1、章末综合测评(三)圆锥曲线的方程(满分：150分时间：120分钟)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1椭圆1的离心率是()ABCDB根据题意知，a3，b2，则c，椭圆的离心率e.2已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则抛物线的焦点的坐标为()A(1,0)B(1,0)C(0，1)D(0,1)By22px的准线方程为x，由条件知1.p2，即方程为y24x，其焦点坐标为(1,0)3若双曲线y21的一条渐近线方程为y3x，则正实数a的值为()A9B3CDD双曲线y21的渐近线为yx.由条件知3，解得a.4已知双曲线C
2、：1(a0，b0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()AB2CD2D法一：由离心率e，得ca，又b2c2a2，得ba，所以双曲线C的渐近线方程为yx.由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C的渐近线的距离为2.故选D.法二：离心率e的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是yx，由点到直线的距离公式得点(4,0)到C的渐近线的距离为2.故选D.5与椭圆9x24y236有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为 ()A1Bx21Cy21D1B椭圆9x24y236可化为1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，)，故可设所求椭圆方程为1(ab0)，则c.又2b2，即b1，所以a2b2c26，则
3、所求椭圆的标准方程为x21.6设P是双曲线1(a0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2y0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|3，则|PF2|()A1或5B6C7D8C双曲线1的一条渐近线方程为3x2y0，故a2.又P是双曲线上一点，故|PF1|PF2|4，而|PF1|3，则|PF2|7.7已知双曲线1(b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为()A1B1C1D1D根据对称性，不妨设A在第一象限，A(x，y)，xyb212，故双曲线的方程为1，故选D.8.我们把离心率为黄金分割
4、系数的椭圆称为“黄金椭圆”如图，“黄金椭圆”C的中心在坐标原点，F为左焦点，A，B分别为长轴和短轴上的顶点，则ABF()A90B60C45D30A设椭圆的方程为1(ab0)由已知，得A(a,0)，B(0，b)，F(c,0)，则(c，b)，(a，b)离心率e，ca，ba，b2ac0，ABF90.二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9对于双曲线C1：y21与双曲线C2：y21的下列说法正确的是()A它们的实轴长和虚轴长相同B它们的焦距相同C它们的渐近线相同D若它们的离心率分别为e1，e2，那么
5、1BCDA中，C1的实轴长、虚轴长分别为4和2，而C2的实轴长和虚轴长分别为2和4，故A错误；B中，C1，C2的焦距均为2c22.故B正确；C中，C1，C2的渐近线方程均为yx，故C正确D中，C1的离心率e1，C2的离心率e2，这里1.故D正确，故应选BCD.10给定下列四条曲线中，与直线xy0仅有一个公共点的曲线是()Ax2y2B1C1Dy24xACDA中，圆心到直线距离dr.故直线与圆相切，仅有一个公共点，A正确；B中，由得13x218x90，0，直线与椭圆相交，有两个交点，B错误；C中，由于直线平行于双曲线的渐近线，故只有一个交点，C正确；D中，由得x22x50，这里0.故直线与抛物线相
6、切D正确，故应选ACD.11若ab0，则axyb0和bx2ay2ab所表示的曲线不可能的是下图中的()ABD方程化为yaxb和1.从B，D中的两椭圆看a，b(0，)，但B中直线有a0，b0矛盾，所以B不可能；D中直线有a0，b0矛盾，也不可能；再看A中双曲线的a0，b0，但直线有a0，b0，也矛盾，所以A也不可能；C中双曲线的a0，b0和直线中a，b一致所以C是可能的，故应选ABD.12已知点M(1,0)，A，B是椭圆y21上的动点，当取下列哪些值时，可以使0()A3B6C9D12ABC设A(x0，y0)，且0.因为()22(x01)2y，将A点坐标代入椭圆，得y1，所以y1代入上式可得(x0
7、1)212x022(2x02)所以()min，()max9.对照选项可以取ABC.三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13抛物线y28x的焦点到双曲线1的渐近线的距离为_由抛物线y28x可得其焦点为(2,0)，又双曲线1的渐近线方程为xy0，所求距离为d.14与双曲线1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线的标准方程为_1法一：设双曲线的标准方程为1(a0，b0)又点(3，2)在双曲线上，故1.又a2b216420，得a212，b28，则双曲线的标准方程为1.法二：设双曲线的标准方程为1(4kb0)的离心率为，双曲线x2y21的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个
