1、2015-2016学年广西柳州市铁路一中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的1已知集合M=x|y=lnx，N=x|2x8，则MN=（）ABx|0x3Cx|x3Dx|x32sin（）的值等于（）ABCD3在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角为（）弧度A1B2C3D44某四面体的三视图如图所示该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）A2B2C2D45函数f（x）=ln（x+1）的零点所在的大致区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）6已知某产品的广告费用x万元与销售额y万元的统计数据如表所示：
2、x（万元）0134y（万元）2.24.34.86.7从散点图分析，y与x线性相关，且=0.95x+，则据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A2.6万元B8.3万元C7.3万元D9.3万元7已知函数f（x）=kaxax（a0且a1）在R上是奇函数，且是增函数，则函数g（x）=loga（xk）的大致图象是（）ABCD8给出下列结论：若=，则ABCD是平行四边形；cossintan；若，则；若=，则=则以上正确结论的个数为（）A0个B1个C2个D3个9把函数y=sin（2x+）的图象向右平移（0）个单位长度，所得的图象关于y轴对称，则的最小值为（）ABCD10直线xsin+y+2=0的倾斜角的
3、取值范围是（）A0，）B0，）C0，D0，（，）11如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则tan的值是（）ABCD12已知正方体ABCDA1B1C1D1的一个面A1B1C1D1在半径为的半球底面上，A、B、C、D四个顶点都在此半球面上，则正方体ABCDA1B1C1D1的体积为（）ABC2D1二、填空题：本题共4小题，共20分.13已知，则=14一个总体分为A、B两层，用分层抽样法从总体中抽取容量为10的样本，已知B层中个体甲被抽到的概率是，则总体中的个体数是15在区间2，4上随机地取一个数x，若x满足|
4、x|m的概率为，则m=16已知圆C：x2+y22ax2（a1）y1+2a=0（a1）对所有的aR且a1总存在直线l与圆C相切，则直线l的方程为三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17已知角的终边经过点P（a，2），且cos=（1）求sin，tan的值；（2）求的值18某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段90，100），100，110），140，150）后得到如下部分频率分布直方图观察图形的信息，回答下列问题：（I）求分数在120，130内的频率，并补全这个频率分布直方图；（）统计方法中，同一组数据常
5、用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（）用分层抽样的方法在分段110，130的学生中抽取一个容量为6的样本，将样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段120，130内的概率19已知函数f（x）=Asin（2x+）+k（A0，0，）的最小正周期为，函数的值域为，且当x=时，函数f（x）取得最大值（1）求f（x）的表达式，并写出函数f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）在区间0，上的取值范围20如图，ABC中，O是BC的中点，AB=AC，AO=2OC=2将BAO沿AO折起，使B点与图中B点重合（1）求证：AO平面BOC；（2）当三棱锥BAOC的体积取最大时，求二
6、面角ABCO的余弦值；（3）在（2）的条件下，试问在线段BA上是否存在一点P，使CP与平面BOA所成的角的正弦值为？证明你的结论，并求AP的长21已知函数f（x）=ax+（1）从区间（2，2）内任取一个实数a，设事件A=函数y=f（x）2在区间（0，+）上有两个不同的零点，求事件A发生的概率；（2）当a0，x0时，f（x）=ax+若连续掷两次骰子（骰子六个面上标注的点数分别为1，2，3，4，5，6）得到的点数分别为a和b，记事件B=f（x）b2在x（0，+）恒成立，求事件B发生的概率22已知f（x）=asin（x+）+1a（xR）（1）当x0，时，恒有|f（x）|2，求实数a的取值范围；（2）
