1、专题一集合与常用逻辑用语(见学生用书P1)(见学生用书P1)1常用数集的专用符号自然数集N，正整数集N*或N，整数集Z，有理数集Q，实数集R2集合的关系(1)集合与元素的关系如果a是集合A的元素，那么可表示为aA；如果a不是集合A的元素，那么可表示为aA(2)集合与集合的关系若A是B的子集，则可表示为AB；若A是B的真子集，则可表示为AB(3)集合相等定义：如果两个集合中的元素完全相同，则两集合相等；表示方法：集合A与集合B相等可表示为AB；如果集合A与集合B满足AB且BA，则A与B相等3集合A和B的交集是指由属于A并且属于B的所有元素组成的集合，用符号表示为AB，用描述法表示为ABx|xA，
2、且xB，用Venn图表示为.4集合A和B的并集是指由属于A或属于B的所有元素组成的集合，用符号表示为AB，用描述法表示为ABx|xA，或xB，用Venn图表示为5设集合I为全集，集合A是它的一个子集，A的补集是指由属于集合I，但不属于集合A的所有元素组成的集合，用符号表示为IA，用描述表示为IAx|xI，但xA，用Venn图表示为6ABAAB，ABABA，I(AB)(IA)(IB)，I(AB)(IA)(IB)7四种命题及其关系8充分条件与必要条件(1)如果pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果pq，qp，则p是q的充要条件9逻辑联结词命题中的或、且、非叫逻辑联结词命题pq，pq
3、，綈p的真假判断pqpqpq綈p真【全,品中&高*考+网】真真真假真假假真假假真假真真假假假假真10.全称量词(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：xM，p(x)，读作：“对任意xM，都有p(x)成立”11存在量词(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号表示(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：x0M，p(x0)，读作：“存在一个x0M，使p(x0)成立”12含
4、有一个量词的命题的否定命题命题的否定xM，p(x)x0M，綈p(x0)x0M，p(x0)xM，綈p(x)(见学生用书P2)考点一集合及其运算考点精析1集合的元素具有确定性、互异性、无序性，在求解集合问题时，要特别注意这三个性质在解题中的应用即在分析问题时，要看能否利用“三性”找到解题的切入点；题目解答出来后，再检验其元素是否满足“三性”2含参数的集合问题是本部分的一个重要考向，解题时应根据集合元素的互异性多挖掘题目中的隐含条件，并注意分类讨论思想、数形结合思想在解题中的运用3集合问题多与函数、方程、不等式等知识联系在一起，因此要注意不同知识之间的融会贯通，要善于从函数、方程、不等式的角度去理解
5、用描述法表示的集合，从而借助函数、方程、不等式的知识与方法去解决问题4在解题中要特别注意空集的特殊性，它往往导致我们在解题中出现错误，所以要善于总结空集在解题中的特殊性，避免因忽视空集而出现错误例11(2015北京卷)若集合Ax|5x2，Bx|3x3，则AB()Ax|3x2 Bx|5x2Cx|3x3 Dx|5x3考点：集合的交集运算分析：集合A、B已知，直接在数轴上将集合A、B表示出来，数形结合求出AB.解析：在数轴上将集合A、B表示出来，如图所示由交集的定义可得，AB为图中阴影部分，即x|3x2答案：A点评：本题主要考查了集合的交集运算，利用数轴进行集合的交、并、补运算是常用方法例 12(2
6、015陕西卷)设集合Mx|x2x，Nx|lg x0，则MN()A0，1 B(0，1 C0，1) D(，1考点：并集及其运算分析：分别求出集合M、N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论解析：Mx|x2x0，1，Nx|lg x0x|0x1，所以MN0，1，故选A.答案：A点评：本题主要考查集合的基本运算，利用条件求出集合M、N是解决本题的关键例 13已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若NIM，则MN()AM BNCI D考点：集合间的关系分析：本题可利用韦恩图解决，由题可知N是M的真子集解析：由NIM，作韦恩图可知NM，则MNM，故选A.答案：A点评：本题主要考查集合间的关系，用韦
