1、20202021学年四川乐山市中区乐山外国语学校高三上学期期中理科数学试卷一、选择题1已知集合，则（ ）A.B.C.D.2已知复数满足，则对应复平面内的点在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为，10，11，9已知这组数据的平均数为10，方差为2，则到的值为（ ）A.1B.2C.3D.44数列1、1、2、3、5、8、13、21、34、称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波那契于1202年在他撰写的算盘全书中提出的，该数列的特点是：从第三项起，每一项都等于它前面两项的和在该数列的前2020项中，偶数的个数为（ ）A.505B.67
2、3C.674D.10105已知第四象限内抛物线上的一点到轴的距离是该点到抛物线焦点距离的，则点的坐标为（ ）A.B.C.D.6已知向量，满足，则向量在向量方向上的投影是（ ）A.B.-1C.D.17在正三棱柱中，若，是的中点，则与所成角的大小（ ）A.30B.45C.90D.608已知，则的值为（ ）A.B.C.D.9“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：已知且是整数，则满足能被3除余1且被5除余3的所有的取值的和为（ ）A.2020B.2305C.4610D.467510已知函数，若在上无零点，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.11如图，在正方体
3、中，是的中点，为底面内一动点，设，与底面所成的角分别为，（，均不为0），若，则动点的轨迹为（ ）A.直线的一部分B.圆的一部分C.椭圆的一部分D.抛物线的一部分12若函数，则（ ）A.B.C.D.二、填空题13已知实数，满足，则的最大值为_14二项式式的二项式系数之和为64，则二项式展开式中的常数项为_15已知三棱锥中，平面，若，与平面所成线面角的正弦值为，则三棱锥外接球的表面积为_16已知是边上一点，且，则的最大值为_三、解答题17已知数列是公差不为零的等差数列，且存在实数满足，（1）求的值及通项（2）求数列的前项和18生男生女都一样，女儿也是传后人由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男
4、女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频率为0.525，其中头胎生女孩目生二孩的家庭数为60（1）完成下列22列联表，并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关生二孩不生二孩合计头胎为女孩60头胎为男孩合计200（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在头胎生女孩的家庭中抽取了5户，进一步了解情况，在抽取的5户中再随机抽取3户，求这3户中恰好有2户生二孩的概率附：0.150.050.010.0012.2723.8416.63510.828（其中）19如图，在直三棱柱中，分别为棱，的中
5、点，且，（1）求证：平面平面（2）求二面角的余弦值20已知椭圆，圆是椭圆长轴和短轴四个端点连接而成的四边形的内切圆（1）求圆的方程（2）过圆上的任一点作圆的切线交椭圆于，两点，求证为定值21已知函数（1）求的图象在处的切线方程（2）若函数有两个不同的零点，证明：四、选做题选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），（为参数）（1）将，的参数方程化为普通方程（2）曲线与交于，两点，点，求的值23已知函数（1）求函数的最大值（2）已知，求的最大值20202021学年四川乐山市中区乐山外国语学校高三上学期期中理科数学试卷（详解）一、选择题1【答案】 C【解析】 集合，集合
6、，故选B2【答案】 A【解析】 复数满足，则对应复平面内的点在第一象限故选A3【答案】 D【解析】 方法一：由已知可得：，所以，解之得或，所以，故应选D方法二：由题意这组数据的平均数为10，方差为2可得：，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出、，只要求出，设，由得，故选D4【答案】 B【解析】 由斐波那契数列的特点，可得此数列只有第项为偶数，由于，所以前2020项中偶数的个数为673故选B5【答案】 B【解析】 设，则根据题意及抛物线的定义，得，解得，代入抛物线方程得，又点在第四象限，所以，故，故选B6【答案】 B【解析】 ，又，向量在向量方向上的投影是故选B7【答案】 B【解析】 如
