1、广东省广州市2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知全集U=1，2，3，4，5，集合M=3，4，5，N=1，2，5，则集合1，2可以表示为（）AMNB（UM）NCM（UN）D（UM）（UN）2（5分）已知向量=（3，4），若|=5，则实数的值为（）AB1CD13（5分）若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数是（）A91B91.5C92D92.54（5分）已知i为虚数单位，复数z=a+bi（a，bR）的虚部b记作Im（z
2、），则Im（）=（）AB1CD15（5分）设抛物线C：y2=4x上一点P到y轴的距离为4，则点P到抛物线C的焦点的距离是（）A4B5C6D76（5分）已知ABC的三边a，b，c所对角分别为A，B，C，且，则cosB的值为（）ABCD7（5分）已知数列an为等比数列，若a4+a6=10，则a7（a1+2a3）+a3a9的值为（）A10B20C100D2008（5分）若直线y=3x上存在点（x，y）满足约束条件 ，则实数m的取值范围是（）A1，+）B（1，+）C（，1D（，1）9（5分）已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则该椎体的俯视图可以是（）ABCD10（5分）已知圆O的圆心为坐标原点
3、，半径为1，直线l：y=kx+t（k为常数，t0）与圆O相交于M，N两点，记MON的面积为S，则函数S=f（t）的奇偶性（）A偶函数B奇函数C既不是偶函数，也不是奇函数D奇偶性与k的取值有关二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分（一）必做题（1113题）11（5分）函数f（x）=ln（x2）的定义域为12（5分）已知e为自然对数的底数，则曲线y=2ex在点（1，2e）处的切线斜率为13（5分）已知函数f（x）=，点O为坐标原点，点An（n，f（n）（nN*），向量=（0，1），n是向量与的夹角，则+的值为三、选做题（1415题，考生只能从中选做一题）（一、坐标系与参
4、数方程选做题）14（5分）在直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为（为参数）和（t为参数）以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C1与C2的交点的极坐标为（二）几何证明选讲选做题15如图，BC是圆O的一条弦，延长BC至点E，使得BC=2CE=2，过E作圆O的切线，A为切点，BAC的平分线AD交BC于点D，则DE的长为四、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）已知函数f（x）=sin（x）+cosx（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若是第一象限角，且f（+）=，求tan（）的值17（12分）从广州某高校男生中随机抽
5、取100名学生，测得他们的身高（单位：cm）情况如表：（1）求a，b，c的值；（2）按表1的身高组别进行分层抽样，从这100名学生中抽取20名担任广州国际马拉松志愿者，再从身高不低于175cm的志愿者中随机选出2名担任迎宾工作，求这2名担任迎宾工作的志愿者中至少有1名的身高不低于180cm的概率 分组频数频率160，165）50.05165，170）ac170，175）350.35175，180）b0.20180，185100.10合计1001.0018（14分）如图1，在边长为4的菱形ABCD中，DAB=60，点E，F分别是边CD，CB的中点，ACEF=O沿EF将CEF翻折到PEF，连接PA
6、，PB，PD，得到如图2的五棱锥PABFED，且PB=（1）求证：BD平面POA；（2）求四棱锥PBFED的体积19（14分）已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1=1，nSn+1（n+1）Sn=，nN*（1）求a2的值；（2）求数列an的通项公式；（3）是否存在正整数k，使得ak、S2k、a4k成等比数列？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由20（14分）已知椭圆C1的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线C2：y2=1的顶点，直线x+y=0与椭圆C1交于A、B两点，且点A的坐标为（，1），点P是椭圆C1上异于点A，B的任意一点，点Q满足=0，=0，且A，B，Q三点不共线（1）求椭圆C1的方
7、程（2）求点Q的轨迹方程（3）求ABQ面积的最大值及此时点Q的坐标21（14分）已知t为常数，且0t1，函数g（x）=（x+）（x0）最小值和函数h（x）=的最小值都是函数f（x）=x3+ax2+bx（a，bR）的零点（1）用含a的式子表示b，并求出a的取值范围；（2）求函数f（x）在区间1，2上的最大值和最小值广东省广州市2015届高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知全集U=1，2，3，4，5，集合M=3，4，5，N=1，2，5，则集合1，2可以表示为（）AMNB（UM）
