1、3.4基本不等式：学 习 目 标核 心 素 养1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小(重点、难点).3.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题(重点)1.通过利用基本不等式比较大小和证明不等式的学习，培养逻辑推理素养.2.借助利用基本不等式求最值和基本不等式的实际应用，培养数学建模及数学运算素养.1重要不等式如果a，bR，那么a2b22ab(当且仅当ab时取“”)思考：如果a0，b0，用，分别代替不等式a2b22ab中的a，b，可得到怎样的不等式？提示ab2.2基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：a，b均为正实数；(2)等号成立的条件：当且仅当
2、ab时取等号思考：不等式a2b22ab与成立的条件相同吗？如果不同各是什么？提示不同，a2b22ab成立的条件是a，bR；成立的条件是a，b均为正实数3算术平均数与几何平均数(1)设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为；(2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数思考：与ab是等价的吗？提示不等价，前者条件是a0，b0，后者是a，bR.4用基本不等式求最值的结论(1)设x，y为正实数，若xys(和s为定值)，则当xy时，积xy有最大值为(2)设x，y为正实数，若xyp(积p为定值)，则当xy时，和xy有最小值为25基本不等式求最值的条件(1)x，y必须是正数(
3、2)求积xy的最大值时，应看和xy是否为定值；求和xy的最小值时，应看积xy是否为定值(3)等号成立的条件是否满足思考：利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时，一般要确定哪个量为定值？提示三个条件是：一正，二定，三相等求和的最小值，要确定积为定值；求积的最大值，要确定和为定值1不等式(x2y)2成立的前提条件为()Ax2yBx2yCx2yDx2yB因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x2y0，即x2y，故选B.2设x，y满足xy40，且x，y都是正数，则xy的最大值为_400因为x，y都是正数，且xy40，所以xy400，当且仅当xy20时取等号3把总长为16 m的
4、篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_ m2.16设一边长为x m，则另一边长可表示为(8x)m，则面积Sx(8x)16，当且仅当x4时取等号，故当矩形的长与宽相等，都为4 m时面积取到最大值16 m2.4给出下列说法：若x(0，)，则sin x2；若a，b(0，)，则lg alg b2；若xR且x0，则4.其中正确说法的序号是_因为x(0，)，所以sin x(0，1，所以成立；只有在lg a0，lg b0，即a1，b1时才成立；|x|24成立利用基本不等式比较大小【例1】已知0a1，0b0，b0，所以ab2，a2b22ab，所以四个数中最大的数应为ab或a2b2.又因为0a1，0b1
5、，所以a2b2(ab)a2ab2ba(a1)b(b1)0，所以a2b22)，n22b2(b0)，则m，n之间的大小关系是_(2)若ab1，P，Q(lg alg b)，Rlg ，则P，Q，R的大小关系是_(1)mn(2)PQ2，所以a20，又因为ma(a2)2，所以m224，由b0，得b20，所以2b22，n22b2n.(2)因为ab1，所以lg alg b0，所以Q(lg alg b)P；Q(lg alg b)lglglglg R.所以PQ.思路探究：构造基本不等式的条件运用基本不等式证明判断等号成立的条件得出结论解a0，b0，c0，ab20，bc20，ca20，2(abc)2()，即abc.
