1、2.6双曲线及其方程2.6.1双曲线的标准方程学 习 目 标核 心 素 养1掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决实际问题(重点)2掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程(重点)3理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题(难点)1通过对双曲线的定义，标准方程的学习，培养数学抽象素养2借助于双曲线标准方程的推导过程，提升逻辑推理、数学运算素养前面学习了椭圆及其几何性质，了解了椭圆形状与离心率e有关，在现实生活中还有一类曲线，与椭圆并称为“情侣曲线”，即双曲线，它的形状在现实中很常见如发电厂的冷却塔的形状，上、下两头粗，中间细，截面图的形状就是本节要学习的双曲线，它的标准方程
2、和性质又如何？人们不禁要问，为什么建成这样的双曲线型冷却塔，而不建成竖直的呢？这就需要我们学习与双曲线相关的内容1双曲线定义一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a|F1F2|则平面上满足|PF1|PF2|2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距，双曲线也可以通过用平面截两个特殊的圆锥面得到，因此双曲线是一种圆锥曲线思考1：双曲线的定义中，若2a|F1F2|，则点P的轨迹是什么？2a|F1F2|呢？提示若2a|F1F2|，点P的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a|F1F2|，点P的轨迹不存
3、在思考2：定义中若常数为0，则点P的轨迹是什么？提示此时P的轨迹为线段F1F2的垂直平分线2双曲线的标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形焦点坐标(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)a，b，c的关系式c2a2b2思考3：双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？提示双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2c2a2，即c2a2b2，其中ca，cb，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2a2c2，即a2b2c2，其中ab0，ac，c与b的大小关系不确定思考4：如何确定双曲线标准方程的
4、类型？提示焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型，若x2的系数为正，则焦点在x轴上，若y2的系数为正，则焦点在y轴上1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线()(2)在双曲线标准方程1中，a0，b0且ab()(3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系是ab()答案(1)(2)(3)提示(1)差的绝对值是常数，且02a|F1F2|才是双曲线(2)当ab时，方程也表示双曲线，故该说法错误(3)在双曲线中a与b的大小关系不确定2双曲线y21的焦距为()A4B8C D2Ba215，b21，c2a2b
5、216，c4,2c83若点M在双曲线1上，双曲线的焦点为F1，F2，且|MF1|3|MF2|，则|MF2|等于()A2 B4C8 D12B双曲线中a216，a4,2a8，由双曲线定义知|MF1|MF2|8，又|MF1|3|MF2|，所以3|MF2|MF2|8，解得|MF2|44点P到两定点F1(2,0)，F2(2,0)的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹方程为 x21因为|F1F2|42c，所以c2又2a2，a1，故b2c2a23，所以点P的轨迹方程为x21双曲线定义的应用探究问题1双曲线定义中距离的差为什么要加绝对值？提示不加绝对值，图象只为双曲线的一支，设F1、F2表示双曲线的左、右焦点，
6、若|MF1|MF2|2a，则点M在右支上，若|MF2|MF1|2a，则点M在左支上2若点M在双曲线上，一定有|MF1|MF2|2a吗？提示一定若|MF1|MF2|2a(02a|F1F2|)，则动点M的轨迹为双曲线，反之一定成立【例1】已知F1，F2是双曲线1的两个焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2|32试求F1PF2的面积思路探究根据双曲线的定义及余弦定理求出F1PF2即可解由1得a3，b4，c5由双曲线定义及P是双曲线左支上的点得|PF1|PF2|6，|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，又|PF1|PF2|32，|PF1|2|PF2|2100，由余弦定理得cosF
7、1PF20，F1PF290，SF1PF2|PF1|PF2|161(变换条件)若本例中的标准方程不变，点P是双曲线上的一点，且0，求PF1F2的面积解因为0，所以，不妨设点P在右支上，所以有解得|32，所以SPF1F2|162(变换条件)若把本例条件“|PF1|PF2|32”换成“|PF1|PF2|25”，其他条件不变，试求F1PF2的面积解由1得a3，b4，c5，由|PF1|PF2|25，可设|PF1|2k，|PF2|5k由|PF2|PF1|6可得k2，|PF1|4，|PF2|10，由余弦定理得cosF1PF2，sinF1PF2，SF1PF2|PF1|PF2|sinF1PF24108双曲线上的
