1、2015-2016学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1抛物线y2=4x的焦点坐标为（）A（0，2）B（2，0）C（0，1）D（1，0）2命题“若x=1，则x21=0”的否命题是（）A若x=1，则x210B若x1，则x21=0C若x1，则x210D若x210，则x13在ABC中，若AB=4，BC=5，B=60，则AC=（）ABCD4若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）Ay=xBCD5已知a，b，c为实数，则ab的一个充分不必要条件是（）Aa+cb+cBac2bc2C|a|b|D6
2、已知F是抛物线x2=8y的焦点，若抛物线上的点A到x轴的距离为5，则|AF|=（）A4B5C6D 77已知数列an满足an+1=2an（nN*），其前n项和为Sn，则=（）ABCD8在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则ABC的形状为（）A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形9如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10m到位置D，测得BDC=45，则塔AB的高是（）（单位：m）A10B10C10D1010已知等比数列an的各项均为正数，公比0q1，设，则a3、a9、P与Q
3、的大小关系是（）Aa3PQa9Ba3QPa9Ca9Pa3QDPQa3a911设M是圆P：（x+5）2+y2=36上一动点，点Q的坐标为（5，0），若线段MQ的垂直平分线交直线PM于点N，则点N的轨迹方程为（）ABCD12若不等式a2+b2+2（a+b）对任意正数a，b恒成立，实数的取值范围是（）AB（，1）C（，2）D（，3）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知ABC中，a=1，C=45，SABC=2，则b=14“若1x2，则m1xm+1”的逆否命题为真命题，则m的取值范围是15在等差数列an中，a1=9，S3=S7，则当前n项和Sn最小时，n=16已知双曲线，若过右焦点F
4、且倾斜角为30的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤17已知an为公比q1的等比数列，求an的通项式an及前n项和Sn18在锐角ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2csinA（1）求角C的值；（2）若c=，且SABC=，求a+b的值19本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万
5、元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？20已知命题p：“不等式x2mx+m+30的解集为R”；命题q：“表示焦点在y轴上的双曲线”，若“pq”为真，“pq”为假，求实数m的取值范围21设等差数列an的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1（）求数列an的通项公式；（）设数列bn满足=1，nN*，求bn的前n项和Tn22如图，椭圆的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点当直线AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60（）求该椭圆的离心率；（）设线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点记GFD的面积为S1，O
6、ED（O为原点）的面积为S2，求的取值范围2015-2016学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1抛物线y2=4x的焦点坐标为（）A（0，2）B（2，0）C（0，1）D（1，0）【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题【分析】先根据抛物线的方程判断出抛物线的开口方向，进而利用抛物线标准方程求得p，则焦点方程可得【解答】解：根据抛物线方程可知抛物线的开口向左，且2P=4，=1焦点坐标为（1，0）故选D【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质解题过程中注意抛物线的开口方向，
7、焦点所在的位置等问题保证解题结果的正确性2命题“若x=1，则x21=0”的否命题是（）A若x=1，则x210B若x1，则x21=0C若x1，则x210D若x210，则x1【考点】四种命题【专题】对应思想；定义法；简易逻辑【分析】根据四种命题的定义进行判断即可【解答】解：同时否定条件和结论即可得到命题的否命题：即若x1，则x210，故选：C【点评】本题主要考查否命题的判断，根据否命题的定义是解决本题的关键比较基础3在ABC中，若AB=4，BC=5，B=60，则AC=（）ABCD【考点】余弦定理【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】由已知及余弦定理即可求值得解【解答】解：AB=4，BC
8、=5，B=60，由余弦定理可得：AC=故选：A【点评】本题主要考查了余弦定理的应用，属于基础题4若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）Ay=xBCD【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由双曲线的离心率为，求出a=b，由此能求出比曲线的渐近线方程【解答】解：双曲线的离心率为，=，解得a=b，该双曲线渐近线方程为y=x故选：A【点评】本题考查双曲线渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线简单性质的合理运用5已知a，b，c为实数，则ab的一个充分不必要条件是（）Aa+cb+cBac2bc2C|a|b|D【考点】必要条件、充分条
9、件与充要条件的判断【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑【分析】Aa+bb+cab；Bac2bc2ab，反之不成立，即可判断出结论；C|a|b|与ab相互推不出；D.1与ab相互推不出【解答】解：Aa+bb+cab；Bac2bc2ab，反之不成立，ab的一个充分不必要条件是ac2bc2；C|a|b|与ab相互推不出，不满足条件；D.1与ab相互推不出，不满足条件故选：B【点评】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6已知F是抛物线x2=8y的焦点，若抛物线上的点A到x轴的距离为5，则|AF|=（）A4B5C6D7【考点】抛物线的简单性质【专题】