8、NCM（UN）D（UM）（UN）考点：交、并、补集的混合运算 专题：集合分析：根据元素之间的关系进行求解即可解答：解：M=3，4，5，N=1，2，5，MN=5，（UM）N=1，2，M（UN）=3，4，（UM）（UN）=，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础2（5分）已知向量=（3，4），若|=5，则实数的值为（）AB1CD1考点：向量的模 专题：平面向量及应用分析：由|=5直接计算即可解答：解：=（3，4），=（3，4），|=5，解得|=1，从而=1，故选：D点评：本题考查向量的长度的计算，属基础题3（5分）若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图），其中茎为十位
9、数，叶为个位数，则这组数据的中位数是（）A91B91.5C92D92.5考点：众数、中位数、平均数 专题：概率与统计分析：把茎叶图中的数据按照大小顺序排列，求出这组数据的中位数即可解答：解：根据茎叶图中的数据，按照大小顺序排列为，87、88、90、91、92、93、94、97；这组数据的中位数是=91.5故选：B点评：本题考查了利用茎叶图中的数据求中位数的应用问题，是基础题目4（5分）已知i为虚数单位，复数z=a+bi（a，bR）的虚部b记作Im（z），则Im（）=（）AB1CD1考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算的法则、虚部的定义即可得出解答：解：=，I
10、m（）=，故选：A点评：本题考查了复数的运算的法则、虚部的定义，属于基础题5（5分）设抛物线C：y2=4x上一点P到y轴的距离为4，则点P到抛物线C的焦点的距离是（）A4B5C6D7考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由题意可得点P的横坐标为4，由抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线x=1的距离，由此求得结果解答：解：由于抛物线y2=4x上一点P到y轴的距离是4，故点P的横坐标为4再由抛物线y2=4x的准线为x=1，以及抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离，故点P到该抛物线焦点的距离是4（1）=5，故选B点评：本题主要考查抛物
11、线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题6（5分）已知ABC的三边a，b，c所对角分别为A，B，C，且，则cosB的值为（）ABCD考点：正弦定理 专题：解三角形分析：由正弦定理结合已知可解得：cos=，结合B的范围，即可求得B的值，从而可求cosB的值解答：解：由正弦定理可得：，结合已知，故有：sinB=2sincos=sin，解得：cos=，因为：0B，可得0，所以=，解得B=，所以cosB=cos=，故选：C点评：本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式的应用，属于基本知识的考查7（5分）已知数列an为等比数列，若a4+a6=10，则a7（a1+2a3）+a3a9的值为（）
12、A10B20C100D200考点：等比数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：利用等比数列的性质即可得出解答：解：数列an为等比数列，a7（a1+2a3）+a3a9=a7a1+2a7a3+a3a9=102=100，故选：C点评：本题考查了等比数列的性质，属于基础题8（5分）若直线y=3x上存在点（x，y）满足约束条件 ，则实数m的取值范围是（）A1，+）B（1，+）C（，1D（，1）考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用直线y=3x与x+y+4=0确定交点（1，3），则由条件确定m的取值范围解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由，解得，即
13、交点坐标A（1，3），要使直线y=3x上存在点（x，y）满足约束条件，则A在区域内，如图所示可得m1，实数m的取值范围是1，+）故选：A点评：本题考查线性规划知识的运用，考查学生的理解能力，利用数形结合是解决此类问题的基本方法9（5分）已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则该椎体的俯视图可以是（）ABCD考点：简单空间图形的三视图 专题：空间位置关系与距离分析：由已知中锥体的正视图和侧视图，可得锥体的高为，结合锥体的体积为，可得其底面积为2，进而可得答案解答：解：锥体的正视图和侧视图均为边长为2的等边三角形，故锥体的高为，又锥体的体积为，故锥体的底面面积为2，A中图形的面积为4，不满足要