7、恩图可直观解决例 14(2014长沙二模)若三个非零且互不相等的实数a、b、c满足，则称a、b、c是调和的；若满足ac2b，则称a、b、c是等差的若集合P中元素a、b、c既是调和的，又是等差的，则称集合P为“好集”若集合Mx|x|2 014，xZ，集合Pa，b，cM.则：(1)“好集”P中的元素最大值为_；(2)“好集”P的个数为_考点：元素与集合关系的判断分析：(1)根据“好集”的定义，可解关于a，b，c的方程组，用b把另外两个元素表示出来，再根据“集合Mx|x|2 014，xZ，集合Pa，b，cM”构造出关于b的不等式，求出P中最大的元素(2)结合第一问的结果，因为b是整数，可以求出b的最
8、大值，从而确定P的个数解析：(1)，且ac2b，(ab)(a2b)0，ab(舍)，或a2b，c4b.令2 0144b2 014，得503b503，P中最大元素为4b45032 012.(2)由(1)知P2b，b，4b，且503b503，“好集”P的个数为25031 006.答案：(1)2 012(2)1 006点评：这是一道新定义题，关键是理解好题意，将问题转化为方程(组)或不等式问题，则问题迎刃而解规律总结由上述例题可知，对于集合问题的考查，其命题规律如下：1直接送分型：直接给出具体集合(即给出集合元素的集合)，求其交、并、补集运算，或判断其集合间关系，或求其子集的个数由于这类问题比较简单，
9、解答这类问题只需准确把握基本知识和基本方法，即可拿满分，如例11.2具体综合型：求具体集合的交、并、补运算，或判断其集合间关系，或求其子集的个数问题，但在给出具体集合时，不是直接给出，而是用描述法给出，在描述集合元素所具有属性时，往往涉及到不等式，函数与方程等知识，如例12.3抽象集合型：没有给出集合的具体元素，只给出一些性质，如例13.4新定义集合型：给出新定义，结合集合的相应知识进行求解如例14.对策：对于直接送分型问题，准确把握基本知识和方法，注意查漏补缺即可作为二轮复习，我们需要重点关注和重点突破的是后面三种类型变式训练【11】 (2014福建卷)已知集合a，b，c0，1，2，且下列三
10、个关系：a2；b2；c0有且只有一个正确，则100a10bc等于_解析：由a，b，c0，1，2得，a、b、c的取值有以下情况：当a0时，b1、c2或b2、c1，此时不满足条件；当a1时，b0、c2或b2、c0，此时不满足条件；当a2时，b1、c0，此时不满足条件；当a2时，b0、c1，此时满足条件；综上得，a2、b0、c1，代入100a10bc201.答案：201【12】 (2015广东卷)若集合E(p，q，r，s)|0ps4，0qs4，0rs4且p，q，r，sN，F(t，u，v，w)|0tu4，0v0时，f(x)0，此时函数f(x)单调递增；当1x0时，f(x)nBnN*，f(n)N*或f(
11、n)nCn0N*，f(n0)N*且f(n0)n0Dn0N*，f(n0)N*或f(n0)n0考点：全称命题的否定形式的写法分析：直接根据全称命题的否定是特称命题求解解析：根据全称命题的否定是特称命题，可知选D.答案：D点评：写全称命题的否定时，要把量词“”改为“”，并且否定结论，注意把“且”改为“或”例 22(2015天津卷)设xR，则“|x2|0”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：绝对值不等式、一元二次不等式的解法以及充分条件、必要条件分析：先求出不等式的解集，再根据充分条件、必要条件的判断方法进行判断解析：|x2|11x211x0x1，所以“|x
