1、山东省泰安实验中学2019-2020学年高一数学下学期开学考试试题（含解析）考试范围：人教A版必修二第六九章：考试时间：120分钟；注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班缀、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第卷（选择题）选择题分单选题和多选题两个部分一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）1.已知，则（ ）A. 2B. C. 4D. 【答案】C【解析】【分析】先求出的坐标，再利用向量的模的公式求解.【详解】由题得=（0,4）所以故选C【点睛】本题主要考查向量的坐标的求法和向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.在中，内角的对边分别为，且，则的面积为(
2、)A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将边的关系式整理成余弦定理的形式，求得，进而得到；根据三角形面积公式求得结果.【详解】由得：，即： 本题正确选项：【点睛】本题考查余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用，关键是能够将已知的边的关系式整理为余弦定理的形式，从而求得角.3.复数为虚数单位）的虚部是（ ）A. B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】对复数进行化简，可得虚部.【详解】对原式进行化简：所以复数的虚部为-1故选D【点睛】本题考查了复数的概念，对复数进行运算化简是解题的关键，属于基础题.4.设M为的重心，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】延长
3、交于点D，由M为的重心，可知，再根据向量的三角形运算法则计算即可得出答案。【详解】连接，并延长交于点D.由M为的重心，可知.，得，故选D【点睛】本题考查平面向量基本定理，属于基础题。5.平面截球所得截面的面积为，球心到截面的距离为，此球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：设截面小圆半径为r,大圆半径为R，球心到截面距离为d，则，所以，根据公式得：，因此球的体积为考点：球的相关计算6.总体由编号为01，02，29，30的30个个体组成，现从中9抽取一个容量为6的样本，请以随机数表第1行第3列开始，向右读取，则选出来的第6个个体的编号为（ ）70 29 17 12 1
4、3 40 33 12 38 26 13 89 51 0356 62 18 37 35 96 83 50 87 75 97 12 55 93A. 12B. 13C. 03D. 40【答案】C【解析】【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论【详解】从随机数表第行第列开始由左到右依次选取两个数字中小于30的编号依次为29，17，12，13，26，03，则第6个个体的编号为26故选C【点睛】本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础7.如图所示是小王与小张二人参加某射击比赛的预赛的五次测试成绩的折线图，设小王与小张成绩的样本平均数分别为和，方差分别为和，则（ ）A
5、. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据图形分析数据的整体水平和分散程度.【详解】观察题图可知，实线中数据都大于或等于虚线中的数据，所以小王成绩的平均数大于小张成绩的平均数，即；显然实线中的数据波动都大于或等于虚线中的数据波动，所以小王成绩的方差大于小张成绩的方差，即.故选：C.【点睛】此题考查根据数据特征辨析平均数和方差，关键在于准确分析图形反映的数据特征而并非计算.8.已知球的直径SC2，A，B是该球球面上的两点，AB1，ASCBSC45，则棱锥的体积为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】证明SC面ABO，利用，求出棱锥的体积【详解】AB1，OAB为
6、正三角形又BSCASC45，且SC为直径，ASC与BSC均为等腰直角三角形BOSC，AOSC.又AOBOO，SC面ABO.，故选D.【点睛】本题考查线面垂直，考查棱锥的体积，考查学生分析解决问题的能力，考查三棱锥的体积的求法，考查运算求解能力，是中档题二、多选题（共4各小题，每小题5分，共20分，错选不得分，选不全得3分）9.已知向量，则可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】设出的坐标，根据已知条件列方程组，解方程组求得的可能取值.【详解】设，依题意有，解得或.故选：BD【点睛】本小题主要考查平面向量模的坐标运算，考查两个向量平行的坐标表示，属于基础题.10.某人在A