14、求；B中图形的面积为，不满足要求；C中图形的面积为2，满足要求；D中图形的面积为，不满足要求；故选：C点评：本题考查的知识点是简单几何体的三视图，难度不大，属于基础题10（5分）已知圆O的圆心为坐标原点，半径为1，直线l：y=kx+t（k为常数，t0）与圆O相交于M，N两点，记MON的面积为S，则函数S=f（t）的奇偶性（）A偶函数B奇函数C既不是偶函数，也不是奇函数D奇偶性与k的取值有关考点：函数奇偶性的判断 专题：函数的性质及应用；直线与圆分析：根据直线和圆的位置关系求出圆心到直线的距离以及弦长，求出三角函数的面积，结合函数奇偶性的定义进行判断即可解答：解：圆的标准方程为x2+y2=1，圆
15、心到直线的距离d=，弦MN的长度l=，则MON的面积为S=f（t）=，则f（t）=f（t），故函数f（t）为偶函数故选：A点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，根据条件求出三角形的面积是解决本题的关键二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分（一）必做题（1113题）11（5分）函数f（x）=ln（x2）的定义域为（2，+）考点：函数的定义域及其求法 专题：函数的性质及应用分析：根据对数函数f（x）的解析式，真数大于0，列出不等式，求出解集即可解答：解：函数f（x）=ln（x2），x20；解得x2，该函数的定义域为（2，+）故答案为：（2，+）点评：本题考查了对数函数定义
16、域的应用问题，是基础题目12（5分）已知e为自然对数的底数，则曲线y=2ex在点（1，2e）处的切线斜率为2e考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的概念及应用分析：求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线的斜率解答：解：曲线y=2ex的导数为：y=2ex，曲线y=2ex在点（1，2e）处的切线斜率为：y|x=1=2e1=2e，故答案为：2e点评：本题主要考查函数切线斜率的求解，利用导数的几何意义是解决本题的关键13（5分）已知函数f（x）=，点O为坐标原点，点An（n，f（n）（nN*），向量=（0，1），n是向量与的夹角，则+的值为考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量
17、积的运算；数量积表示两个向量的夹角 专题：三角函数的求值分析：由题意易得=，进而由裂项相消法可得解答：解：由题意可得90n是直线OAn的倾斜角，=tan（90n）=，+=1+=1=，故答案为：点评：本题考查三角函数恒等变换，涉及裂项相消法求和，属中档题三、选做题（1415题，考生只能从中选做一题）（一、坐标系与参数方程选做题）14（5分）在直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为（为参数）和（t为参数）以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C1与C2的交点的极坐标为考点：简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：利用sin2+cos2=1，可把曲线C1的参数方
18、程化为x2+y2=2，由C2（t为参数）化为x+y=2，联立解出交点坐标，化为极坐标即可解答：解：曲线C1的参数方程分别为（为参数），化为x2+y2=2，由C2（t为参数）化为x+y=2，联立，解得x=y=1，曲线C1与C2的交点为P（1，1），可得=，tan=1，可得故答案为：点评：本题考查了参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系、直角坐标化为极坐标，考查了推理能力与计算能力，属于中档题（二）几何证明选讲选做题15如图，BC是圆O的一条弦，延长BC至点E，使得BC=2CE=2，过E作圆O的切线，A为切点，BAC的平分线AD交BC于点D，则DE的长为考点：与圆有关的比例线段 专题：选作题；推
19、理和证明分析：利用切线的性质、角平分线的性质，证明ADE=DAE，可得AE=DE，再利用切割线定理，即可求出DE的长解答：解：AE是圆O的切线，EAC=B，又AD是BAC的平分线，BAD=DACADE=DAE，AE=DE，BC=2CE=2，AE是圆O的切线，AE2=CEBE=3，AE=故答案为：点评：本题考查切线的性质、角平分线的性质，考查切割线定理，考查学生的计算能力，比较基础四、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）已知函数f（x）=sin（x）+cosx（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若是第一象限角，且f（+）=，求tan（）的值考
20、点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：（1）首先对三角函数关系式进行恒等变换，把函数关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期（2）利用（1）求出的函数关系式，进一步求出函数的正弦值和余弦值，进一步求出函数的正切值，最后求出结果解答：解：（1）f（x）=sin（x）+cosx=所以：函数f（x）的最小正周期为：（2）由于f（x）=则：f（）=sin（）=cos=由于是第一象限角所以：sin=则：则：tan（）=点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的周期的应用，三角函数的求值问题，属于基础题型17
