1、专题21 内切球与外接球一高考命题类型1.构造长方体、正方体（长方体、正方体的体对角线即为外接球的直径）2.几何体放进球中求解3.内切球的切割法4.与三视图有关的球的问题5.折展转问题中的球6.数学文化中的球的问题1认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，掌握柱、锥的简单几何体性质 2了解空间图形的两种不同表示形式(三视图和直观图)，了解三视图、直观图与它们所表示的立体模型之间的内在联系3能画出简单空间图形及实物的三视图与直观图，能识别三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图4会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图2.三视图空间几何体的三视图由平行投影
2、得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括正视、侧视、俯视3空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x轴、y轴，两轴相交于点O，且使xOy45，已知图形中平行于x轴、y轴的线段在直观图中平行于x轴、y轴；已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，其表面积为侧面积与底面积之和；(2)组合体的表面积要注
3、意重合部分的处理；(3)三棱锥体积的计算用等体积法计算时，三棱锥的顶点和底面是相对的，可以变换顶点和底面，使体积计算容易；(4)求空间几何体的体积除利用公式法外，还常用分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算问题的常用方法.二高考命题陷阱解读和训练1.构造长方体、正方体（长方体、正方体的体对角线即为外接球的直径）例1. 已知三棱锥的四个顶点都在同一个球面上， ， ， ， 平面，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【方法规律总结】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有
4、：若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；若面（），则（为外接圆半径）；可以转化为长方体的外接球；特殊几何体可以直接找出球心和半径.练习1. 已知在三棱锥中， 平面， ， ， ，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D练习2. 已知长方体中，,则长方体外接球的表面积为A. B. C. D. 【答案】C【解析】长方体中， 长方体的对角线 长方体的各顶点都在同一球面上，球的一条直径为 可得半径 因此，该球的表面积为 故选C.练习3.已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且，则此三棱锥的外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可知：可将三棱锥放入长方体中考
5、虑，则长方体的外接球即三棱锥的外接球，故球的半径为长方体体对角线的一半，设，则 ，故 ，得球的体积为，故选B.2.几何体放进球中求解例2. 已知某几何体的三视图如图所示，正视图是斜边长为的等腰直角三角形，侧视图是直角边长为的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】所以点O即为该几何体的外接球的球心，球半径为，所以表面积为，故选C.【方法规律总结】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球
6、心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.练习1.已知是球的直径， 是球球面上的两点，且，若三棱锥的体积为，则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D练习2.已知SC是球O的直径,A,B是球O球面上的两点, 是边长为的等边三角形,若三棱锥S-ABC的体积为,则球O的表面积为A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可知， 的面积为又三棱锥S-ABC的体积为由三棱锥的体积公式可得点S到平面ABC的距离为4是边长为的等边三角形的外接圆的半径r=1根据三角形中位线定理
7、可知，球心到平面ABC的距离是点S到平面ABC的距离的一半，即为2设球的半径为R，则R2=r2+22=5球的表面积S=故选C点睛：求多面体的外接球的面积或体积问题是高考常见问题，属于高频考点，有一定的难度.求多面体的外接球的半径的基本方法有三种，第一种：当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可还原为长方体，长方体的体对角线就是外接圆的直径；第二种：“套球”当棱锥或棱柱是较特殊的形体时，在球内画出棱锥或棱柱，利用底面的外接圆为球小圆，借助底面三角形或四边形求出小圆的半径，再利用勾股定理求出球的半径，第三种：过两个多面体的外心作两个面的垂线，交点即为外接球的球心，再通过关系求半径.练习3.在体积为的三
8、棱锥SABC中，ABBC2，ABC90，SASC，且平面SAC平面ABC，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积是()A. B. C. D. 12【答案】B【解析】外接圆半径 三棱锥的体积为， 到底面的距离 球心 到平面的距离为 ，由平面平面，利用勾股定理可得球的半径为： 球的体积： 故选B练习4.在四棱锥中， 底面，底面为正方形， ， ，记四棱锥的外接球与三棱锥的外接球的表面积分别为，则_【答案】【解析】设正方形的边长为，设为的中点，因为平面，而平面，所以，又，故，又，故平面， 平面，所以，故为直角三角形， 为斜边，所以同理也为直角三角形，结合 ，所以，又， ，所以平面， 平面，所
