1、第五章 矩阵的特征值与特征向量 同步练习(一)1、矩阵的特征值是( )A、 B、C、 D、2、零为矩阵A的特征值是A为不可逆的( )A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、非充分非必要条件3、给定矩阵及向量，对任意的向量，则 。4、矩阵的特征值是 。5、已知矩阵有特征值及对应特征向量，并有特征值及对应向量，则矩阵A= 。6、，则。7、的特征值为_。8、求矩阵的特征值和特征向量。9、给定矩阵M=及向量，(1)求M的特征值及对应的特征向量；(2)确定实数a,b使向量可表示为；(3)利用(2)中表达式间接计算。10、对下列兔子、狐狐狸模型进行分析：(1)分别确定以上模型对应矩阵的特征值；(2)
2、分别确定以上模型最大特征值对应的特征向量,及较小特征值对应的特征向量:(3)如果初始种群中兔子与狐狸的数量,分别把第n年种群中兔子与狐狸的数量表示为和的线性组合,即；(4)利用(3)中表达式分析当n越来越大时, 的变化趋势。参考答案：1、A 2、C3、 4、5、 6、7、8、；属于特征值的一个特征向量为，的一个特征向量为。解：矩阵M的特征值满足方程： 解得矩阵M的两个特征值：。（1）设属于特征值的特征向量为，则它满足方程，即，亦即，则可取作为属于特征值的一个特征向量。（2）同理可得的一个特征向量为。9、（1）；的一个特征向量为，的特征向量为；（2）；（3）；。10、令，则模型可表示为，（1）矩阵M有两个特征值：；（2）属于最大特征值的特征向量，属于较小特征值的特征向量取；（3）由则 即（4）当n越来越大时，越来越大，并趋向于无穷大，则和分别越来越大，趋向于无穷大。说明在此模型下，兔子和狐狸的数量将随时间增加而增加。