21、（12分）从广州某高校男生中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm）情况如表：（1）求a，b，c的值；（2）按表1的身高组别进行分层抽样，从这100名学生中抽取20名担任广州国际马拉松志愿者，再从身高不低于175cm的志愿者中随机选出2名担任迎宾工作，求这2名担任迎宾工作的志愿者中至少有1名的身高不低于180cm的概率 分组频数频率160，165）50.05165，170）ac170，175）350.35175，180）b0.20180，185100.10合计1001.00考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法 专题：概率与统计分析：（1）通过概率的和为1，求出c，
22、然后求解a，b（2）求出抽取的20名志愿者中身高在区间175，180）的4名，记为A，B，C，D；身高在区间180，185）上的有2名，记为E，F，从身高不低于175cm的志愿者中随机选出2名担任迎宾工作，列出所有事件数，求出满足题意的事件数目，然后求解概率解答：（本小题满分12分）（1）解：由0.05+c+0.35+0.20+0.10=1.00，得c=0.30（1分）由，得a=30，（2分）由5+30+35+b+10=100，得b=20（3分）（2）解：依据分层抽样的方法，抽取的20名志愿者中身高在区间175，180）上的有0.2020=4名，记为A，B，C，D； （5分）而身高在区间180
23、，185）上的有0.1020=2名，记为E，F（7分）记“这2名担任迎宾工作的志愿者中至少有1名的身高不低于180cm”为事件M，从身高不低于175cm的志愿者中随机选出2名担任迎宾工作，共有15种不同取法：A，B、A，C、A，D、A，E、A，F、B，C、B，D、B，E、B，F、C，D、C，E、C，F、D，E、D，F、E，F （9分）事件M包含的基本事件有9种：A，E、A，F、B，E、B，F、C，E、C，F、D，E、D，F、E，F （11分）P（M）=为所求 （12分）点评：本小题主要考查古典概型、分层抽样等基础知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及数据处理能力与应用意识18（14分）如图1
24、，在边长为4的菱形ABCD中，DAB=60，点E，F分别是边CD，CB的中点，ACEF=O沿EF将CEF翻折到PEF，连接PA，PB，PD，得到如图2的五棱锥PABFED，且PB=（1）求证：BD平面POA；（2）求四棱锥PBFED的体积考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（1）由三角形的中位线定理可证BDEF，再由菱形的对角线互相垂直证得BDAC即可得到EFAO，再由已知可得EFPO，然后利用线面垂直的判定得答案；（2）设AOBD=H，连接BO，结合已知可得HO=PO=，通过解直角三角形求得PO平面BFED然后求出梯形BFED的面积，代入棱锥的体
25、积公式得答案解答：（1）证明：如图，点E，F分别是边CD，CB的中点，BDEF菱形ABCD的对角线互相垂直，BDACEFACEFAO，EFPOAO平面POA，PO平面POA，AOPO=O，EF平面POABD平面POA（2）解：设AOBD=H，连接BO，DAB=60，ABD为等边三角形BD=4，BH=2，HA=，HO=PO=在RtBHO中，在PBO中，BO2+PO2=10=PB2，POBOPOEF，EFBO=O，EF平面BFED，BO平面BFED，PO平面BFED梯形BFED的面积为，四棱锥PBFED的体积=3点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思
26、想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题19（14分）已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1=1，nSn+1（n+1）Sn=，nN*（1）求a2的值；（2）求数列an的通项公式；（3）是否存在正整数k，使得ak、S2k、a4k成等比数列？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由考点：数列的求和；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由a1=1，nSn+1（n+1）Sn=，nN*取n=1，可得1+a22=1，解得即可（2）由nSn+1（n+1）Sn=，nN*变形为，利用等差数列的通项公式可得，再利用递推式即可得出（3）假设存在正整数k，使得ak、S2k、a4k成等