7、若f（x）=0在0，上有两个不同的零点，求实数a的取值范围2015-2016学年广西柳州市铁路一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的1已知集合M=x|y=lnx，N=x|2x8，则MN=（）ABx|0x3Cx|x3Dx|x3【考点】交集及其运算【分析】通过求出函数的定义域得到M，不等式的解法求出集合N，然后求解交集【解答】解：集合M=x|y=lnx=x|x0，N=x|2x8=x|x3，则MN=x|0x3故选：B【点评】本题考查交集的基本运算，是基础题2sin（）的值等于（）ABCD【考点
8、】运用诱导公式化简求值【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果【解答】解：sin（）=sin=sin（2）=sin=故选：C【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键3在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角为（）弧度A1B2C3D4【考点】扇形面积公式【分析】利用面积公式求出弧长，然后求出扇形所对的圆心角【解答】解：扇形的面积为1，所以扇形的弧长为2，所以扇形所对圆心角的弧度是2故选B【点评】本题是基础题，考查扇形的有关知识，考查计算能力，送分题4某四面体的三视图如图所示该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）A2B2C2D4【考点
9、】棱锥的结构特征；点、线、面间的距离计算【分析】本题只要画出原几何体，理清位置及数量关系，由勾股定理可得答案【解答】解：由三视图可知原几何体为三棱锥，其中底面ABC为俯视图中的钝角三角形，BCA为钝角，其中BC=2，BC边上的高为2，PC底面ABC，且PC=2，由以上条件可知，PCA为直角，最长的棱为PA或AB，在直角三角形PAC中，由勾股定理得，PA=2，又在钝角三角形ABC中，AB=故选C【点评】本题为几何体的还原，与垂直关系的确定，属基础题5函数f（x）=ln（x+1）的零点所在的大致区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）【考点】函数的零点与方程根的关系【分析】函数f
10、（x）=ln（x+1）的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反【解答】解：f（1）=ln（1+1）2=ln220，而f（2）=ln31lne1=0，函数f（x）=ln（x+1）的零点所在区间是 （1，2），故选B【点评】本题考查函数的零点的判定定理，连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区间端点处的函数值异号6已知某产品的广告费用x万元与销售额y万元的统计数据如表所示：x（万元）0134y（万元）2.24.34.86.7从散点图分析，y与x线性相关，且=0.95x+，则据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A2.6万元B8.3万元C7.3万元D9.3万元【考点】线性回归
11、方程【分析】首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把6代入，预报出结果【解答】解：由题意， =2， =4.5，样本中心点为（2，4.5），数据的样本中心点在线性回归直线上， =0.95x+，4.5=0.952+，=2.6，x=6时， =0.956+2.6=8.3万元故选：B【点评】本题考查线性回归方程，考查预报变量的值，考查样本中心点的应用，考查学生的计算能力，属于基础题7已知函数f（x）=kaxax（a0且a1）在R上是奇函数，且是增函数，则函数g（x）=loga（xk）的大致图象是（）ABCD【考点】函数的图象；奇偶
12、性与单调性的综合【分析】本题考查的知识点是奇偶性的应用，求出k=1，关键单调性求出a的范围，利用对数函数y=logax左右平移即可【解答】解：因为f（x）=kaxax为奇函数，所以f（x）=f（x），即kaxax=（kaxax），得（k1）（ax+ax）=0所以k=1，又f（x）=axax是增函数，所以a1将y=logax向右平移一个的单位即得g（x）=loga（x1）的图象故选：A【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，要求熟练掌握函数奇偶性的性质，以及对数函数的图象和性质8给出下列结论：若=，则ABCD是平行四边形；cossintan；若，则；若=，则=则以上正确结论的个数为（）A0个B
13、1个C2个D3个【考点】命题的真假判断与应用【分析】特殊情况当四点不在同一条直线上时才成立；根据三角函数线可判断正确；考虑当为零向量时的特殊情况；若=，则与为同向的共线向量，比如=3也成立等【解答】解：若=，当四点不在同一条直线上时，才有ABCD是平行四边形，故错误；cossintansin=sinsin，根据三角函数线可判断正确；若，当为零向量时，不一定，故错误；若=，则与为同向的共线向量，但不一定相等，故错误故选B【点评】考查了向量共线的定义和零向量与任意向量都共线和三角函数线的知识，属于基础题型，应熟练掌握9把函数y=sin（2x+）的图象向右平移（0）个单位长度，所得的图象关于y轴对称