9、以， 为直角三角形，所以， 为三棱锥 外接球的球心，且半径同理设为的中点，则为四棱锥外接球的球心，且半径，所以填点睛：球的半径的计算，关键在球心位置的确定，三棱锥中均为直角三角形，因此外接球的球心就是的中点，因为它到四个顶点的距离是相等的同理四棱锥外接球的球心就是的中点练习5. 在四面体中， ，二面角的余弦值是，则该四面体的外接球的表面积是_【答案】【解析】练习6如图，在四面体中， 平面， 是边长为的等边三角形，若，则四面体外接球的表面积为_【答案】【解析】设的中心为，作交的中垂线于， 为外接球的中心，四面体外接球的表面积为： 点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的
10、接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解3.内切球的切割法例3. 正方体内切球与外接球体积之比为()A. 1 B. 13 C. 13 D. 19【答案】C故答案为C。点睛：几何体的内切球和外接球问题是高考的热点也是难点；内切球常见的解决方法是等体积法求球的半径；外接球也是找球的半径，常见方法有，提圆心，建系，直角三角形共斜边，如果三棱锥的侧棱长都相等则，顶点在底面的投影一定落在底面的外心上，而球心就在三棱锥
11、的高线上。练习1. 如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现我们来重温这个伟大发现圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为()A. ，1 B. ，1 C. ， D. ， 【答案】C【解析】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，。 。.选C。练习2.一个正方体的棱长为2，现有三个球，球切于正方体的各面，球切于正方体的各棱，球过正方体的各顶点，则这个三个球的表面积之和为_【答案】【解析】由题可知球的半径分别为三个球的表面积之和为故答案为练习3.如图是某几
12、何体的三视图.（1）求该几何体外接球的体积；（2）求该几何体内切球的半径.【答案】(1) ；(2) .试题解析：（1）由三视图可知，几何体是三条侧棱两两垂直的三棱锥，如图，设为三棱锥.以为长、宽、高构造一个长方体，则该长方体的对角线长等于其外接球的直径，设该外接球半径为.，.外接球的体积为.（2）设内切球的半径为，球心为，连接，把三棱锥分成四个小三棱锥，四个小三棱锥的体积和等于三棱锥的体积. .解得.所求几何体内切球的半径为.点睛：本题主要考查了三视图以及几何体的外接球和内切球半径问题，属于中档题。本题在求三棱锥外接球半径时，采用的是构造长方体，由该长方体的对角线长等于其外接球的直径，求内切球
13、半径时，根据，把三棱锥分成四个小三棱锥，四个小三棱锥的体积和等于三棱锥的体积，再算出内切球半径。4.与三视图有关的球的问题例4. 某三棱锥的三视图如图所示，若该三棱锥的体积是，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A故答案为：A。【方法规律总结】：这个题目考查的是三视图和球的问题相结合的题目，涉及到三视图的还原，外接球的体积或者表面积公式。一般三试图还原的问题，可以放到特殊的正方体或者长方体中找原图。找外接球的球心，常见方法有：提圆心；建系，直角三角形共斜边则求心在斜边的中点上。练习1. 某三棱柱的三视图如图粗线所示，每个单元格的长度为1，则该三棱柱外接球的表面积为
14、（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】把三视图还原为几何体是：底面是等腰直角三角形的直三棱柱，侧棱长为2，底面三角形直角边为2，斜边为2，取前后面的斜边中点连线的中点为点，则O为该三棱柱外接球的球心，由此求得球的半径为，所以球的表面积为.故选C练习2某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形是边长为1的正六边形，点为的中点，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个六棱锥，其底面是边长为的正六边形，有一个侧面是底边上的离为的等腰三角形，且有侧面底面，设球心为，半径为到底面的距离为，底面正六边形外接球圆半径为，解得此六棱锥
15、的外接球表面枳为，故选C.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力以及外接球的表面积，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.练习3.如图所示， 某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是， 则它的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得： 它的表面积是
16、： 故选A练习4如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由三视图可知该几何体是一个组合体：在一个半球上叠加一个圆锥，且挖掉一个相同的圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等，因此该几何体的体积，故选A.练习5.如图，网格纸上的小正方形的边长为，粗实线画出的某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】练习6. 某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 根据三视图恢复原几何体为三棱锥P-ABC如图，其中，