27、比数列，则=aka4k，代入解出即可解答：解：（1）由a1=1，nSn+1（n+1）Sn=，nN*取n=1，可得1+a22=1，解得a2=2（2）nSn+1（n+1）Sn=，nN*变形为，数列是等差数列，首项为1，公差为，化为，当n2时，an=SnSn1=n，当n=1时，等式也成立，an=n（3）假设存在正整数k，使得ak、S2k、a4k成等比数列，则，=k4k，化为2k+1=2，解得k=，舍去因此不存在正整数k，使得a3、S6、a12成等比数列点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、递推式的应用，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20（14分）已知椭圆C1的中心在坐标
28、原点，两焦点分别为双曲线C2：y2=1的顶点，直线x+y=0与椭圆C1交于A、B两点，且点A的坐标为（，1），点P是椭圆C1上异于点A，B的任意一点，点Q满足=0，=0，且A，B，Q三点不共线（1）求椭圆C1的方程（2）求点Q的轨迹方程（3）求ABQ面积的最大值及此时点Q的坐标考点：轨迹方程；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）求出椭圆的焦点，利用椭圆的定义，可得椭圆C1的方程（2）设Q（x，y），P（x1，y1），由题意，B（，1），利用点Q满足=0，=0，结合点P是椭圆C1上异于点A，B的任意一点，求点Q的轨迹方程（3）由于|AB|
29、=2，故Q到AB的距离最大时，ABQ的面积最大，即可求ABQ面积的最大值及此时点Q的坐标解答：解：（1）双曲线C2：y2=1的顶点为F1（，0），F2（，0），椭圆C1的焦点为F1（，0），F2（，0），椭圆过A（，1），2a=|AF1|+|AF2|=4，a=2，b=，椭圆C1的方程为；（2）设Q（x，y），P（x1，y1）由题意，B（，1），=（x+，y1），=（x1+，y11），=（x，y+1），=（x1，y1+1），由=0，可得（x+）（x1+）=（y1）（y11），=0，可得（x）（x1）=（y+1）（y1+1），两式相乘，可得（x22）（x122）=（y21）（y121），点P是椭圆
30、C1上异于点A，B的任意一点，x12=42y12，2（x22）（y122）=（y21）（y121），y1210时，2x2+y2=5；y121=0时，则P（，1）或P（，1），Q（，1）或Q（，1），满足2x2+y2=5，P与A重合时，P（，1），y=x3代入2x2+y2=5可得Q（，1）或（，2）；同理P与B重合时，Q（，1）或（，2）；Q的轨迹方程为2x2+y2=5，除去（，1）、（，2）、（，1）、（，2）；（3）由于|AB|=2，故Q到AB的距离最大时，ABQ的面积最大，设与直线AB平行的直线为x+y+m=0与2x2+y2=5联立，可得5y2+4my+2c25=0=32m220（2m25
31、）=0，可得m=，m=，y=2，x=；m=，y=2，x=；Q（，2）或（，2）时，ABQ的面积最大，最大为|AB|=点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，有难度21（14分）已知t为常数，且0t1，函数g（x）=（x+）（x0）最小值和函数h（x）=的最小值都是函数f（x）=x3+ax2+bx（a，bR）的零点（1）用含a的式子表示b，并求出a的取值范围；（2）求函数f（x）在区间1，2上的最大值和最小值考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的最值及其几何意义 专题：计算题；压轴题；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法
32、及应用分析：（1）利用基本不等式可得g（x）=（x+）；再由二次函数知h（x）=；从而可得，是方程x2+ax+b=0的两个根；借助根与系数的关系可化简得b=1；再由x2+ax+b=0的两根分别在（1，），（0，1）上可得a2；（2）化简f（x）=x3+ax2+（1）x，再求导f（x）=3x2+2ax+1，从而可判断函数f（x）在区间1，2上单调递减，函数f（x）在1，2上单调递减；从而求函数f（x）在区间1，2上的最值解答：解：（1）0t1，x0，g（x）=（x+）；（当且仅当x=，即x=时，等号成立）h（x）=，故当x=1时，h（x）min=；0t1，1，01，f（x）=x3+ax2+bx=
33、x（x2+ax+b），结合题意可知：，是方程x2+ax+b=0的两个根，+=a，=b；a2=2+2=22b；b=1；再由x2+ax+b=0的两根分别在（1，），（0，1）上知，解得，a2；故b=1，（a2）（2）由（1）得：f（x）=x3+ax2+（1）x，则f（x）=3x2+2ax+1，a2，二次函数f（x）=3x2+2ax+1的图象开口向下，对称轴为x=；函数f（x）在区间1，2上单调递减，又f（1）=3+2a+1=（a2）20，当x1，2时，f（x）f（1）0，函数f（x）在1，2上单调递减；函数f（x）的最大值为f（1）=a；最小值为f（2）=a2+4a6点评：本题考查了基本不等式在求最值中的应用，二次函数配方法求最值，根与系数的关系应用，同时考查了导数的综合应用及学生化简与运算的能力，属于难题