14、，则的最小值为（）ABCD【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式为y=sin（2x+2），再根据所得图象关于y轴对称可得2=k+，kz，由此求得的最小正值【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数解析式为y=sin2（x）+=sin（2x+2）关于y轴对称，则2=k+，kz，即 =，kz，故的最小正值为：故选：D【点评】本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题10直线xsin+y+2=0的倾斜角的取值范围是（）A0，）B0，
15、）C0，D0，（，）【考点】直线的倾斜角【分析】由直线的方程可确定直线的斜率，可得其范围，进而可求倾斜角的取值范围【解答】解：直线xsin+y+2=0的斜率为k=sin，1sin1，1k1倾斜角的取值范围是0，）故选B【点评】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，属基础题11如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则tan的值是（）ABCD【考点】三角形中的几何计算【分析】4个相同的直角三角形与中间的面积是小正方形拼成的一个面积是1大正方形，设角形短直角边为x，然后根据余弦定理（在直角三角形中也可称为勾股定理）
16、，构造出关于x的方程，解方程求出三角形各边长，即可得到的各三角函数值，进而得到tan的值【解答】解：设三角形较小直角边为xS小正方形=是，小正方形边长=，直角三角形另一条直角边为x+，S大正方形=1，大正方形边长=1，根据勾股定理，x2+（x+）2=12，解得x=，sin=，cos=tan=，故选：A【点评】本题考查的知识点是余弦定理，方程思想，根据已知，设出求知的边长，根据余弦定理（在直角三角形中也可称为勾股定理），我们构造出关于x的方程，是解答本题的关键12已知正方体ABCDA1B1C1D1的一个面A1B1C1D1在半径为的半球底面上，A、B、C、D四个顶点都在此半球面上，则正方体ABCD
17、A1B1C1D1的体积为（）ABC2D1【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】正方体底面A1B1C1D1的中心为半球的球心，从而求出正方体的棱长，得出体积【解答】解：正方体ABCDA1B1C1D1的内接于半径为的半球，正方形A1B1C1D1的中心O为半球的球心，设正方体棱长为a，则OA1=，OA=，a=，正方体的体积V=a3=2故选：A【点评】本题考查了圆与内接正方体的关系，寻找求的半径与正方体棱长的关系是解题关键，属于中档题二、填空题：本题共4小题，共20分.13已知，则=【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】由题意，可利用商数关系对化简，变成关于tan的分式，再代入tan的值，计算求值
18、即可得到出正确答案【解答】解：由题意分式的分子与分母都除以cos可得又=故答案为【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用，解题的关键是由题设条件确定分式化简方向，将之变形为关于tan的分式，从而为求值带来方便数学解题中对解析式进行变形是一项技巧性的工作，需要答题者对题设条件进行综合分析确定解题变形的方向，平时学习时应注意积累这方面的经验14一个总体分为A、B两层，用分层抽样法从总体中抽取容量为10的样本，已知B层中个体甲被抽到的概率是，则总体中的个体数是100【考点】分层抽样方法【分析】根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，得到总体中每个个体被抽到的概率，根据所抽的样本容量，求出总体个数
19、【解答】解：用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本由B层中每个个体被抽到的概率都为，知道在抽样过程中每个个体被抽到的概率是，总体中的个体数为10=100故答案为：100【点评】本题考查了样本容量与总体的关系以及抽样方法的应用问题，是基础题目15在区间2，4上随机地取一个数x，若x满足|x|m的概率为，则m=3【考点】几何概型【分析】画出数轴，利用x满足|x|m的概率为，直接求出m的值即可【解答】解：如图区间长度是6，区间2，4上随机地取一个数x，若x满足|x|m的概率为，所以m=3故答案为：3【点评】本题考查几何概型的求解，画出数轴是解题的关键16已知圆C：x2+y22ax2（a1）y
