1、6 电势差与电场强度的关系 必备知识自主学习 一、匀强电场中电势差与电场强度的关系【情境思考】匀强电场中,把一电荷从A点移动到B点,如图:(1)用电场强度E表示,静电力做功是多少?(2)用电势差UAB表示,静电力做功是多少?(3)UAB与E之间有什么关系?提示:(1)用电场强度E表示:WAB=EqLcos(2)用电势差UAB表示:WAB=qUAB(3)由以上两式可得:UAB=ELcos 1.关系式:UAB=_或E=_ 2.物理意义:匀强电场中两点间的电势差等于_与这两点沿_ _的乘积。3.适用条件:(1)_电场;(2)d是两点沿_的距离。Ed ABUd电场强度 匀强 电场方向 电场方向的 距离
2、 二、从电势差的角度理解电场强度 1.E=的意义:在匀强电场中,电场强度的大小等于两点间的_与两点 沿_的比值。2.电场强度的另一种表述:电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上 _。3.场强的另一个单位:由E=可导出场强的另一个单位,即_,符号 为_。_=1 N/C。ABUd电势差 电场方向距离 降低的电势 ABUd伏每米 V/m 1 V/m【易错辨析】(1)公式U=Ed适用于所有电场。()(2)由U=Ed可知,匀强电场中两点的电势差与这两点的距离成正比。()(3)匀强电场的场强值等于沿电场线方向每单位长度上的电势差值。()(4)只有沿电场线方向,电势才降低。()(5)沿电场线方向电势降低
3、得最快。()关键能力合作学习 知识点一 电势差与电场强度的关系 物理量 内容 电势差UAB电场强度E定义式 UAB=E=大小数值上等于单位正电荷从一点移到另一点时,电场力所做的功数值上等于单位正电荷受到的电场力方向标量、无方向矢量,规定正电荷在该点所受电场力的方向为电场强度的方向WqFq 物理量 内容 电势差UAB电场强度E联系(1)沿电场强度的方向是电势降落最快的方向,但电势降落的方 向不一定是电场强度的方向(2)电场强度的大小等于沿匀强电场方向每单位长度上降落的电 势,即E=ABUd提醒:注意电势差虽是标量、无方向,但有正负之分。【典例示范】如图所示,在匀强电场中,电荷量q=5.010-1
4、0 C的正电荷,由a点移到b点和由a点移到c点,静电力做功都是3.010-8J,已知a、b、c三点的连线组成直角三角形，ab20 cm，a37，c90,sin37=0.6,cos37=0.8,求:(1)a、b两点的电势差Uab;(2)匀强电场的场强大小和方向。【审题关键】序号信息提取b、c两点电势相等可计算出ac的长度沿ac方向就是电场强度的方向【解析】(1)因为正电荷q从a到b和从a到c,静电力做功相等,所以由W=qU可得 Uab=Uac,b、c两点在同一等势面上,根据电场线与等势面垂直,得到场强方向与 ac平行,垂直指向bc。Uab=V=60 V。(2)由U=Ed可得 E=V/m=375
5、V/m 场强方向平行于ac,垂直指向bc边且由a指向c。答案:(1)60 V(2)375 V/m 垂直bc边且由a指向c 8ab10W3.0 10q5.0 10abUU60dab cos370.2 0.8【典例2】如图所示,实线为电场线,虚线为等势面,a=50 V,c=20 V,则a、c 连线中点b的电势b为()A.等于35 V B.大于35 V C.小于35 V D.等于15 V【解析】选C。从电场线疏密可以看出EaEbEc,由公式UAB=Ed可得UabUbc,所以 b =35 V,C正确。ac2【规律方法】应用U=Ed分析非匀强电场(1)对于非匀强电场,用公式E=可以定性分析某些问题。例如