12、2|0”的充分不必要条件，故选A.答案：A点评：本题考查了绝对值不等式、一元二次不等式以及充要条件，属于基础题例 23(2014长郡)(1)已知实数集Ax|a1xb1，a1b10，Bx|a2xb2，a2b20，证明：AB的充要条件是；(2)已知实数集Ax|a1x2b1xc10，a1b1c10，Bx|a2x2b2xc20，a2b2c20，问是AB的什么条件？请给出说明过程【全,品中&高*考+网】考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；集合的相等分析：(1)根据实数集Ax|a1xb1，a1b10，Bx|a2xb2，a2b20，根据等式的性质，易将AB等价变形，易得AB，即AB的充要条件是.(2)
13、可以先假定，然后判断AB是否成立，然后再假设AB成立，然后分A与B是否为空集两种情况进行分类讨论，即可得到结论解析：(1)A，B，AB.AB的充要条件是.(2)“”是“AB”的充分不必要条件证明：(充分性)若x0A，即x0是方程a1x2b1xc10的解，则a1xb1x0c10，而非零实数a1，b1，c1和a2，b2，c2满足.设k0，则可得k(a2xb2x0c2)0，所以a2xb2x0c20，即x0是方程a2x2b2xc20的解，即x0B，于是AB.同理可证BA，所以AB.必要性不成立，反例：如AB.点评：本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，集合的相等等根据等式的性质，结合集
14、合相等的定义，对集合相等进行等价转化，是解答本题的关键规律总结充要关系的判定问题是本考点的热点问题一般主要以选择题和填空题的形式进行考查，试题难度不大，但涉及的知识点较多，主要涉及函数、不等式、立体几何、解析几何等内容预计2016年的高考可能会从以下四个方向进行命题：(1)以其他知识模块内容为背景，考查充要条件的判断，由于充要条件涉及的知识面比较广，每年的考题背景都会有所变化，多以函数的性质、不等式的性质及其应用、解析几何中的直线与圆、圆锥曲线的位置关系以及空间中的线面关系等为主(2)以其他知识模块内容为背景，考查充要条件的探求，尤其要注意逻辑联结词“非”与充要条件相结合的问题(3)考查利用条
15、件与结论之间的充要关系求解参数的取值范围(4)与新定义问题结合在一起，考查充要条件的判断变式训练【21】 (2015山东潍坊调研)已知p：“对任意的x2，4，有log2xa0”，q：“存在xR，使x22ax2a0”若p，q均为命题，而且“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是_解析：由p：“对任意的x2，4，有log2xa0”，即alog2x得a(log2x)min1，可知p：a1；由q：“存在xR，使x22ax2a0”，知4a24(2a)0，解得a1或a2.因为“p且q”是真命题，故a2或a1.答案：(，21【22】 (2012无为县模拟)已知命题p：1，命题q：x22x1m0(m0)，若非
16、p是非q的必要不充分条件，那么实数m的取值范围是_解析：由题意，p：x0)，綈q：x22x1m0，(x1)2m，解得綈q：x1.綈p是綈q的必要不充分条件，即m4.故实数m的取值范围是4，)答案：4，)例 24(2014唐山二模)已知命题p：函数ye|x1|的图象关于直线x1对称，q：函数ycos2x的图象关于点对称，则下列命题中的真命题为()Apq Bp綈qC綈pq D綈p綈q考点：复合命题的真假分析：先根据指数函数图象的性质，推断命题p的真假，然后根据余弦函数的性质推断命题q的真假解析：函数ye|x|为偶函数，函数ye|x|关于y轴对称，函数ye|x1|的图象由函数ye|x|的图象向右平移
17、一个单位获得，函数ye|x1|的图象关于直线x1对称，命题p为真命题令cos0，即2xk(kZ)，求得x.当k0时，x，点为ycos的图象的对称点，命题q为真命题pq为真命题，p綈q为假命题，綈pq为假命题，綈p綈q为假命题答案：A点评：本题主要考查考生对复合命题的理解，关键是正确判断原命题的真假例 25(2013湖南卷)设函数f(x)axbxcx，其中ca0，cb0.(1)记集合M(a，b，c)|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且ab，则(a，b，c)M所对应的f(x)的零点的取值集合为_(2)若a，b，c是ABC的三条边长，则下列结论正确的是_(写出所有正确结论的序号)x(，1)，