17、 ， 平面 ，计算可得， ，放在外接球中，把直角三角形恢复为正方形，恰好在一个球小圆中，AC为球小圆的直径，分别过和做圆的垂面，得出矩形和矩形，两矩形对角线交点分别为，连接并取其中点为，则【点睛】如何求多面体的外接球的半径？基本方法有种，第一种：当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可还原为长方体，长方体的体对角线就是外接圆的直径；第二种：“套球”当棱锥或棱柱是较特殊的形体时，在球内画出棱锥或棱柱，利用底面的外接圆为球小圆，借助底面三角形或四边形求出小圆的半径，再利用勾股定理求出球的半径，第三种：过两个多面体的外心作两个面的垂线，交点即为外接球的球心，再通过关系求半径.本题使用“套球”的方法，恢复
18、底面为正方形，放在一个球小圆里，这样画图方便一些，最主要是原三视图中的左试图为直角三角形，告诉我们平面平面，和我们做的平面是同一个平面，另外作平面和平面的作用是找球心，因为这两个矩形平面对角线的交点所连线段的中点就是球心，再根据正、余弦进行计算就可解决.5.折展转问题中的球例5. 如图，在ABC中，ABBC，ABC90，点D为AC的中点，将ABD沿BD折起到PBD的位置，使PCPD，连接PC，得到三棱锥PBCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是()A. 7 B. 5C. 3 D. 【答案】A【解析】依题意可得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形，且BD平面PCD，设三棱锥P
19、BDC外接球的球心为O，PCD外接圆的圆心为O1，则OO1平面PCD，所以四边形OO1DB为直角梯形，由BD，O1D1，及OBOD，可得OB，则外接球的半径R.所以该球的表面积S球4R27.答案A。6.数学文化中的球的问题例6. 九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥为鳖臑， 平面，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C故选C.练习1.17世纪日本数学家们对于数学关于体积方法的问题还不了解，他们将体积公式“VkD3”中的常数k称为“立圆术”或“玉积率”，创用了求“玉积率”的独特方法“会玉术”，其中，D为直径，类似地，对于等
20、边圆柱(轴截面是正方形的圆柱叫做等边圆柱)、正方体也有类似的体积公式VkD3，其中，在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长假设运用此“会玉术”，求得的球、等边圆柱、正方体的“玉积率”分别为k1，k2，k3，那么，k1k2k3()A. 1 B. 2 C. 13 D. 1【答案】D【解析】球中， ； 等边圆柱中， ； 正方体中， ；所以.故选D.三高考真题演练1.【2017课标3，理8】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为ABCD【答案】B【解析】【考点】 圆柱的体积公式【名师点睛】(1)求解以空间几何体的体积的关键是确定几何体的元素
21、以及线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.2.【2017课标II，理4】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）A B C D【答案】B【解析】【考点】 三视图；组合体的体积【名师点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合
22、考虑。求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解。3.【2017天津，理10】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .【答案】 【解析】设正方体边长为 ，则 ，外接球直径为.【考点】 球【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果
23、设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法.4.【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】试题分析：该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的,设球的半径为,则,解得,所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和故选A考点：三视图及球的表面积与体积【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表
24、面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键.5.【2014高考北京理第8题】如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上若EF1，A1Ex，DQy，DPz(x，y，z大于零)，则四面体PEFQ的体积()A与x，y，z都有关B与x有关，与y，z无关C与y有关，与x，z无关D与z有关，与x，y无关【答案】D【解析】考点：点到面的距离;锥体的体积.【名师点睛】本题考查空间下几何体中相应点的坐标以及四面体的体积，点到面的距离，本题属于基础题，要准确确定三角形的底和高，利用锥体的体积求出多面体的体积.6.【 2014湖南7】一