7、处向正东方向走后到达B处,他向右转150,然后朝新方向走3km到达C处,结果他离出发点恰好,那么x的值为( )A. B. C. D. 3【答案】AB【解析】【分析】由余弦定理得，化简即得解.【详解】由题意得,由余弦定理得,解得或.故选：AB.【点睛】本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.已知为虚数单位，则下面命题正确的是（ ）A. 若复数，则B. 复数满足，在复平面内对应的点为，则C 若复数，满足，则D. 复数的虚部是3【答案】ABC【解析】【分析】直接运算可判断A；由复数的几何意义和复数模的概念可判断B；由共轭复数的概念，运算后可判断C；由复数虚部的概念
8、可判断D；即可得解.【详解】由，故A正确；由在复平面内对应的点为，则，即，则，故B正确；设复数，则，所以，故C正确；复数的虚部是-3，故D不正确.故选：A、B、C【点睛】本题综合考查了复数的相关问题，属于基础题.12.正方体的棱长为2,分别为的中点,则（ ）A. 直线与直线垂直B. 直线与平面平行C. 平面截正方体所得的截面面积为D. 点与点到平面的距离相等【答案】BC【解析】【分析】A利用线面垂直的定义进行分析；B作出辅助线利用面面平行判断；C作出截面然后根据线段长度计算出截面的面积；D通过等体积法进行判断.【详解】A若，又因为且，所以平面，所以，所以，显然不成立，故结论错误；B如图所示，取
9、的中点，连接，由条件可知：，且，所以平面平面，又因为平面，所以平面，故结论正确；C如图所示，连接，延长交于点，因为为的中点，所以，所以四点共面，所以截面即为梯形，又因为，所以，所以，故结论正确；D记点与点到平面的距离分别为，因为，又因为，所以，故结论错误.故选：BC.【点睛】本题考查空间立体几何的直线、平面间的关系及截面和体积有关的计算的综合应用，难度一般.第卷（非选择题）非选择题共两个部分，第一部分为填空题，第二部分为解答题三、填空题13.已知向量，.若，则实数_.【答案】5【解析】【分析】由可得，利用数量积的坐标运算可得.【详解】因为，故即，故，填.【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计
10、算长度或模长，通过用 ；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.14.某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取50名职工作样本，若采用分层抽样方法，则岁年龄段应抽取_人【答案】15【解析】【分析】利用扇形统计图和分层抽样的知识直接求解【详解】某单位200名职工的年龄分布情况如图所示现要从中抽取50名职工作样本，采用分层抽样方法，则岁年龄段应抽取：故答案为15【点睛】本题考查岁年龄段应抽取人数的求法，考查扇形统计图和分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC，c，ABC的面积为，则a+b的值为_【
11、答案】5【解析】【分析】由题意可得，根据面积公式和余弦定理可得，即可得解.【详解】由，可得：，由面积可得，所以，由已知及余弦定理得，故，从而，所以故答案为：5【点睛】本题考查了三角形面积公式和余弦定理的应用，属于中档题.16.正三棱锥PABC高为2，侧棱与底面所成角为45，则二面角PABC的正切值是_，点A到侧面PBC的距离是_【答案】 (1). 2 (2). 【解析】【分析】作底面，交面于点，连接并延长交于点，取中点，连结，则点在上，是二面角的平面角，根据棱锥的高、结合侧棱与底面成的角，可得；求得，利用，可得点到面的距离【详解】作底面，交面于点，连接并延长并于点，取中点，连结，则点在上，是二
12、面角的平面角，正三棱锥的高为2，侧棱与底面所成的角为，二面角的正切值，又，设，则，由勾股定理得，解得，设点到面的距离为，解得，点到面的距离为故答案为【点睛】本题考查二面角的正切值的求法，考查点到平面的距离的求法，考查线面角的定义、棱锥的体积公式，考查空间想象能力，是中档题求二面角的大小既能考查线线垂直关系，又能考查线面垂直关系，同时可以考查学生的计算能力，是高考命题的热点，求二面角的方法通常有两个思路：一是利用空间向量，建立坐标系，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大；二是传统方法，求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角.四、解答题（共6小题，第17题10分，其余题目1