20、1+2a=0（a1）对所有的aR且a1总存在直线l与圆C相切，则直线l的方程为y=x+1【考点】直线与圆的位置关系【分析】设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，比较系数得到方程组，求出恒与圆相切的直线的方程【解答】解：圆的圆心坐标为（a，1a），半径为： |a1|显然，满足题意切线一定存在斜率，可设所求切线方程为：y=kx+b，即kxy+b=0，则圆心到直线的距离应等于圆的半径，即=|a1|恒成立，即2（1+k2）a24（1+k2）a+2（1+k2）=（1+k）2a2+2（b1）（k+1）a+（b1）2恒成立，比较系数得，解之得k=1，b=1，所以所求的直线方程为y=x+1故答案为：y=
21、x+1【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆系方程的应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17已知角的终边经过点P（a，2），且cos=（1）求sin，tan的值；（2）求的值【考点】任意角的三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系；三角函数的化简求值【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式以及三角函数定义求解即可（2）利用诱导公式化简求解即可【解答】解：（1），且过P（a，2），为第三象限的角 （2）【点评】本题考查三角函数化简求值，三角函数定义，考查计算能力18某校从参加高一年级期中考试的学生中随机
22、抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段90，100），100，110），140，150）后得到如下部分频率分布直方图观察图形的信息，回答下列问题：（I）求分数在120，130内的频率，并补全这个频率分布直方图；（）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（）用分层抽样的方法在分段110，130的学生中抽取一个容量为6的样本，将样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段120，130内的概率【考点】频率分布直方图【分析】（I）频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，而频率的和等于1，可求出分数在120，130内的频率，即可求出矩形
23、的高，画出图象即可（）同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，将中点值与每一组的频率相差再求出它们的和即可求出本次考试的平均分；（）先计算110，120）、120，130）分数段的人数，然后按照比例进行抽取，设从样本中任取2人，至多有1人在分数段120，130）为事件A，然后列出基本事件空间包含的基本事件，以及事件A包含的基本事件，最后将包含事件的个数求出题目比值即可【解答】解（I）分数在120，130）内的频率为：1（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=10.7=0.3，补全后的直方图如右（II）平均分为： 1250.3+1350.25+1450.05=121（III）由题意，
24、110，120）分数段的人数为：600.15=9人120，130）分数段的人数为：600.3=18人用分层抽样的方法在分数段为110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本需在110，120）分数段内抽取2人，并分别记为m，n；在120，130）分数段内抽取4人，分别记为a，b，c，d设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段120，130）内”为事件A，则基本事件共有：（m，n），（m，a），（m，d），（n，a），（n，d），（a，b），（c，d）共15种则事件A包含的基本事件有：（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d）共9种
25、【点评】本题主要考查了频率及频率分布直方图，以及平均数和概率的有关问题，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识19已知函数f（x）=Asin（2x+）+k（A0，0，）的最小正周期为，函数的值域为，且当x=时，函数f（x）取得最大值（1）求f（x）的表达式，并写出函数f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）在区间0，上的取值范围【考点】三角函数的最值；正弦函数的单调性【分析】（1）由题意利用三角函数的周期性和最值求得A、k、的值，从而求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递增区间（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在区间0，上
