原式(2i)(65i)(43i)(1i)(2641)(1531)i1.(2)法一：原式(12
11、)(34)(2 0152 016)2 017(23)(45)(2 0162 017)2 018i(1 0082 017)(1 0082 018)i1 0091 010i.法二：因为(12i)(23i)1i，(34i)(45i)1i，(2 0152 016i)(2 0162 017i)1i，所以原式(1i)1 0082 0172 018i1 0091 010i.10已知复数z11ai，z22a3i，z3a2i(aR)(1)当a为何值时，复数z1z2z3是实数？(2)当a为何值时，复数z1z2z3是纯虚数？解：(1)由题意，知z1z2z3(1ai)(2a3i)(a2i)12aa2(a4)i，若复数
12、z1z2z3是实数，则a40，即a4.(2)若复数z1z2z3是纯虚数，则，即a1.B能力提升11若复数z满足条件|z(22i)|1，则复平面内z对应的点的轨迹是()A圆B.椭圆C双曲线D抛物线解析：选A.设zxyi(x，yR)，则|z(22i)|xyi22i|(x2)(y2)i|1，所以(x2)2(y2)21.所以复平面内z对应的点的轨迹是圆12已知复数z1cos i，z2sin i，则|z1z2|的最大值为()A. B.C6D.解析：选D.由题意，得|z1z2|(cos sin )2i| ，故|z1z2|的最大值为.13已知复平面内的平行四边形ABCD中，点A对应的复数为2i，向量对应的复
13、数为12i，向量对应的复数为3i，求：(1)点C，D对应的复数；(2)平行四边形ABCD的面积解：(1)因为向量对应的复数为12i，向量对应的复数为3i，所以向量对应的复数为(3i)(12i)23i.又因为，所以点C对应的复数为(2i)(23i)42i.因为，所以向量对应的复数为3i，即(3，1)设D(x，y)，则(x2，y1)(3，1)，所以解得所以点D对应的复数为5.(2)因为|cos B，所以cos B.因为0B，所以SABCD|sin B7，所以平行四边形ABCD的面积为7.14(选做题)已知z022i，|zz0|.(1)求复数z在复平面内对应的点的轨迹；(2)求当z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值解：(1)设zxyi(x，yR)，由|zz0|，即|xyi(22i)|(x2)(y2)i|，解得(x2)2(y2)22，所以复数z对应的点的轨迹是以Z0(2，2)为圆心，半径为的圆(2) 当z对应的Z点在OZ0的连线上时，|z|有最大值或最小值因为|OZ0|2，半径r，所以当z1i时，|z|min.