6、等差等势面在E 越大处,d越小,因此可以断定,等差等势面越密的地方电场强度也越大。(2)示例:如图所示,A、B、C是同一电场线上的三点,且 ,由电场线的疏密 程度可以看出EAEBEC,所以AB间的平均场强比BC间的小,即 ,又因为 所以UABEBEC,又因为AB=BC,由公式UAB=Ed可以判断UABUBC,所以B8 V/m B.W=610-6 J E6 V/m C.W=810-6 J E8 V/m D.W=610-6 J E6 V/m【解析】选A。因电场是匀强电场,D是AB的中点,故D的电势D=10 V。所以W=q(D-C)=810-6 J。设E的方向与 的夹角为,则0,否则等势 面与AB垂
7、直,C点电势就会高于B点电势。由E=可知:,因0,则 cos8 V/m,故A正确。AB2ABUdAB8ABcoscos【拓展例题】考查内容:-x图象的应用【典例】(多选)a、b是x轴上两个点电荷,电荷量分别为q1和q2,沿x轴a、b之间各点对应的电势高低如图中曲线所示,a、p间距离大于p、b间距离。从图中可以判断以下说法正确的是()A.a和b均为负电荷且q1一定大于q2 B.电势最低的p点的电场强度为零 C.将一负的检验电荷从b处移到p处,电荷电势能增加 D.a、p间的电场方向都指向a点【解析】选B、C。由于从a到b,电势先减小再增加,所以a、b应均为正电荷;从b处-x图象的斜率大于a处的-x
8、图象斜率,可确定EbEa,即q2q1,所以A错误;由-x图象的斜率表示电场强度E知,B正确;由Ep=q,知C正确;a、p间的电场方向应都指向p点,D错误。【实验情境】如图甲,匀强电场的电场强度为E,电场中沿电场线方向上两点A和B距离为d,设A和B两点间电势差为UAB。情境模型素养 探究:(1)一个点电荷q从A点移动到B点,请你用功的定义、电场力做功与电势差的关 系证明E=。(2)某一带正电的点电荷周围的电场线如图乙所示,其中一条电场线上的三点 M、N、P,N是MP的中点。请你判断M、N两点间电势差UMN与N、P两点间电势差UNP 是否相等,并阐述你的理由。ABUd【解析】(1)根据功的定义W=
9、Fx可知:WAB=Fd=qEd 根据电场力做功与电势差的关系可得:WAB=qUAB 联立得:E=(2)不相等。根据电场线的疏密程度可知M、N间的平均场强大于N、P间的平均场强,由U=Ed可知,M、N两点间的电势差大于N、P两点间的电势差。答案:(1)见解析(2)不相等,原因见解析 ABUd【实验情境】如图所示,MN板间存在匀强电场,场强E=300 N/C,方向竖直向上。电场上A、B两点相距10 cm,AB连线与电场方向夹角=60,A点和M板相距2 cm。探究:(1)求AB两点间的电势差大小;(2)若M板接地(电势为0),求A点电势A;(3)将q=+410-8 C点电荷从A移到B,求电场力做的功
