1、第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.2函数的极值与导数课时跟踪检测一、选择题1下列函数存在极值的是()Af(x) Bf(x)xexCf(x)x3x22x3 Df(x)x3解析：若函数f(x)存在极值，则f(x)0有解对于f(x)xex，则f(x)1ex0，x0.当x0；当x0时，f(x)0，所以x0是f(x)xex的极值点故选B.答案：B2设aR，若函数yexax(xR)有大于0的极值点，则()Aa1Ca解析：yexax，yexa.令y0，得exa，xln(a)又x0，ln(a)0，a1，a1.故选A.答案：A3设函数f(x)xex，则()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f
2、(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点解析：f(x)(xex)exxex(x1)ex，令f(x)0，得x1.易知当x1时，f(x)1时，f(x)0，故x1是f(x)的极小值点故选D.答案：D4已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处取得极值10，则a()A4或3 B4或11C4 D3解析：f(x)3x22axb，由题意得解得或当a4，b11时，f(x)3x28x11(3x11)(x1)当x1时，f(x)有极值，当a3，b3时，f(x)3x26x33(x1)2，当x1时，f(x)无极值，舍去，故选C.答案：C5(2019邯郸月考)已知函数f(x)ax3ax2x的两
3、个极值点分别为x1，x2(x1x2)，且A，B，则直线AB必过点()A(1,0) B(2,1)C. D(0，2)解析：f(x)ax2ax1，又f(x)0有两个不相等的实根x1，x2，由题意得直线AB的斜率kABa，直线AB的方程为ya(xx1)，即yaxaxaxaa(x1)，直线AB必过点(1,0)，故选A.答案：A6已知函数f(x)，若方程f(x)a0恰有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是()A0a BaCa解析：f(x)(x0)，f(x)，令f(x)0，则ln x，xe，当x(0，e)时，f(x)0，f(x)单调递增，当x(e，)时，f(x)0，f(x)单调递减，当xe时，f(x)最大
4、，为，f(x)的大致图象如图：要使方程f(x)a0恰有两个不同的实数根，即函数ya与函数yf(x)有两个不同的交点，0a，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x时，f(x)0，函数f(x)单调递减，故x时，f(x)取得极小值，即x0.答案：8(2019遂宁月考)函数f(x)x2aln x(aR)，若f(x)在x2处取得极值，则a的值为_解析：f(x)x，又f(x)在x2处取得极值，f(2)0，即20，a4.答案：49函数yxex在其极值点处的切线方程为_解析：由yxex，得yex(x1)令y0，得x1.当x1时，y1时，y0，x1是函数的极小值点，且极小值为.又kyx10，切线方程为y.答案：
5、y三、解答题10已知函数f(x)ln x，其中aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值解：(1)f(x)ln x(x0)，f(x).由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx知，f(1)a12，a.(2)由(1)知，f(x)ln x，则f(x)，令f(x)0，解得x1或x5.x1不在f(x)的定义域(0，)内，故舍去当x(0,5)时，f(x)0，故f(x)在(5，)内单调递增由此知函数f(x)在x5时取得极小值f(5)ln 5，无极大值11(2019三明期末)已知函数f(x)x3ax2xb在x1处取得极值(1)
6、当b2时，求曲线yf(x)在x0处的切线方程；(2)若函数f(x)有三个零点，求实数b的取值范围解：f(x)3x22ax1，由题意知f(1)0，所以32a10，即a2.所以f(x)x32x2xb.(1)当b2时，f(x)x32x2x2，所以f(x)3x24x1，所以f(0)1，f(0)2，所以f(x)在x0处的切线方程为y(2)x0，即xy20.(2)令f(x)0，则x32x2xb.g(x)x32x2x，则yg(x)与yb的图象有三个交点g(x)3x24x1(3x1)(x1)，所以当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况为x1(1，)g(x)00g(x)增函数极大值减函数极小值增函数所以g，g
7、(1)0，又当x时，y；当x时，y，所以0b，即b0)，由题意及已知得f(1)a2b4，f(1)41128.1b18，联立解得f(x)12ln xx210x1.(2)f(x)的定义域为(0，)，由(1)得f(x)2x10，令f(x)0，得x2或x3.当0x3时，f(x)0，f(x)为增函数，当2x3时，f(x)0，f(x)为减函数f(x)的单调增区间为(0,2)，(3，)，减区间为(2,3)，当x2时，f(x)有极大值f(2)12ln 215，当x3时，f(x)有极小值f(3)12ln 320.13设函数f(x)ln x，则()Ax为f(x)的极大值点Bx为f(x)的极小值点Cx2为f(x)的极大值点Dx2为f(x)的极小值点解析：f(x)ln x，f(x).又函数的定义域为(0，)，当0x2时，f(x)2时，f(x)0，f(x)在(2，)上单调递增，x2为f(x)的极小值点故选D.答案：D