18、f(x)0；xR，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；若ABC为钝角三角形，则x(1，2)，使f(x)0.考点：命题的真假判断与应用；函数的零点；进行简单的合情推理分析：(1)由集合M中的元素满足的条件，得到cab2a，求得的范围，解出函数f(x)axbxcx的零点，利用不等式可得零点x的取值集合(2)对于，把函数式f(x)axbxcx变形为f(x)axbxcxcx，利用指数函数的单调性即可证得结论成立；对于，利用取特值法说明命题是正确的；对于，由ABC为钝角三角形说明f(2)0，由零点的存在性定理可得命题正确解析：(1)因为ca，且cab2a，所以2，则lnln 20.令f(x)
19、axbxcx0，则2，所以x1.所以0x1.(2)因为f(x)axbxcxcx，又1，10.所以命题正确令x1，a2，b4，c5，则ax，bx，cx.由于，不能构成一个三角形的三条边长，所以命题正确若三角形为钝角三角形，则a2b2c20，f(2)a2b2c20.所以x(1，2)，使f(x)0.所以命题正确答案：(1)x|02n，则綈p为()AnN，n22n BnN，n22nCnN，n22n DnN，n22n解析：綈p：nN，n22n，故选C.答案：C【24】 (2014辽宁卷)设a，b，c是非零向量，已知命题p：若ab0，bc0，则ac0；命题q：若ab，bc，则ac，则下列命题中真命题是()
20、Apq BpqC(綈p)(綈q) Dp(綈q)解析：(方法1)取ac(1，0)，b(0，1)，显然ab0，bc0，但 ac10，p是假命题a，b，c是非零向量，由ab知axb，由bc知byc，axyc，ac，q是真命题综上知，pq是真命题，pq是假命题，又綈p为真命题，綈q是假命题，(綈p)(綈q)，p(綈q)都是假命题(方法2)由于a，b，c都是非零向量，ab0，ab.bc0，bc.如图，则可能ac，ac0，命题p是假命题，綈p是真命题命题q中，ab，则a与b方向相同或相反；bc，则b与c方向相同或相反，故a与c方向相同或相反，ac，即q是真命题，则綈q是假命题，故pq是真命题，pq，(綈p
21、)(綈q)，p(綈q)都是假命题答案：A(见学生用书P6)例设命题p：关于x的不等式a1x2b1xc10与a2x2b2xc20的解集相同；命题q：，则命题p是命题q的()A充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考场错解：因为，所以不等式a1x2b1xc10与a2x2b2xc20是等价的不等式，解集相同，所以q能推出p；而不等式a1x2b1xc10与a2x2b2xc20的解集相同不能得出，所以选B.专家把脉：因为，若a1与a2的符号不同，这时a1x2b1xc10与a2x2b2xc20的解集不相同，如x23x20与x23x20，尽管1，但它们的解集不相同，所以q不能推出
22、p.对症下药：因为，若a1与a2的符号不同，这时a1x2b1xc10与a2x2b2xc20的解集不相同，所以q不能推出p；不等式x2x30与x210的解集相同，但，所以p不能推出q，所以选D.专家会诊：(1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念：当“若p则q”形式的命题为真时，就记作pq，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假(2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“”要熟悉它的各种同义词语：“等价于”，“当且仅当”，“必须且只需”，“，反之也真”等(3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又