10、计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由已知得F（0，2），A（，5），由此利用两点间距离公式能求出|AF|的值【解答】解：F是抛物线x2=8y的焦点，F（0，2），抛物线上的点A到x轴的距离为5，A（，5），|AF|=7|AF|=7故选：D【点评】本题考查线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线性质及两点间距离公式的合理运用7已知数列an满足an+1=2an（nN*），其前n项和为Sn，则=（）ABCD【考点】数列的求和【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】由已知数列an是公比为2的等比数列，由此利用等比数列的性质能求出【解答】解：数列
11、an满足an+1=2an（nN*），数列an是公比为2的等比数列，=故选：D【点评】本题考查数列的前5项和与第5项的比值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用8在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则ABC的形状为（）A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值；解三角形【分析】由已知及余弦定理可解得b=c，即可判断得解【解答】解：，由余弦定理可得：，整理可得：b=c故选：B【点评】本题主要考查了余弦定理的应用，属于基础题9如图，为测得河对岸塔AB的高，
12、先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10m到位置D，测得BDC=45，则塔AB的高是（）（单位：m）A10B10C10D10【考点】解三角形的实际应用【专题】解三角形【分析】设塔高为x米，根据题意可知在ABC中，ABC=90，ACB=60，AB=x，从而有BC=，在BCD中，CD=10，BCD=105，BDC=45，CBD=30，由正弦定理可求 BC，从而可求x即塔高【解答】解：设塔高为x米，根据题意可知在ABC中，ABC=90，ACB=60，AB=x，从而有BC=，AC=，在BCD中，CD=10，BCD=60+30+15=105，BD
13、C=45，CBD=30由正弦定理可得，可得，BC=10=则x=10；所以塔AB的高是10米；故选：B【点评】本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，即正确建立数学模型，结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据，进而选择合适的公式进行求解10已知等比数列an的各项均为正数，公比0q1，设，则a3、a9、P与Q的大小关系是（）Aa3PQa9Ba3QPa9Ca9Pa3QDPQa3a9【考点】等比数列的性质【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】等比数列an的各项均为正数，公比0q1，可得=P，又各项均为正数，公比0q1，可得a9Pa3，
14、a9Qa3即可得出【解答】解：等比数列an的各项均为正数，公比0q1，则=P，又各项均为正数，公比0q1，a9a3，则a9=a3a9QPa3故选：A【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其单调性、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11设M是圆P：（x+5）2+y2=36上一动点，点Q的坐标为（5，0），若线段MQ的垂直平分线交直线PM于点N，则点N的轨迹方程为（）ABCD【考点】轨迹方程【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由已知作出图象，结合图象得|NQ|NP|=6，Q（5，0），P（5，0），|PQ|=106，由此能求出点N的轨迹【解答】解
15、：M是圆P：（x+5）2+y2=36上一动点，点Q的坐标为（5，0），线段MQ的垂直平分线交直线PM于点N，|MN|=|NQ|，|NQ|NP|=|MP|，M是圆P：（x+5）2+y2=36上一动点，点Q的坐标为（5，0），|MP|=6，|NQ|NP|=6，Q（5，0），P（5，0），|PQ|=106，点N的轨迹为双曲线，a=3，c=5，b=4，点N的轨迹方程为故选：D【点评】本题主要考查了轨迹方程的问题，解题的关键是利用了双曲线的定义求得轨迹方程12若不等式a2+b2+2（a+b）对任意正数a，b恒成立，实数的取值范围是（）AB（，1）C（，2）D（，3）【考点】基本不等式【专题】转化思想；转
16、化法；不等式【分析】不等式a2+b2+2（a+b）对任意正数a，b恒成立，可得由于，再利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：不等式a2+b2+2（a+b）对任意正数a，b恒成立，=2=2当且仅当a=b=1时取等号2故选：C【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知ABC中，a=1，C=45，SABC=2，则b=【考点】正弦定理【专题】计算题；方程思想；定义法；解三角形【分析】根据三角形的面积公式进行求解即可【解答】解：a=1，C=45，SABC=2，SABC=absinC=2，即1b=2，即b=，故答案为：
17、【点评】本题主要考查三角形面积公式的应用，比较基础14“若1x2，则m1xm+1”的逆否命题为真命题，则m的取值范围是1，2【考点】四种命题【专题】计算题；转化思想；定义法；简易逻辑【分析】根据逆否命题的等价性，得到原命题为真命题，建立不等式关系即可【解答】解：“若1x2，则m1xm+1”的逆否命题为真命题，则等价为“若1x2，则m1xm+1”为真命题，则，即，解得1m2，故答案为：1，2【点评】本题主要考查四种命题真假关系的应用，根据逆否命题的等价性进行转化是解决本题的关键15在等差数列an中，a1=9，S3=S7，则当前n项和Sn最小时，n=5【考点】等差数列的前n项和【专题】计算题；方程
18、思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】利用等差数列的前n项和公式与数列的单调性即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d，a1=9，S3=S7，3（9）+d=7（9）+d，解得d=2an=9+2（n1）=2n11，由an0，解得n5当前n项和Sn最小时，n=5故答案为：5【点评】本题考查了等差数列的前n项和公式与数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16已知双曲线，若过右焦点F且倾斜角为30的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是【考点】双曲线的简单性质【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方
19、程的斜率小于直线的斜率，即，求得a和b的不等式关系，进而根据b=转化成a和c的不等式关系，求得离心率的一个范围，最后根据双曲线的离心率大于1，综合可得求得e的范围【解答】解：要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即tan30=，bab=，a，整理得ca，e=双曲线中e1，e的范围是（1，）故答案为：（1，）【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤17已知an为公比q1的等比数列，求an的通项式an及前n项和Sn【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项