10、。【解析】(1)由题意可知AB两点间的电势差为:UAB=ELABcos=3000.10.5 V=15 V(2)因为M板电势为0,所以A点的电势等于A点与M点的电势差,故:A=-UMA=-ELMA=-3000.02 V=-6 V(3)电场力做功为:W=qUAB=410-815 J=610-7 J 答案:(1)15 V(2)-6 V(3)610-7 J 课堂检测素养达标 1.对关系式Uab=Ed的理解,正确的是()A.式中的d是a、b两点间的距离 B.a、b两点间距离越大,电势差越大 C.d是a、b两个等势面的距离 D.此式适用于任何电场【解析】选C。公式Uab=Ed只适用于匀强电场,其中d为沿场
11、强方向上的距离或过a、b两点的两个等势面间的距离,故C正确,A、B、D错误,故选C。2.如图所示,a、b、c是一条电场线上的三点,电场线的方向由a到c,a、b间距离等于b、c间距离,用a、b、c和Ea、Eb、Ec分别表示a、b、c三点的电势和场强,可以判定()A.abc B.EaEbEc C.a-b=b-c D.Ea=Eb=Ec【解析】选A。沿电场线方向电势降低,可以比较电势高低,根据电场线方向可知abc,故A正确;只有一条电场线,不能确定电场线的分布情况,无法比较场强的大小,故B、D错误;对于匀强电场,两点间的电势差U=Ed,由于电场线的疏密情况无法确定,两点间的电势差公式U=Ed也不能适用
12、,不能判断电势差的关系,故C错误,故选A。3.(多选)在场强为E=1.0102 V/m的匀强电场中,有相距d=2.010-2 m的a、b两点,则a、b两点间的电势差可能为()A.1.0 V B.2.0 V C.3.0 V D.4.0 V【解析】选A、B。由U=Ed可知当d最大时,U最大,代入数值可得U最大值为2.0 V;当a、b位于同一等势面上时,Uab=0,则最小值为零,故A、B可能,C、D不可能。【加固训练】如图所示是匀强电场中的一组等势面,每两个相邻等势面间的距离都是25 cm,由此可确定电场强度的方向及大小为()A.竖直向下,E=0.4 V/m B.水平向右,E=0.4 V/m C.水
13、平向左,E=40 V/m D.水平向右,E=40 V/m【解析】选D。电场线与等势面垂直且沿电场线方向电势降低,故场强方向水平 向右,场强大小E=V/m=40 V/m,故D项正确。U10d0.254.如图所示,空间直角坐标系Oxyz处于一个匀强电场中,a、b、c三点分别在x、y、z轴上,且到坐标原点O的距离均为10 cm。现将一带电荷量q=0.2 C的负点电荷从b点分别移动到a、O、c三点,电场力做功均为1 J。则该匀强电场的电场强度大小为()A.50 N/C B.50 N/C C.10 V/m D.10 V/m 33【解析】选B。由公式W=Uq代入数据可得U=5 V,由题意可知a、O、c三点
14、所构成 的面是等势面,Ob垂直于xOz平面,b点到xOz平面的距离d=10 cm,故匀强电场的 电场强度大小E=N/C=50 N/C,故B正确,A、C、D错误,故选B。U5d0.15.如图所示,平行带电金属极板A、B间可看成匀强电场,场强E=1.2102 V/m,极板间距离d=5 cm,电场中C和D点分别到A、B两板的距离均为0.5 cm,B板接地,求:(1)C和D两点的电势、两点间电势差各为多少?(2)将点电荷q=210-2 C从C点匀速移到D点时,外力做多少功?【解析】(1)因正极板接地,故板间各点电势均小于零,则UBD、UBC均大于零,由UAB=Ed得 UBD=EdBD=1.21020.