8、点P与其两个焦点F1，F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形.令|PF1|r1，|PF2|r2，F1PF2，因|F1F2|2c，所以有(1)定义：|r1r2|2a.(2)余弦公式：.(3)面积公式：一般地，在PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决.求双曲线的标准方程【例2】求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)一个焦点是(0，6)，经过点A(5,6)；(2)经过点P1和P2(，4)两点思路探究先设出双曲线的标准方程，再构造关于a、b的方程组求解解(1)由已知c6，且焦点在y轴上，另一个焦点为(0,6)，由双曲线定义2a|8，a4，b2c2a220所以所求双曲线的标准方程为1
9、(2)法一：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为1(a0，b0)P1，P2在双曲线上，解得，(不合题意舍去)当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为1(a0，b0)将P1，P2的坐标代入上式得解得即a29，b216所求双曲线方程为1法二：双曲线的位置不确定，设双曲线方程为mx2ny21(mn0)解得所求双曲线的标准方程为11求双曲线标准方程的两个关注点2待定系数法求双曲线标准方程的四个步骤(1)定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是有两种可能(2)设方程：根据焦点位置，设其方程为1或1(a0，b0)，焦点位置不定时，亦可设为mx2ny21(mn0)(3)寻关系：根据已知条件列出关于
10、a，b，c(m，n)的方程组(4)得方程：解方程组，将a，b(m，n)代入所设方程即可得(求)标准方程提醒：求标准方程时，一定要先区别焦点在哪个轴上，选取合适的形式1根据条件求双曲线的标准方程(1)a2，经过点A(2，5)，焦点在y轴上；(2)与椭圆1共焦点且过点(3，)解(1)双曲线的焦点在y轴上，可设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，由题设知，a2，且点A(2，5)在双曲线上，解得a220，b216，所求双曲线的标准方程为1(2)椭圆1的焦点坐标为(2，0)，(2，0)依题意，则所求双曲线焦点在x轴上，可以设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则a2b220又双曲线过点(3，)，1a22
11、02，b22所求双曲线的标准方程为1与双曲线有关的轨迹问题【例3】在周长为48的RtMPN中，MPN90，tanPMN，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线方程解因为MPN的周长为48，且tanPMN，故设|PN|3k，|PM|4k则|MN|5k，由3k4k5k48得k4所以|PN|12，|PM|16，|MN|20以MN所在的直线为x轴，以MN的中点为原点建立直角坐标系，如图所示设所求双曲线方程为1(a0，b0)由|PM|PN|4得2a4，a2，a24，由|MN|20得2c20，c10，所以b2c2a296故所求双曲线方程为1(x2)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等
12、量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，双曲线的定义，得出对应的方程求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支；(3)求出方程后要注意满足方程的解的坐标的点，是否都在所求曲线上2如图所示，已知定圆F1：(x5)2y21，定圆F2：(x5)2y242，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程解圆F1：(x5)2y21，圆心F1(5,0)，半径r11；圆F2：(x5)2y242，圆心F2(5,0)，半径r24设动圆M的半径为R，则有|MF1|R1，|MF2|R4，|MF2|MF1|310|F1F2|点M的轨迹是以
13、F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a，c5，于是b2c2a2动圆圆心M的轨迹方程为11双曲线定义中|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当2a|F1F2|时表示两条射线2在双曲线的标准方程中，ab不一定成立要注意与椭圆中a，b，c的区别在椭圆中a2b2c2，在双曲线中c2a2b23用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2ny21(mn0)的形式求解1“ab0”是“方程ax2by2c表示双曲线”的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件 D既不充
14、分也不必要条件A当方程表示双曲线时，一定有ab0，反之，当ab0时，若c0，则方程不表示双曲线2椭圆1与双曲线1有相同的焦点，则a的值为()A B1或2C1或 D1D由于a0,0a24，且4a2a2，解得a13若方程3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是()A(1,2) B(2，) C(，2) D(2,2)C由题意，方程可化为3，解得：m24已知双曲线的两个焦点分别为F1(，0)，F2(，0)，P是双曲线上的一点且PF1PF2，|PF1|PF2|2，则双曲线的标准方程为 y21设|PF1|m，|PF2|n(m0，n0)，在RtPF1F2中，m2n2(2c)220，mn2，由双曲线的定义知|mn|2m2n22mn164a2，所以a24，b2c2a21，双曲线的标准方程为y215已知动圆M与圆C1：(x3)2y29外切且与圆C2：(x3)2y21内切，求动圆圆心M的轨迹方程解设动圆M的半径为r因为动圆M与圆C1外切且与圆C2内切， 所以|MC1|r3，|MC2|r1相减得|MC1|MC2|4又因为C1(3,0)，C2(3,0)，并且|C1C2|64，所以点M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的右支，且有a2，c3所以b25，所求的轨迹方程为1(x2)