13、2分，共70分）17.已知非零向量，满足，且.（1）求；（2）当时，求向量与夹角的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据向量数量积的运算律，结合，即可求解；（2）由向量的夹角公式，即可求出结论.【详解】（1），；（2），所以向量与的夹角的值为.【点睛】本题考查向量的数量积运算，涉及到向量的运算律、向量的模长、向量的夹角，考查计算求解能力，属于基础题.18.已知复数，（）当时，求的值；（）若是纯虚数，求a的值；（）若在复平面上对应的点在第二象限，求a的取值范围【答案】（）；（）1；（）【解析】【分析】（）写出共轭复数，由复数乘法法则计算；（）由复数的概念可求；（）计算出的代数形式
14、，得对应点坐标，由点在第二象限可得的范围【详解】（）由题意；（）由题意为纯虚数，则，所以；（），对应点，它是第二象限点，则，解得故的范围是【点睛】本题考查考查的乘法和除法运算，考查复数的概念，共轭复数的概念，考查复数的几何意义掌握复数的运算法则是解题关键19.已知的三个内角，的对边分别为，若.（1）求角的大小；（2）若，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正余弦平方和为1的性质将余弦化为正弦，再由正弦定理角化边可得，进而利用余弦定理可得解；（2）由正弦定理可得，进而可得，利用三角恒等变换化简结合三角函数性质求最值即可.【详解】（1）因为，故，由正弦定理可得，由余弦定理
15、得，又因为，故.（2）因为，则有，其中，故的最大值为.【点睛】本题主要考查了正余弦定理解三角形及三角恒等变换，属于中档题.20.如图所示，是的直径，点在上，是所在平面外一点，是的中点.（1）.求证：平面；（2）.若是边长为6的正三角形，且，求三棱锥的体积.【答案】(1) 证明见解析 （2）【解析】【分析】(1)由条件有则可证明结论（2）由条件可证明平面,则得到答案.【详解】(1)是的直径，则由是的中点，又是的中点.在中，可得，且平面,平面.所以平面.（2）由是的直径，点在上，则,即.又，且.所以平面.是边长为6的正三角形，则. 又【点睛】本题考查线面平行的证明和求三棱锥的体积，属于中档题.21
16、.“水是生命之源”，但是据科学界统计可用淡水资源仅占地球储水总量的，全世界近人口受到水荒的威胁某市为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）：一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图（1）求直方图中的值；（2）设该市有60万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2.5吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使的居民每月的用水不按议价收费，估计的值，并说明理由【答案】(1)；(2)万；(3)吨.【解
17、析】【分析】（1）通过频率之和为，构造方程求得结果；（2）计算出样本中不低于吨人数占比，从而求得全市的人数；（3）由频率分布直方图频率分布可知，然后根据平均分布列方程求得相应结果.【详解】（1）由概率统计相关知识，可知各组频率之和的值为即频率分布直方图各小矩形面积之和为解得：（2）由图可知，不低于吨人数所占百分比为全市月均用水量不低于吨的人数为：（万）（3）由（2）可知，月均用水量小于吨的居民人数所占百分比为：即的居民月均用水量小于吨，同理，的居民月均用水量小于吨故假设月均用水量平均分布，则（吨）注：本次估计默认组间是平均分布，与实际可能会产生一定误差【点睛】本题考查补全频率分布直方图、利用频
18、率分布直方图估计总体数据特征的问题，属于基础题.22.如图，在四棱锥中，平面平面，在中，为的中点，四边形是等腰梯形，（）求异面直线与所成角的正弦值；（）求证：平面平面；（）求直线与平面所成角的正切值【答案】（）；（）证明见解析；（）【解析】【分析】（）因为/，则即为所求，解三角形即可容易求得；（）先证平面，即可求线面垂直推证面面垂直；（）由（）中所证，即可知即为所求，再解三角形即可求得结果.【详解】（）因为四边形是等腰梯形，故可得/，故即为所求夹角或其补角，在中，因为，且为底边中点，故可得，又因为，故可得，则.故异面直线与所成角的正弦值为.（）因为平面平面，且交线为，又因为平面，则平面，又因为平面，故可得；又在四边形中：过作，垂足为，因为，故容易得，则满足，则；又因为平面，且，故可得平面，又因为平面，故平面平面，即证（）由（）可得平面，则即为所求线面角.在中，因为，故可得.故直线与平面所成角的正切值为.【点睛】本题考查异面直线夹角的求解，线面角的求解，以及由线面垂直推证面面垂直，属综合中档题.
