1、2.5.2椭圆的几何性质学 习 目 标核 心 素 养1根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形2根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形(重点、难点)通过椭圆几何性质的学习，培养直观想象，数学运算素养奥地利维也纳金色大厅的顶棚设计为椭圆面，舞台在这个椭圆面的一个焦点处当乐队在舞台上演奏时，椭圆面顶棚会把声音反射到椭圆面的另一个焦点处汇聚，因此在这个焦点处的听众就感到还有另外一个乐队存在(其实什么都没有)所以能产生很好的听觉效果其实这就是利用了本节课要学习的椭圆的几何性质，那么椭圆还有什么其他的几何性质呢？椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上标准
2、方程1(ab0)1(ab0)图形对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)范围xa，a，yb，bxb，b，ya，a顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)轴长短轴|B1B2|2b，长轴|A1A2|2a焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c离心率e(0e1)思考1：椭圆上的点到焦点的最大距离与最小距离分别是什么？提示最大距离：ac；最小距离：ac思考2：椭圆方程1(ab0)中a，b，c的几何意义是什么？提示在方程1(ab0)中，a，b，c的几何意义如图所示即a，b
3、，c正好构成了一个以对称中心，一个焦点、一个短轴顶点构成的直角三角形1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)椭圆1(ab0)的长轴长等于a()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值ac()(3)椭圆上的离心率e越小，椭圆越圆()答案(1)(2)(3)提示(1)椭圆1(ab0)的长轴长等于2a(2)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为ac，最小值为ac(3)离心率e越小，c就越小，这时b就越接近于a，椭圆就越圆2椭圆6x2y26的长轴端点坐标为()A(1,0)，(1,0)B(6,0)，(6,0)C(，0)，(，0) D(0，)，(0，)Dx21焦点在y轴上，长轴端点坐标为(0，)，(0，)3椭圆
4、x24y24的离心率为()A B C DA化椭圆方程为标准形式得y21，所以a24，b21，所以c2a2b23所以e4椭圆1的焦点坐标是 ，顶点坐标是 (0，)(3,0)，(0，4)由方程1知焦点在y轴上，所以a216，b29，c2a2b27因此焦点坐标为(0，)，顶点坐标为(3,0)，(0，4)椭圆的几何性质【例1】求椭圆16x225y2400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标思路探究化为标准方程，确定焦点位置及a，b，c的值，再研究相应的几何性质解把已知方程化成标准方程1，可知a5，b4，所以c3因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a10和2b8，离心率e，两个焦点分别是F1(3,0
5、)和F2(3,0)，椭圆的四个顶点是A1(5,0)，A2(5,0)，B1(0，4)和B2(0,4)1已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型2焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2b2c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍1求椭圆4x29y236的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率解将椭圆方程变形为1，a3，b2，c椭圆的长轴长和焦距分别为2a6,2c2，焦点坐标为F1(，0)，F2(，0)，顶点坐标为A1(3,0)，A2(3,0)，B1(0，2)，B2(0,2)
6、，离心率e利用几何性质求椭圆的标准方程【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)与椭圆4x29y236有相同的焦距，且离心率为；(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，4)解(1)将方程4x29y236化为1，可得椭圆焦距为2c2又因为离心率e，即，所以a5，从而b2a2c225520若椭圆焦点在x轴上，则其标准方程为1；若椭圆焦点在y轴上，则其标准方程为1(2)依题意2a22b，即a2b若椭圆焦点在x轴上，设其方程为1(ab0)，则有解得所以标准方程为1若椭圆焦点在y轴上，设其方程为1(ab0)，则有解得所以标准方程为1利用待定系数法求椭圆标准方程的基本步骤及注意事项(1)用几何性质求椭
7、圆的标准方程通常采用的方法是待定系数法.(2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论.一般步骤是：求出a2，b2的值；确定焦点所在的坐标轴；写出标准方程.(3)在求解a2、b2时常用方程(组)思想，通常由已知条件与关系式a2b2c2，e等构造方程(组)加以求解.提醒：解答本例时容易忽视焦点的位置而漏解.2求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是10，离心率是；(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6解(1)设椭圆的方程为1(ab0)或1(ab0)由已知得2a10，a5，e，c4b2a2c225169椭圆方程为1或1
8、(2)依题意可设椭圆方程为1(ab0)如图所示，A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|c，|A1A2|2b,2c6，cb3，a2b2c218，故所求椭圆的方程为1求椭圆的离心率探究问题1求椭圆离心率的关键是什么？提示根据e，a2b2c2，可知要求e，关键是找出a，b，c的等量关系2a，b，c对椭圆形状有何影响？提示【例3】已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率思路探究由题设求得A、B点坐标，根据ABF2是正三角形得出a，b，c的关系，从而求出离心率解设椭圆的方程为1(ab0)，焦点
9、坐标为F1(c,0)，F2(c,0)依题意设A点坐标为，则B点坐标为，|AB|由ABF2是正三角形得2c，即b22ac，又b2a2c2，a2c22ac0，两边同除以a2得20，解得e1(变换条件)本例中将条件“过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若ABF2是正三角形”改为“A为y轴上一点，且AF1的中点B恰好在椭圆上，若AF1F2为正三角形”如何求椭圆的离心率？解设椭圆的方程为1(ab0)，焦点坐标为F1(c,0)，F2(c,0)，设A点坐标为(0，y0)(y00)，则B点坐标为，B点在椭圆上，1，解得y4b2，由AF1F2为正三角形得4b23c2，即c48a2c24a40，两边同
10、除以a4得e48e240，解得e12(变换条件)“若ABF2是正三角形”换成“椭圆的焦点在x轴上，且A点的纵坐标等于短半轴长的”，求椭圆的离心率解设椭圆方程为1(ab0)，F1(c,0)，F2(c,0)，由题意知A在椭圆上，1，解得e求椭圆离心率的方法(1)直接求出a和c，再求e，也可利用e求解(2)若a和c不能直接求出，则看是否可利用条件得到a和c的齐次等式关系，然后整理成的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e的方程，进而求解1已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式要先化成标准形式，再确定焦点的位置，找准a、b2利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法3求离心率e时，注意方程思
11、想的运用1椭圆1的离心率()ABC DAa216，b29，c27，从而e2若中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是()A1 B1C1 D1A由已知得a9,2c2a，ca3，b2a2c272又焦点在x轴上，椭圆方程为13椭圆x2my21的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为()A B2C D4C椭圆x2my21的标准形式为：x21因为焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，所以4，所以m4若一个椭圆长轴的长度，短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 由题意有2a2c2(2b)，即ac2b，又c2a2b2，消去b整理得5c23a22ac，即5e22e30，e或e1(舍去)5已知椭圆的标准方程为1(1)求椭圆的长轴长和短轴长；(2)求椭圆的离心率；(3)求以此椭圆的长轴端点为短轴端点，并且经过点P(4，1)的椭圆方程解(1)椭圆的长轴长为2a6，短轴长为2b4(2)c，所以椭圆的离心率e(3)若以椭圆的长轴端点为短轴端点，则b3，可设椭圆方程为1，又椭圆过点P(4,1)，将点P(4,1)代入得1，解得a218故所求椭圆方程为1