7、图，过点作于，为的中点，连接，则与所成角为，设，则，所以，所以故选B8【答案】 A【解析】 故选A9【答案】 B【解析】 能被3除余1且被5除余3的数可表示为，由，的取值为163，178，193，298，满足能被3除余1且被5除余3的所有的取值和为2305故选B10【答案】 B【解析】 ，若，则，即，则，又，解得又，解得，当时，；当时，可得故故选B11【答案】 B【解析】 建系如图，设正方体的边长为1，则，设，则，即代入数据，得：，整理得：变形，得：，即动点的轨迹为圆的一部分，故选：B12【答案】 A【解析】 依题意，因为，故函数关于直线对称，令，且，为偶函数，可知：当时，故，当时，故故函数在
8、上单调递增，又因为为偶函数，故在上单调递减，所以函数在上单调递减，在上单调递增，因为，即故选A二、填空题13【答案】 1【解析】 根据约束条件，画出可行域，如图：，即，结合图象可知，当对过点时，取最大值，联立，解得，则点的坐标为，故的最大值，故答案为：114【答案】 -160【解析】 由展开式的二项式系数之和为64，可得，解得，则二项式为，的展开式为令，则，展开式中的常数项为故答案为：-16015【答案】 【解析】 平面，与平面所成线面角的正弦值为，根据勾股定理可得，在中，则为直角三角形三棱锥外接球即为以，为长、宽、高的长方体的外接球，故，三棱锥外接球的表面积为故答案为：16【答案】 【解析】
9、 设，则，由，由，得，得，由消去得，（时取等），故答案为：三、解答题17【答案】 （1），（2）【解析】 （1）设等差数列的公差为，由存在实数满足，得，得，又因为，解得，将代入可得：，即，又因为，所以（2）由（1）可得：，所以：18【答案】（1）列表如下：生二孩不生二孩合计头胎为女孩6040100头胎为男孩4555100合计10595200能有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关（2）【解析】 （1）头胎为女孩的频率为0.5，头胎为女孩的总户数为，生二孩的概率为0.525，生二孩总户数为，能有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关列表如下：生二孩不生二孩合计头胎为女孩6040
10、100头胎为男孩4555100合计10595200（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法，在头胎生女孩的家庭户抽取5户，则在这5户家庭中，生二胎的户数为3，分别记为，不生二胎的户数为2，分别记为，方法一：从这5户家庭中随机抽取3户，有，共10种情况其中恰有2户生二孩的有，共6种情况，故所求概率为方法二：19【答案】 （1）证明见解析（2）【解析】（1）为直三棱柱，平面，四边形为正方形，平面，而平面，平面平面（2）以点为坐标原点，以，所在的直线分别为，轴建立空间直角坐标系则， 设平面从的法向量为，而，令，则，同理，平面的法向量为设二面角的平面角为则，即二面角的余弦值为故答案为：2
11、0【答案】 （1）（2）证明见解析【解析】 （1）取椭圆上顶点，右顶点，所以，又因为与圆相切且圆心在坐标原点，所以圆N的半径为，所以圆N的方程为：故答案为：（2）当的斜率存在时，设，因为与圆相切，所以，所以，又，所以，所以，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，所以为定值，当的斜率不存在时，此时，所以，的坐标为或，此时，综上可知：为定值21【答案】 （1）（2）证明见解析【解析】 ，的图像在处的切线方程为：，即（2）方法一：，两式相减可得：，两式相加可得：，令，不妨设，则，令，则，在上递增，即，故方法二：下证对于任意的，都有，只需证：，只需证：，只需证：当时，令，则，在上递增，得证，两式
12、相减可得：，两式相加可得：，故，故，方法三：，即：，令，；，不妨设，令，则，当时，在上递增，即当时，又，又、，且在上递增，.方法四：，即，令，则，令，；，函数两个不同的零点，方程有两个不同的解，不妨设，令，则，则时，在上递增，即时，又，又、，且在上递减，即，方法五：，即：，令，；，函数有两个不同的零点，不妨设，令，则，当时，在上递减，即当时，又，又、，且在上递增，四、选做题选修4-4：坐标系与参数方程22【答案】 （1）的普通方程为；普通方程为（2）【解析】 （1），消去得，消去得，的普通方程为；普通方程为（2）将代入得：，23【答案】 （1）6（2）【解析】（1）函数，所以函数的最大值（2），令，由题意可得：，所以，当且仅当时等号成立，此时，所以的最大值为：