15、510-2 V=0.6 V,即D=-0.6 V。由于dCB=5 cm-0.5 cm=4.5 cm=4.510-2 m,所以UCB=-EdCB=-1.21024.510-2 V=-5.4 V=C。所以UCD=C-D=-5.4 V-(-0.6 V)=-4.8 V。(2)因为点电荷匀速移动,外力所做的功等于点电荷克服电场力所做的功,W外=|qUCD|=210-24.8 J=9.610-2 J。答案:(1)-5.4 V-0.6 V-4.8 V(2)9.610-2 J 课时素养评价 六 电势差与电场强度的关系【基础达标】(25分钟60分)一、选择题(本题共6小题,每题6分,共36分)1.下列静电学公式中
16、,F、q、E、U、r和d分别表示静电力、电荷量、电场强 度、电势差及距离,F=,E=k ,E=,U=Ed,下列有关四个公式的 说法中正确的是()A.它们都只对点电荷或点电荷的电场成立 B.只对点电荷或点电荷电场成立,对任何电场都成立 C.只对点电荷成立,对任何电场都成立,只对匀强电场成立 D.只对点电荷成立,对任何电场都成立 122q qk r2QrFq【解析】选C。F=k 适用于真空中的点电荷,E=k 中Q是场源电荷,也是点电 荷,E=是电场强度的定义式,适用于任何电场,U=Ed适用于匀强电场,综上C正 确。122q qr2QrFq2.如图所示,匀强电场场强为E,A与B两点间的距离为d,AB
17、与电场夹角为,则 A与B两点间的电势差为()A.Ed B.Edcos C.Edsin D.Edtan【解析】选B。根据匀强电场中两点间电势差公式U=Ed,可知电势差等于电场强 度乘上在场强方向上的距离,则A与B两点间的电势差为UAB=Edcos,故选B。3.如图所示,在xOy平面内有一个以O为圆心、半径R=0.1 m的圆,P为圆周上的一 点,O、P两点连线与x轴正方向的夹角为,若空间存在沿y轴负方向的匀强电场,场强大小E=100 V/m,则O、P两点的电势差可表示为()A.UOP=-10sin(V)B.UOP=100sin(V)C.UOP=-10cos(V)D.UOP=10cos(V)【解析】
18、选A。由题图可知匀强电场的方向是沿y轴负方向的,沿着电场线的方向电势是降低的,所以P点的电势高于O点的电势,O、P两点的电势差UOP为负值。根据电势差与场强的关系UOP=-Ed=-ERsin=-10sin(V),所以A正确。4.如图所示,在匀强电场中有a、b、c、d四点,它们处于同 一圆周上,且ac、bd分别是圆的直径。已知a、b、c三点的 电势分别为a=9 V,b=15 V,c=18 V,则d点的电势为 ()A.4 V B.8 V C.12 V D.16 V 【解析】选C。连接a、c两点,将ac连线三等分为ae、ef、fc三段,则图中f点的 电势为15 V,连接fb,则fb为一条等势线,连接
19、de,由几何关系可以证明defb,则de也是一条等势线,根据匀强电场中沿电场方向上相同距离对应的电势差相 等,可知e点的电势为12 V,则d点的电势也为12 V,故C正确。【加固训练】如图所示,平行于匀强电场区域中,有A、B、C、D四 点恰好位于一平行四边形的四个顶点上,已知A、B、C三 点电动势分别为A=1 V,B=4 V,C=0,则D的电势D大 小为()A.-3 V B.0 C.2 V D.1 V【解析】选A。在匀强电场中,根据U=Ed知,沿电场方向相同距离电势差相等,根据平行四边形的特点知,AB与DC平行且相等,所以AB边与DC边沿电场方向的距离相等,AB间的电势差与DC间的电势差相等,
20、即有A-B=D-C,解得:D=A-B+C=1 V-4 V+0=-3 V,故选项A正确。5.如图所示,直线a、b和直线c、d是处于匀强电场中的两组平行线,M、N、P、Q 是它们的交点,四点处的电势分别为M、N、P、Q。一质子由M点分别运动 到Q点和P点的过程中,电场力所做的负功相等。下列说法正确的是()A.直线a位于某一等势面内,MP C.若质子由M点运动到N点,电场力做正功 D.若质子由P点运动到Q点,电场力做负功 【解析】选A。质子带正电荷,质子由M点分别运动到Q点和P点的过程中,电场力所做的负功相等,有WMQ=WMP0,所以有UMQ=UMP0,即MQ=P,匀强电场中等势线为平行的直线,所以