25、块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【考点定位】三视图 内切圆 球 三棱柱【名师点睛】解决有关三视图的题目，主要是根据三视图首先得到几何体的空间结构图形，然后运用有关立体几何的知识进行发现计算即可，问题在于如何正确的判定几何体的空间结构，主要是根据“长对正，高平齐，宽相等”进行判断.7.【2015高考山东，理7】在梯形中， .将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）（A） （B） （C） （D） 【答案】C【解析】直角梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面
26、所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为： 故选C.【考点定位】1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积.【名师点睛】本题考查了空间几何体的结构特征及空间几何体的体积的计算，重点考查了圆柱、圆锥的结构特征和体积的计算，体现了对学生空间想象能力以及基本运算能力的考查，此题属中档题.8.【2014高考陕西版理第5题】已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ） 【答案】【解析】试题分析：根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线，故，即得，所以该球的体积，故
27、选.考点：正四棱柱的几何特征；球的体积.【名师点晴】本题主要考查的是正四棱柱的几何特征；球的体积，属于容易题解题时一定要注意正四棱柱的几何特征（实际上是一个特殊的长方体），求出球的直径，进而得到半径，然后利用球的体积公式直接运算即可9.【2014新课标，理6】如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【考点定位】1.三视图；2.简单几何体的体积.【名师点睛】本题考查了三视图，直观图，组合体的体积，属于中档题，注意由
28、三视图还原几何体的解题的关键，注意计算的准确性10.【2015高考新课标2，理9】已知A,B是球O的球面上两点，AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )A36 B.64 C.144 D.256【答案】C【解析】如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C【考点定位】外接球表面积和椎体的体积【名师点睛】本题以球为背景考查空间几何体的体积和表面积计算，要明确球的截面性质，正确理解四面体体积最大时的情形，属于中档题11.【2015高考新课标1，理6】九章算术是我国古代内容极为丰富的数学
29、名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r，则=，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为1.6222，故选B.【考点定位】圆锥的性质与圆锥的体积公式【名师点睛】本题以九章算术中的问题为材料，试题背景新颖，解答本题的关键应想到米堆是圆锥
30、，底面周长是两个底面半径与圆的和，根据题中的条件列出关于底面半径的方程，解出底面半径，是基础题.12.【2015高考新课标1，理11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20，则r=（ ）（A）1 （B）2 （C）4 （D）8【答案】B【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为=16 + 20，解得r=2，故选B.【考点定位】简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式【名师点睛】本题考查简单组合体的三视图的识别，是常
31、规提，对简单组合体三三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状，再根据“长对正，宽相等，高平齐”的法则组合体中的各个量.13.【2016高考新课标3理数】在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，则的最大值是（ ）（A）4 （B） （C）6 （D） 【答案】B【解析】考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积【思维拓展】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解14.【2015高考安徽，理7】一个四面体
32、的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【考点定位】1.空间几何体的三视图与直观图；2.空间几何体表面积的求法.【名师点睛】三视图是高考中的热门考点，解题的关键是熟悉三视图的排放规律：长对正，高平齐，宽相等.同时熟悉常见几何体的三视图，这对于解答这类问题非常有帮助，本题还应注意常见几何体的体积和表面积公式.15.【2017江苏，6】 如图,在圆柱内有一个球,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱的体积为,球的体积为,则的值是 .OO1O2(第6题) 【答案】 【解析】设球半径为，则故答案为【考点】圆柱体积【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解 (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解