8、交点为顶点的四边形的面积为16，求椭圆C的标准方程解因为椭圆的离心率为，所以e，c2a2a2b2，所以b2a2，即a24b2.双曲线的渐近线方程为yx，代入椭圆方程得1，即1，所以x2b2，xb.所以yb，则在第一象限，双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为，所以四边形的面积为4bbb216，所以b25，所以椭圆C的方程为1.18(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线1(a0，b0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P，求抛物线的方程和双曲线的方程解依题意，设抛物线的方程为y22px(p0)，点P在抛物线上，62p.p2，所求抛物线的方程
9、为y24x.双曲线的左焦点在抛物线的准线x1上，c1，即a2b21，又点P在双曲线上，1，解方程组得或(舍去)所求双曲线的方程为4x2y21.19(本小题满分12分)已知F1，F2分别为椭圆1(0b10)的左、右焦点，P是椭圆上一点(1)求|PF1|PF2|的最大值；(2)若F1PF260，且F1PF2的面积为，求b的值解(1)|PF1|PF2|100(当且仅当|PF1|PF2|时取等号)，|PF1|PF2|的最大值为100.(2)S|PF1|PF2|sin 60，|PF1|PF2|，由题意知：3|PF1|PF2|4004c2.由得c6，b8.20.(本小题满分12分)如图所示，已知抛物线C：
10、x24y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)(1)证明：动点D在定直线上；(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2.证明：|MN2|2|MN1|2为定值，并求此定值解(1)证明：依题意可设AB的方程为ykx2，代入x24y，得x24(kx2)，即x24kx80，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x28，直线AO的方程为yx，BD的方程为xx2，则交点D的坐标为.又x1x28，x4y1，则有2，即D点在定直线y2上(x0)(2)依题意，切线l的斜率存在且不等于0
11、.设切线l的方程为yaxb(a0)，代入x24y，得x24(axb)，即x24ax4b0，由0得(4a)216b0，化简整理，得ba2，故切线的方程为yaxa2.分别令y2，y2，得N1，N2，则|MN2|2|MN1|2428，即|MN2|2|MN1|2为定值8.21(本小题满分12分)设椭圆1(ab0)的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，|AB|.(1)求椭圆的方程(2)设直线l：ykx(k0)与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限若BPM的面积是BPQ面积的2倍，求k的值解(1)设椭圆的焦距为2c，由已知得.又由a2b2c2，可得2a3b.由|AB|得
12、a3，b2.所以，椭圆的方程为1.(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点M的坐标为(x2，y2)由题意，x2x10，点Q的坐标为(x1，y1)由BPM的面积是BPQ面积的2倍，可得|PM|2|PQ|，从而x2x12x1(x1)，即x25x1.易知直线AB的方程为2x3y6，由方程组消去y，可得x2.由方程组消去y，可得x1.由x25x1，可得5(3k2)，两边平方，整理得18k225k80，解得k或k.当k时，x290，不合题意，舍去；当k时，x212，x1，符合题意所以k的值为.22(本小题满分12分)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1(1,0)，F2(1,0)，点A在椭圆C上(
13、1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解(1)设椭圆C的焦距为2c，则c1，A在椭圆C上，2a|AF1|AF2|2，a，b2a2c21，故椭圆C的方程为y21.(2)假设这样的直线存在，设直线l的方程为y2xt，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P，Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)，由，消去x，得9y22tyt280，y1y2，且4t236(t28)0，故y0且3t3，由，知四边形PMQN为平行四边形，而D为线段MN的中点，因此D为线段PQ的中点，y0，得y4，又3t3，可得y41，点Q不在椭圆上，故不存在满足题意的直线l.