21、QP和MN分别是两条等势线,则有P=Q,故A正确、B错误;质子由M点运动到N点的过程中WMN=q(M-n)=0,质子由P点运动到Q点的过程中WPQ=q(P-Q)=0,电场力做功均为0,故C、D错误;故选A。6.在某匀强电场中有M、N、P三点,在以它们为顶点的三角形中,M=30、P=90,直角边NP的长度为4 cm。已知电场方向与三角形所在平面平行,M、N和P点的电势分别为3 V、15 V和12 V。则电场强度的大小为()A.150 V/m B.75 V/m C.225 V/m D.75 V/m 33【解析】选A。过P点作斜边MN的垂线交MN于O点,如图所示 由几何知识可知N、O间的距离NO=2
22、 cm,M、O间的距离MO=6 cm,故O点为直线MN 的四等分点,由匀强电场的特点得O点的电势为O=12 V,即O、P在同一等势面 上,由电场线与等势面的关系和几何关系知:E=150 V/m,故A正确。NOUdNO二、计算题(本题共2小题,共24分。要有必要的文字说明和解题步骤,有数值计 算的要标明单位)7.(12分)如图所示为一组方向未知的匀强电场的电场线,将带电荷量为q=-1.0 10-6 C的点电荷由A点沿水平线移至B点,静电力做了-210-6 J的功,已知A、B 间的距离为2 cm。(1)试求A、B两点间的电势差UAB;(2)若A点的电势为A=1 V,试求B点的电势B;(3)试求该匀
23、强电场的大小E并判断其方向。【解析】(1)由题意可知,静电力做负功,有:WAB=-210-6 J 根据UAB=V=2 V(2)由UAB=A-B,可得B=A-UAB=1 V-2 V=-1 V(3)点电荷由A点移到B点沿着电场线方向的位移为 d=210-2cos60 m=110-2 m E=V/m=200 V/m 因为沿着电场线方向电势降低,又因为B5 V C.C点的电势C UAB=25 V,即A-C 25 V,又A=30 V,可知C5 V,故C正确,A、B错误。负电荷在电势低处电势能 较大,故D错误。故选C。1211.(6分)(多选)(2017江苏高考)在x轴上有两个点电荷q1、q2,其静电场的
24、电 势在x轴上分布如图所示。下列说法正确的有()A.q1和q2带有异种电荷 B.x1处的电场强度为零 C.负电荷从x1移到x2,电势能减小 D.负电荷从x1移到x2,受到的电场力增大 【解析】选A、C。从图中看到,中间电势高,两边电势低,且图形左右不对称,判断q1和q2带有异种不等量电荷,A项正确;从图线斜率看,x1处的电场强度不为零,B项错误;负电荷从x1移到x2,即由低电势到高电势,电场力做正功,电势能减小,C项正确;x2处电场强度为零,所以负电荷从x1移到x2,受到的电场力减小,D项错误。【总结提升】-x图象的应用(1)电场强度的大小等于-x图象的斜率大小。(2)在-x图象中可以直接判断
25、各点电势的大小,并根据电势大小关系判断电场强度的方向。(3)在-x图象中可根据Ep=q分析电荷移动时电势能的变化。12.(22分)如图所示,在匀强电场中,将带电荷量q=-610-6 C的负电荷从电场中 的A点移到B点,克服电场力做了2.410-5 J的功,再从B点移到C点,电场力做了 1.210-5 J的功。求:(1)A、B两点间的电势差UAB和B、C两点间的电势差UBC;(2)如果规定B点的电势为零,则A点和C点的电势分别为多少?(3)作出过B点的一条电场线(只保留作图的痕迹,不写作法)。【解题指南】解决本题的关键是知道电场力做功与电势差的关系W=Uq,电势差与电势的关系UAB=A-B。知道电场线与等势线垂直,由高电势指向低电势。【解析】(1)根据W=Uq可得 UAB=V=4 V;UBC=V=-2 V;(2)由于UAB=A-B,UBC=B-C,又B=0,解得A=4 V,C=2 V;5AB6W2.4 10q6 10562.4 106 10(3)取AB的中点D,则由匀强电场的特点可知D点的电势为2 V,连接CD,因为 D=C=2 V,故CD为等势线,匀强电场中电场线与等势线垂直,方向为由高电势 指向低电势,如图所示。答案:(1)4 V-2 V(2)4 V 2 V(3)见解析图