26、的取值范围【解答】解：（1）函数函数f（x）=Asin（2x+）+k的值域为，A0，又，=2，当时，函数f（x）取得最大值，又，令 2k4x2k+，解得x+（kZ），所以f（x）的增区间为（kZ）（2）因为x，所以4x，所以sin，所以f（x），故f（x）在区间上的取值范围是【点评】本题主要考查三角函数的周期性和最值，正弦函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题20如图，ABC中，O是BC的中点，AB=AC，AO=2OC=2将BAO沿AO折起，使B点与图中B点重合（1）求证：AO平面BOC；（2）当三棱锥BAOC的体积取最大时，求二面角ABCO的余弦值；（3）在（2）的条件下，试问在线
27、段BA上是否存在一点P，使CP与平面BOA所成的角的正弦值为？证明你的结论，并求AP的长【考点】直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法【分析】（1）证明AOOB，AOOC，然后证明AO平面BOC；（2）在平面BOC内，作BDOC于点D，当D与O重合时，三棱锥BAOC的体积最大，过O点作OHBC于点H，连AH，说明AHO即为二面角ABCO的平面角在三角形AOH中求解二面角AB1CO的余弦值（3）连接OP，说明OC平面BOA，CP与平面BOA所成的角为CPO，证明CPAB，然后求解即可【解答】解：（1）证明：AB=AC且O是BC中点，AOBC即AOOB，AOOC，又OBOC=O，AO平面BOC
28、；（2）在平面BOC内，作BDOC于点D，则由（）可知BDOA又OCOA=O，BD平面OAC，即BD是三棱锥BAOC的高，又BDBO，所以当D与O重合时，三棱锥BAOC的体积最大，过O点作OHBC于点H，连AH，由（）知AO平面BOC，又BC平面BOC，BCAOAOOH=O，BC平面AOH，BCAHAHO即为二面角ABCO的平面角在，故二面角AB1CO的余弦值为（3）连接OP，在（2）的条件下，易证OC平面BOA，CP与平面BOA所成的角为CPO，又在ACB中，CPAB，【点评】本题考查直线与平面垂直，二面角的平面镜以及直线与平面所成角，考查空间想象能力以及计算能力21已知函数f（x）=ax+
29、（1）从区间（2，2）内任取一个实数a，设事件A=函数y=f（x）2在区间（0，+）上有两个不同的零点，求事件A发生的概率；（2）当a0，x0时，f（x）=ax+若连续掷两次骰子（骰子六个面上标注的点数分别为1，2，3，4，5，6）得到的点数分别为a和b，记事件B=f（x）b2在x（0，+）恒成立，求事件B发生的概率【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】（1）根据二次函数的性质求出a的范围，从而求出P（A）即可；（2）得到，求出满足条件的基本事件的个数，从而求出满足条件的概率即可【解答】解：（1）函数y=f（x）2在区间（0，+）上有两个不同的零点，f（x）2=0，即ax22x+4=0有两个
30、不同的正根x1和x2，（2）由a0，x0，f（x）b2在x（0，+）恒成立，（*），当a=1时，b=1适合（*），当a=2，3，4，5时，b=1，2均适合（*），当a=6时，b=1，2，3均适合（*），满足（*）的基本事件个数为1+8+3=12，而基本事件总数为66=36，【点评】本题考查了二次函数的性质，函数的最值问题，考查概率公式的应用，是一道中档题22已知f（x）=asin（x+）+1a（xR）（1）当x0，时，恒有|f（x）|2，求实数a的取值范围；（2）若f（x）=0在0，上有两个不同的零点，求实数a的取值范围【考点】正弦函数的图象【分析】（1）x0，时，求出sin（x+）的取值范围
31、，讨论a的取值，从而求出使|f（x）|2的a的取值范围；（2）x0，时，求出sin（x+）的取值，由f（x）=0得出asin（x+）=a1，讨论a的取值，求出使f（x）=0时有两个零点的a的取值范围【解答】解：（1）当x0，时，x+，sin（x+），1；a=0时，f（x）=1，满足题意；a0时，有a+1af（x）a+1a，即a+1a2，解得0a+1；当a0时， a+1af（x）a+1a，即a+1a2，解得0a33；综上，实数a的取值范围是33， +1；（2）x0，时，x+，sin（x+）0，1；当f（x）=0时， asin（x+）+1a=0，即asin（x+）=a1；所以a=0，有0=1，不成立；a0时，有aa1a，a不存在；a0时，有aa1a，解得a1；综上，实数a的取值范围是（，1）【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目