6、由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立abc.1所证不等式一端出现“和式”，而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，可尝试用基本不等式证明2利用基本不等式证明不等式的注意点(1)多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；(3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用2已知a，b，c为正实数，且abc1，求证：8.证明因为a，b，c为正实数，且abc1，所以1.同理，1，1.上述三个不等式两边均为正，相乘得8，当且仅当abc时，取等号基本不等式的实际应用【例3】如图，动物园要围成相同
7、面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)要使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？思路探究：(1)已知ab为定值，如何求ab的最大值？(2)已知ab为定值，如何求ab的最小值？解设每间虎笼长x m，宽y m，则由条件知：4x6y36，即2x3y18.设每间虎笼面积为S，则Sxy.法一：由于2x3y22，218，得xy，即S，当且仅当2x3y时，等号成立由解得故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使面积最大法二：由2x3y18
8、，得x9y.x0，9y0，0y6，Sxyy(6y)y.0y0，S.当且仅当6yy，即y3时，等号成立，此时x4.5.故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使面积最大(2)由条件知Sxy24.设钢筋网总长为l，则l4x6y.法一：2x3y2224，l4x6y2(2x3y)48.当且仅当2x3y时，等号成立由，解得故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小法二：由xy24，得x.l4x6y6y66248.当且仅当y，即y4时，等号成立，此时x6.故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400平方米的三级污水处理池，平面图如图所示池外圈建造单价为每
9、米200元，中间两条隔墙建造单价为每米250元，池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价解设污水池的长为x米，则宽为米，总造价y(2x2)20022508040040032 000400232 00056 000(元)，当且仅当x，即x30时取等号故污水池的长为30米、宽为米时，最低造价为56 000元利用基本不等式求最值探究问题1由x2y22xy知xy，当且仅当xy时“”成立，能说xy的最大值是吗？能说x2y2的最小值为2xy吗？提示最值是一个定值(常数)，而x2y2或2xy都随x，y的变化而变化，不是定值，故上述说法均错
10、误要利用基本不等式(a，bR)求最值，必须保证一端是定值，方可使用2小明同学初学利用基本不等式求最值时，是这样进行的：“因为yx22，当且仅当x，即x21时“”号成立，所以yx的最小值为2.”你认为他的求解正确吗？为什么？提示不正确因为利用基本不等式求最值，必须满足x与都是正数，而本题x可能为正，也可能为负所以不能盲目“套用”基本不等式求解正确解法应为：当x0时，yx22，当且仅当x，即x1时取“”，yx的最小值是2；当x0时，y22，当且仅当x，即x1时，取“”，yx的最大值是2.3已知x3，求y的最小值，下列求解可以吗？为什么？“解：yx24，当x3时，y的最小值为4.”提示不可以，因为在
11、利用基本不等求解最值时，虽然将所求代数式进行变形，使其符合基本不等式的结构特征，但是必须符合“正”、“定”、“等”的条件，缺一不可本解法忽略了等号成立的条件，即“”号不成立本问题可采用yx的单调性求解【例4】(1)已知x，求y4x2的最大值；(2)已知0x0，求f(x)的最大值；(4)已知x0，y0，且1，求xy的最小值思路探究：变形所求代数式的结构形式，使用符合基本不等式的结构特征(1)4x24x53.(2)x(12x)2x(12x)(3).(4)xy(xy)1(xy).解(1)x0，y4x23231，当且仅当54x，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax1.(2)0x0，y2x(12
12、x)，当且仅当2x12x，即x时，ymax.(3)f(x).x0，x22，f(x)1，当且仅当x，即x1时等号成立(4)x0，y0，1，xy(xy)1061016，当且仅当，又1，即x4，y12时，上式取等号故当x4，y12时，(xy)min16.1(变条件)在例题(1)中条件改为x，求函数f(x)4x2的值域解x，4x50，f(x)4x53235.当且仅当4x5.即x时，等号成立f(x)的值域为5，)2(变条件)在例题(1)中去掉条件x时，4x50f(x)4x53235当且仅当4x5时等号成立即x时f(x)min5.当x时，4x50)的单调性求得函数的最值.1判断正误(1)对任意a，bR，a
13、2b22ab，ab2均成立()(2)对任意的a，bR，若a与b的和为定值，则ab有最大值()(3)若xy4，则xy的最小值为4.()(4)函数f(x)x2的最小值为21.()答案(1)(2)(3)(4)2若0x1，则的取值范围是_由0x0，故，当且仅当x时，上式等号成立所以00)因为x24，当且仅当x即x2时取等号，所以ymin48032041 760(元)4已知f(x).(1)若f(x)k的解集为x|x3或x2，求k的值；(2)若对任意x0，f(x)t恒成立，求实数t的范围解(1)f(x)kkx22x6k0，由已知，其解集为x|x3或x2，得x13，x22是方程kx22x6k0的两根，所以23，即k.(2)x0，f(x).由已知f(x)t对任意x0恒成立，故实数t的取值范围是.