20、公式【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】利用等比数列通项公式列出方程组求出首项及公比，由此能求出an的通项式an及前n项和Sn【解答】解：设等比数列an的公比为q，则q0，a2=，a4=a3q=2q所以 +2q=，即3q210q+3=0解得q1=，q2=3，因为q1，所以q=3又因为a3=2，故（10分）【点评】本题考查an的通项式an及前n项和Sn，是基础 题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用18在锐角ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2csinA（1）求角C的值；（2）若c=，且SABC=，求a+b的值【考点】正弦定理【专题】计
21、算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】（1）由a=2csinA及正弦定理得sinA=2sinCsinA，又sinA0，可sinC=又ABC是锐角三角形，即可求C（2）由面积公式，可解得ab=6，由余弦定理，可解得a2+b2ab=7，联立方程即可解得a+b的值的值【解答】解：（1）由a=2csinA及正弦定理，得sinA=2sinCsinA，sinA0，sinC=又ABC是锐角三角形，C=（4分）（2）c=，C=，由面积公式，得absin=，即ab=6由余弦定理，得a2+b22abcos=7，即a2+b2ab=7由变形得（a+b）2=3ab+7将代入得（a+b）2=25，故a+b=5（12分）
22、【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题19本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？【考点】简单线性规划的应用【分析】利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线
23、求得满足题设的最优解【解答】解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得目标函数为z=3000x+2000y二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域如图，作直线l：3000x+2000y=0，即3x+2y=0平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值联立解得x=100，y=200点M的坐标为（100，200）zmax=3000x+2000y=700000（元）答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知
24、条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解20已知命题p：“不等式x2mx+m+30的解集为R”；命题q：“表示焦点在y轴上的双曲线”，若“pq”为真，“pq”为假，求实数m的取值范围【考点】复合命题的真假【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑【分析】分别化简命题p与q，由于“pq”为真，“pq”为假，可得p，q一真一假【解答】解：命题p为真时，等价于判别式=m24（m+3）0，即2m6命题q为真时，等价于，即1m9依题意
25、，p，q一真一假当p真，q假时，即2m1当p假，q真时，即6m9综上，m的取值范围是（2，16，9）【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21设等差数列an的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1（）求数列an的通项公式；（）设数列bn满足=1，nN*，求bn的前n项和Tn【考点】数列递推式；等差数列的前n项和；数列的求和【专题】等差数列与等比数列【分析】（）设等差数列an的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2an+1得到关于a1与d的方程组，解之即可求得数列an的通项公式；（）由（）知，an=2n
26、1，继而可求得bn=，nN*，于是Tn=+，利用错位相减法即可求得Tn【解答】解：（）设等差数列an的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2an+1得：，解得a1=1，d=2an=2n1，nN*（）由已知+=1，nN*，得：当n=1时， =，当n2时， =（1）（1）=，显然，n=1时符合=，nN*由（）知，an=2n1，nN*bn=，nN*又Tn=+，Tn=+，两式相减得： Tn=+（+）=Tn=3【点评】本题考查数列递推式，着重考查等差数列的通项公式与数列求和，突出考查错位相减法求和，考查分析运算能力，属于中档题22如图，椭圆的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点当直线AB
27、经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60（）求该椭圆的离心率；（）设线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点记GFD的面积为S1，OED（O为原点）的面积为S2，求的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）由题意知当直线AB经过椭圆的顶点（0，b）时，其倾斜角为60，设 F（c，0），由直线斜率可求得b，c关系式，再与a2=b2+c2联立可得a，c关系，由此即可求得离心率；（）由（）椭圆方程可化为，设A（x1，y1），B（x2，y2）由题意直线AB不能与x，y轴垂直，故设直线AB的方程为y=k（x+c），将其
28、代入椭圆方程消掉y变为关于x的二次方程，由韦达定理及中点坐标公式可用k，c表示出中点G的坐标，由GDAB得kGDk=1，则D点横坐标也可表示出来，易知GFDOED，故=，用两点间距离公式即可表示出来，根据式子结构特点可求得的范围；【解答】解：（）依题意，当直线AB经过椭圆的顶点（0，b）时，其倾斜角为60设 F（c，0），则将代入a2=b2+c2，得a=2c所以椭圆的离心率为（）由（），椭圆的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2）依题意，直线AB不能与x，y轴垂直，故设直线AB的方程为y=k（x+c），将其代入3x2+4y2=12c2，整理得 （4k2+3）x2+8ck2x+4k2c212c2=0则，所以因为 GDAB，所以，因为GFDOED，所以 =所以的取值范围是（9，+）【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆的简单性质，考查学生分析解决问题的能力，运算量大，综合性强，对能力要求较高