23、是概念所具有的性质(4)从集合观点看，若AB，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若AB，则A、B互为充要条件(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).(见学生用书P149)一、选择题1(2015广东卷)设集合M，N，则MN()A B1，4 C0 D1，4解析：因为Mx|(x4)(x1)04，1，Nx|(x4)(x1)01，4，所以MN，故选A.答案：A2(2015广东实验中学第一次阶段考试)设集合A，B(x，y)|y3x，则AB的子集的个数是()A4 B3 C2 D1解析： 集合A， A中的元素为椭圆1上的点，AB中的元素
24、为椭圆和指数函数y3x图象交点，如图，可知其有两个不同交点，记为A1，A2，则AB的子集有，A1，A2，A1，A2，共4个，故选A.答案：A3(2013上海卷)设常数aR，集合Ax|(x1)(xa)0，Bx|xa1，若ABR，则a的取值范围为()A(，2) B(，2C(2，) D2，)解析：当a1时，A(，1a，)，Ba1，)，若ABR，则a11，1a2；当a1时，易得AR，此时ABR；当a3x0”的否定是“xR，x213x”；“函数f(x)cos2axsin2ax的最小正周期为”是“a1”的必要不充分条件；“x22xax在x1，2上恒成立”“(x22x)min(ax)max在x1，2上恒成立
25、”【全,品中&高*考+网】“平面向量a与b的夹角是钝角”的充分必要条件是“ab0”A1 B2C3 D4解析：特称命题的否定为全称命题，正确；中f(x)cos 2ax，其最小正周期为时，即a1，正确；不正确；不正确，当ab0，a，b的夹角可能为.答案：B二、填空题7若集合Ax|(x1)23x7，xR，则AZ中有_个元素解析：由(x1)23x7得x25x6m的解集为R.若命题“pq”为真，命题“pq”为假，则实数m的取值范围是_解析：因为p：f(x)在区间(0，)上是减函数，所以12m0mm的解集为R，所以m0.要保证命题“pq”为真，命题“pq”为假，则需要两个命题中只有一个为真，而另一个为假，
26、解得0m.答案：11(2014长郡二模)已知集合M1，2，3，100，A是集合M的非空子集，把集合A中的各元素之和记作S(A)(1)满足S(A)8的集合A的个数为_；(2)S(A)的所有不同取值的个数为_解析：(1)一个元素：8；两个元素：1、7，2、6，3、5，三个元素：1、3、4，1、2、5，满足S(A)8的集合A的个数为6.(2)对于S(A)来说，由于它是集合A中的各元素之和，同时A又是集合M的非空子集，且1231005 050，则可知S(A)将取尽1到5 050的所有数，S(A)的取值个数为5 050.答案：(1)6(2)5 050三、解答题12设命题p：实数x满足x24ax3a20，
27、命题q：实数x满足(1)若a1，p且q为真，求实数x的取值范围；(2)若非p是非q的充分不必要条件，求实数a的取值范围解析：(1)命题p：实数x满足x24ax3a20，由x24ax3a20，得(x3a)(xa)0，所以ax3a，当a1时，1x3，p为真命题时，实数x的取值范围：1x3.又命题q：实数x满足由解得所以q为真时，实数x的取值范围：2x3.若p且q为真，p真q真，则2x3非p是非q的充分不必要条件，AB.03，即1a2.实数a的取值范围是(1，213定义域为D的函数f(x)，如果对于区间I内(ID)的任意两个数x1、x2都有f f(x1)f(x2)成立，则称此函数在区间I上是“凸函数”(1)判断函数f (x)lg x在R上是否是“凸函数”，并证明你的结论；(2)如果函数f (x)x2在1，2上是“凸函数”，求实数a的取值范围解析：(1)设x1，x2是R上的任意两个数，则f (x1)f (x2)2f lg x1lg x22lglglg 10，f .函数f(x)lg x在R上是“凸函数”(2)对于1，2上的任意两个数x1，x2，均有f f(x1)f(x2)成立，即，整理得(x1x2)2a(x1x2)2x1x2(x1x2)若x1x2，a可以取任意值若x1x2，得ax1x2(x1x2)，8x1x2(x1x2)1，a8.综上所述得a8.